Printed in The Toledan Tables, pp. 331-499, q.v. for manuscripts, textual variants, commentary and illustrations.

----------------

(Cb1) § Incipiunt canones in motibus caelestium corporum.

Quoniam cuiusque actionis quantitatem temporis metitur spatium, caelestium motuum doctrinam quaerentibus eius primum ratio occurrit investiganda. -- (Cb2) Quod quia cum mundo coepit eiusque termino coaequatur, +diversos+ ipsius motus huius partes metiri comprobantur: est enim spatium quo singulas mensuramus actiones. Quarum quia diversae sunt secundum diversas gentes rationes, singulas exsequi necesse est, ut, habita perfecta temporis notitia, facilior ad id, de quo intendimus, fiat introitus.

(Cb3) Latini namque tempus ipsum, quod continuum est et in sui natura indivisibile, in plures intellectu tamen et ratione dividunt partes, quarum quasdam annos, quasdam menses, nec non dies et horas, placuit appellasse. -- (Cb4) Annum enim illud spatium vocaverunt quo sol, recedens ab aliquo zodiaci puncto, redit ad idem: quod fieri in 365 diebus et quadrante minus 300'a parte diei a prudentissimo Ptolomaeo eiusque sequacibus comprobatur. Qui numerus cum in XII aequales non posset distrahi, remanentibus diebus integris, partes, in XII divisus est secundum eorum libitum inaequales: unde unum mensem ex XXX diebus, alterum ex XXXI constare manifestatur. Duodenariae vero huius divisionis causa posterius liquebit, cum de signis eorumque naturis tractaverimus. -- (Cb5) In quarto autem anno ex quadrante supranominato dies unus excrescit, qui a Graecis et Latinis tribuitur Februario, cum in omnibus eorum una sit ratio; (Cb6) praeter quod Graeci ab Octobri, Latini a Ianuario sui anni sumunt initium. Sciendum est etiam quod Graeci suorum annorum principium ducunt ab Alexandro, Latini autem a domino Ihesu Christo.
    (Cb7) Arabes vero, a lunae maxime motu ipsius temporis metientes spatia, annos et menses lunares voluerunt nominare. Luna enim, duodecies in 354 diebus et unius quinta et sexta percurrens zodiacum, suum efficit annum. -- (Cb8) Cuius menses tali sunt ordine disgregati, ut quidam XXX, alii XXVIIII contineant, propter incidentes fractiones, dies: nam si supradictus dierum numerus anni in XII partes fuerit dispertitus, provenient singulis XXN et dimidium, quae bina binaque coniuncta sex dies reddunt integros; quos sex mensibus intercisim distribuentes efficiunt ex XXX diebus, aliis ex XXVIIII suam quantitatem continentibus.
    Collectis autem quintis et sextis, nunc in secundo, nunc in tertio anno diem restituunt integrum. In huius vero restitutionis anno septem fiunt menses perfecti et quinque imperfecti. -- (Cb9) Scire autem oportet quod in trigesimo tantum anno hae fractiones ita redeunt ad dierum integritatem, ut nihil superfluum nihilque inveniatur diminutum; in quo temporis termino XI perficiuntur ex enumeratis fractionibus integri dies. Anni vero initium per diversa temporis labitur spatia.
    (Cb10) Persae vero suum annum ex 365 diebus, praetermissa quarta, affirmant constare: quare manifestum est non idem initium sui anni in una temporis parte, sicut fit apud Latinos et Graecos, inveniri, sed circulariter per temporis deduci spatia. -- (Cb11) Notandum est etiam quod eorum menses singuli trigenos contineant dies, praeter quod Benmeh, qui est octavus, obtinet XXXV. Suorum autem annorum initium a Gezdagirt se dicunt habere. Sed haec hactenus.

(Cb12) Nunc autem ad eorum regulas, quatenus, quicquid necessarium est ad ipsorum documenta, certis regulis et patenti ratione perfectius enodetur, transeundum relinquitur. Unde in annis domini Christi digne talis subditur regula:

(Cb13) § Prima regula, ad sciendum qua feria quisque mensis annorum Christi incipiat.

Cum quilibet annorum Christi qua feria incipiat scire volueris, annorum perfectorum summam accipias, eique quartam partem eorum adiungens, quod collectum fuerit per VII dividas; et quod tibi inde remanserit, pro anni, de quo quaeris, nota retineas. Si vero nil superfuerit, VII eius notam esse certissime intelligas. Per quam, qua feria idem annus ingreditur, cognoscas: nam si unum excrescit, prima feria, si duo, secunda eum ingredi, et sic de ceteris, pro constanti habeas. -- (Cb14) Si autem cuiusvis alterius ipsius anni mensis initium scire desideras, ipsi praecedentium mensium notas insimul collige, easque notae anni inventae adiciens per VII partire; et sic per eum qui superest numerum feriam ipsius mensis, ut dictum est, in anno reperies.
    Notae autem mensium hae sunt: nam mensis, qui ex XXXI constat die, habet pro nota 3; qui vero ex XXX, 2; Februarius nullam habet nisi in anno bissextili notam, et tunc, quia constat ex XXIX diebus, pro nota suscipit 1.

(Cb15) § Inventio annorum Arabum ex annis Christi.

Si autem ex annis Christi domini annos Arabum cupis invenire, ex summa annorum Christi perfectorum 621 minue, et qui remanserint in 365 et quarta multiplica, et considera quae dierum summa inde proveniat, ex qua minue 195; et remanenti tibi summae anni tui iam incepti dies aggrega; et sic dierum annorum Arabum habebis numerum. Quos, ut in lunares reducas annos, extende per XXX, et qui inde surget numerum per 10631 divide, et exibunt tibi anni Arabum perfecti; quod vero remanserit iterum per XXX partire, et habebis dies anni Arabum imperfecti. Ex quibus facies menses, unum scilicet ex XXX diebus et alium ex XXN, et quod infra remanserit erit numerus dierum mensis nondum perfecti. -- (Cb16) Notandum etiam est quod, si ex tricesimis remanserint plures 15, reducendae sunt ad diem integrum. -- Et tunc habebis omnes annos Arabum perfectos, et menses praesentis anni, dies etiam mensis iam incepti.

(Cb16a) § Inventio annorum Christi per annos Arabum.

Si autem ex annis Arabum annos Christi volueris extrahere, annos Arabum perfectos in 10631 multiplica, et quae inde provenerit summam per 30 divide, et ei quod provenerit 195 adde, et insuper quod transierit de diebus anni lunaris imperfecti; et qui inde surget numerum, per 4 extensum, per 1461, ut annos solares facias, divide; quibus addens 621, perfectos Christi annos omnes invenies. Quod vero ex divisione remanserit per 4 divides, et habebis dies omnes anni imperfecti; ex quibus ut menses invenias, dabis unicuique dierum eius numerum, incipiens a Ianuario, qui habet 31 dies.

(Cb17) § Ad inveniendum qua feria quisque mensis Arabum ingreditur.

Si exordia mensium Arabum scire desideras, eorum perfectos annos in 10631 distrahe, et quae inde proveniet summam per XXX divide, et qui ex hoc descendet numerum pro radice Arabica computa; cui, si ex divisione ultra XV remanserit numerus, unum insuper adicias; si vero infra, eandem radicem mentis sensu retine. -- (Cb18) Cum vero praesentis anni mensium volueris capita, radicem habitam, cum quinario sibi addito, per septem dividas; et quod inde remanserit, intrantis anni primi mensis demonstrabit feriam. Si autem nil superfuerit, die sabbati eum scias incipere. -- (Cb19) Item, si reliquorum cuiuslibet volueris initium, ante ipsum praeteritorum notas omnes collige; quas si, primi mensis notae demonstranti[s] ortum [summae] additas, per VII diviseris, mensis, de quo quaeris, initium per divisionis residuum reperies; nam si unum superfuerit, eum prima feria scias ingredi, et sic de ceteris, ut praedictum est in annis Christi. -- (Cb20) Notae autem mensium lunarium sic sunt habendae: Primus mensis, quia constat ex XXX diebus, pro nota habet binarium; secundus, ex XXN, unitatem; tertius binarium, quartus iterum unitatem; et ita de ceteris intellige.

(Cb21) § Inventio annorum Christi per annos Arabum aliter quam prius.

Si autem ex annis Arabum annos Christi cupis extrahere, radici Arabicae dies anni imperfecti Arabum cum 195 diebus adde; totam igitur illam summam per 4 multiplica et divide per 1461; quo facto, exibunt anni solares perfecti, incepti ante annos Arabum per 195 dies. Quod vero inde remanserit per 4 divide, et habebis dies anni imperfecti, quos reduces in menses anni solaris. Annis vero perfectis 621 adde; et habebis annos Christi perfectos, nec non et menses anni imperfecti, dies etiam imperfecti mensis.

(Cb22) § Ad inveniendum annos Persarum per annos Arabum.

Cum in quo mense Persarum sis, et numerum annorum Gezdagirt regis Persarum, scire volueris, radici Arabicae dies anni lunaris praesentis adde, et tunc ex tota summa 3624 minue, et residuum per 365 divide, et exibit numerus annorum Persarum perfectorum. Et quod ex diviso numero remanserit per XXX partire, et habebis numerum perfectorum mensium anni Persarum praesentis; et quod infra hanc divisionem superfuerit, erit dierum numerus praesentis mensis. Si autem octavus transierit mensis, ex diebus remanentibus V debes proicere: constat enim idem mensis ex XXXV. Et tunc habebis quot sint perfecti anni Gezdagirt regis Persarum, menses etiam, et dies praesentis mensis.

(Cb23) § Ut scias qua die quisque mensis Persarum incipiat.

Cum autem, qua feria quisque mensis eorum incipiat, scire quaesieris, summae annorum Persarum perfectorum III adde, eo quod in 3'a feria inceperunt suos annos, et quod collectum tibi fuerit, per VII divide, et residuum pro nota intrantis anni suscipe: nam haec ostendet qua die primus mensis eiusdem anni incipiat. -- (Cb24) Sed si de ceteris idem scire desideras, supra notam anni perfectorum mensium ante ipsum, de quo quaeris, adde notas, et quod colligitur, per VII item dividas; et per remanentem inde numerum invenies mensis feriam. -- (Cb25) Pro nota autem cuiusque eorum, nisi in octavo, qui nullam habet, sumas binarium.

(Cb26) § Inventio annorum Graecorum per annos Arabum.

Item si quot sint anni Alexandri regis Graecorum et menses et dies, scire contenderis, taliter poteris invenire: 287 radici Arabicae, et insuper quod transierit de anno Arabico ex diebus, aggrega; et qui inde surget numerum, in quattuor extensum, per 1461, ut annos solares facias, divide; quibus addens 932, perfectos Graecorum annos omnes invenies. Quod vero ex divisione remanserit divide per 4, et habebis dierum anni nondum perfecti numerum; ex quibus ut menses iam perfectos invenias, cuique dabis numerum dierum eius, incipiens a Tisirin primo, qui est October, cuius dies sunt XXXI; et dies qui remanserint, non perficientes mensem, erunt mensis praesentis nondum perfecti. -- (Cb27) Et si ex divisione facta per IIII remanserint duo, annus praesens erit bissextilis, in quo Februarius ex XXN diebus constabit.

(Cb28) § Ut invenias qua die quisque mensis Graecorum incipiat.

Cum igitur, quando quivis Graecorum mensis ingreditur, volueris invenire, annis Alexandri praeteritis quartam partem eorum adhibe, et quod collectum tibi fuerit, cum duobus insuper additis, per septem dividens, quod remanserit pro nota anni de quo quaeris retine; quae ostendet qua feria primus mensis ipsius anni incipiat. -- (Cb29) Si autem cuiusvis alterius volueris introitum, fac de eo quemadmodum superius in annis Christi ostensum est. -- (Cb30) Scire quoque te oportet quod, cum quartam partem annorum Alexandri quaeris, si remanserint ultra duo, pro integro uno computabis, et si tantum vel infra, praetermittes.

(Cb31) § Inventio annorum Arabum per annos Alexandri.

Cum, quot sint anni Arabum, per annos Alexandri volueris investigare, ex annorum Alexandri perfectorum summa 932 subtrahe, et per 365 et quartam quod remanserit extende, et ex summa inde nata 287 minue; residuo vero dies anni nondum finiti adiunge, et ita summam dierum Arabum te scias invenisse; quos reduces in lunares annos, ut superius ostensum est in annis domini Christi.

(Cb32) § De eodem per annos Persarum.

Si vero idem per Persarum annos volueris invenire, annos ipsorum perfectos in 365 multiplica, et provenienti inde summae dies anni eorum imperfecti cum 3624 adde, et habebis summam dierum Arabum: per quam annos et menses et dies mensis nondum perfecti, ut superius determinatum est, Arabum poteris invenire.

(Cb33) § Inventio omnium supradictorum per tabulas.

Et si hoc idem per tabulas volueris invenire, numerum annorum Christi perfectorum vel eo minorem, tamen sibi propiorem, in tabula inventionis dierum Christi (AA11) in annis collectis quaere; et quod in directo eius in IIII capitulis inveneris, eo ordine ut sunt in libro extra scribe: quartum scilicet primum, postea tertium, deinde secundum, et in ultimo loco primum. Post haec cum residuo annorum perfectorum numero in tabulam annorum expansorum inventionis dierum Christi ingredere, et capitula ibi descripta sub prius extractis consimiliter pone: videlicet tertium sub tertio, et secundum sub secundo, et primum sub primo. Et si annus bissextilis fuerit et Februarius transierit, unum diem primo capitulo adde. Deinde cum mensibus anni imperfecti perfectis tabulam inventionis dierum ad menses Latinorum intra, et quod in directo eorum erit ex capitulis, sub superius extractis dispone, secundum scilicet sub secundis et primum sub primis. Mensis etiam imperfecti dierum numerum sub primis, quae et ordine ultima sunt, capitulis pone. -- Quae omnia in unum ita debes colligere: Incipiens a capitulis primis, omnia simul collige, et pro singulis sexagenariis numeris ibi collectis unitatem sub secundis pone, et quod a LX remanserit, inferius per se scribe. Idem facies in secundis: pro sexagenariis numeris singulas unitates sub tertiis dispone, et quod insuper remanserit inferius ante residuum a primis capitulis ordinatim pone; illud idem faciens in ceteris, residuum infra scriptum pro radice annorum domini Christi retine. -- (Cb34) Si autem per radicem dies annorum Christi volueris invenire, numerum quarti capituli in LX multiplica, et numero inde collecto tertium capitulum aggrega; item totam eandem summam per LX extende, et inde surgenti summae secundum capitulum adiunge; quod iterum per LX multiplicans, et provenienti inde numero dies primi capituli adiungens, omnes dies annorum Christi reperies. Quos si per VII diviseris, et residuum feriae in qua fueris convenerit, remota unitate, te omnia ordinatim fecisse comprobabis.
    (Cb35) In annis Christi incipe a 7'a feria, sed in annis Arabum computa a die Iovis, et in annis Graecorum a II feria, et in Persis a III feria. Haec eadem etiam regula in ceteris radicibus veracissima habeatur.

(Cb36) § Inventio annorum Arabum ex annis Christi.

Et si per hoc opus annos Arabum volueris investigare, ex radice Christi inventa differentiam dierum Christi et Arabum (AB12) subtrahe; et per reliquum annos lunares ita reperies: videlicet eius simile in tabula inventionis dierum ex annis Arabum (AA21) quaere, vel minus eo, propius tamen; cui praepositos annos Arabum collectos seorsum scribe. Et quod inveneris in ipsa linea, de ipso residuo minue; et remanentis aequale vel minus, propinquius tamen, in expansorum dierum inventione perquire, et sibi appositos annos expansos collectis annis seorsum scriptis adiunge: et sic annorum Arabum praeteritorum habebis summam, uno tamen inde remoto. Item idem ibi inventum de eodem remanenti, si minus fuerit, deme; et residui simile vel minus, propius tamen, in tabula mensium invenias, et illi invento praescriptos menses extra sub annis inventis scribas; et ipsi sunt menses anni praesentis praeteriti, uno similiter ut in annis diminuto. Si autem id, quod in tabula mensium minus inveneras, de maiori subtraxeris, remanebit numerus dierum mensis praesentis, quos sub annis et mensibus Arabum, ut totam eorum habeas summam, ponas.

(Cb37) § Inventio annorum Alexandri per annos Arabum.

Si autem per annos Arabum Alexandri annos volueris scire, radicem Arabicam ut ostensum est in annis Christi invenias (AA21); cui addens differentiam annorum Alexandri et Arabum (AB14), collectae tibi summae simile vel minus, propinquius tamen, in inventione dierum annorum Graecorum collectorum (AA41-42) invenias, et omnia eo ordine quo dictum est in annis Arabum inveniendis facias; et habebis annorum perfectorum Alexandri numerum, menses etiam, nec non dies praesentis anni. -- (Cb38) Et si inveneris in directo secundae lineae +ab+ annis Alexandri expansis scriptum "bissextum", annus ingrediens erit bissextilis; et tunc si Subat, id est Februarius, iam transierit, quia constabit ex XXN diebus, ex diebus tibi inventis unum, Februario tribuendo, minue; et remanentes erunt dies mensis in quo fueris.

(Cb39) § Inventio annorum Persarum.

Et si annos Persarum eadem ratione volueris investigare, ex radice Arabica inventa (AA21) differentiam annorum Arabum et Gezdagirt (AB11) minue, et cum remanenti tibi summa annos Persarum per tabulam Gezdagirt (AA31) invenias, intrando scilicet tabulam annorum Gezdagirt collectorum, ut superius in aliis regulis determinatum est, et expansorum atque mensium.

(Cb40) § Inventio annorum Arabum per annos Graecorum.

Si vero annos Arabum per annos Graecorum volueris scire, radicem Graecorum, ut superius radicem Christi invenisti, quaeras (AA41-42), et ex ea inventa quod est inter annos Graecorum et Arabum (AB14) minuas, et cum reliquo ut determinatum est facias (AA21). -- (Cb41) Sed ex annis Arabum inventis et mensibus unus subtrahendus est, ut annos perfectos et menses habeas.

(Cb42) § Inventio annorum Arabum per annos Persarum.

Et si per annos Persarum idem volueris invenire, radicem Persarum invenias (AA31), et illi differentiam annorum Arabum et Gezdagirt (AB11) addens, eo ordine quo determinatum est perquiras (AA21).

(Cb43) § Inventio annorum Christi per annos Arabum.

Si vero annos Christi per annos Arabum invenire volueris, radicem Arabicam, ut dictum est, quaere (AA21), eique differentiam annorum Christi et Arabum (AB12) adde; cum quo intrabis tabulam inventionis dierum Christi (AA11), quaerendo eius simile vel minus, propinquius tamen, in 4 capitulis, et sumendo annos collectos praepositos et postea expansos, sicut dictum est in annis Arabum.

(Cb44) § Aliud capitulum de inventione annorum Persarum per annos Arabum.

Cum autem annos Persarum ex annis Arabum per secundam tabulam ad hoc constitutam (AC31) volueris invenire, annorum perfectorum Arabum simile vel minus, propius tamen, in annis collectis quaere, et sibi suppositos annos Persarum et dies extra ordinatim scribe. Et residuum annorum Arabum praeteritorum in annis expansis item invenias, et sibi postpositos annos Persarum et dies aliis annis et diebus extra positis adiungas. Intrabis etiam cum mensibus Arabum perfectis, et accipiens dies illis subnotatos, diebus extra scriptis aggregabis. Addes quoque dies mensis imperfecti. Et si ex summa dierum creverint 365, annum unum annorum summae superadiunge, et ex remanentibus diebus facies menses, incipiens a Ferozdimeh, et dabis cuique numerum dierum eius; et qui remanserint erunt dies mensis praesentis nondum finiti. Et quae provenerit, erit summa annorum Persarum et mensium atque dierum.

(Cb45) § Inventio annorum Arabum per annos Christi per aliam tabulam.

Ut autem annos Arabum, menses et dies per hanc sequentem tabulam (AC11b*) item invenias, tali regula diligenter procedas: Annos domini Christi perfectos, menses, dies atque dierum quadrantes ab initio Ianuarii, eo ordine, quo sunt in libro, disponas. Menses tamen singulos ex triginta diebus constituas, aequando eos hoc modo: accipies scilicet ab eo, qui fuerit ex XXXI die, unum, minus vero habenti quod deerit adde. Et tunc horum similes vel pauciores, propiores tamen, in annis collectis quaere, et sub eis tali ordine scribe: annos videlicet sub annis, et menses sub mensibus, dies quoque sub diebus, atque quartas sub quartis. Et annos Arabum illis praescriptos extra scribens, annos de annis et menses de mensibus atque dies de diebus et quartas de quartis minue. Et tunc etiam simile residui vel minus proximum in annis expansis inventum extra sub residuo scribe, annos scilicet sub annis et cetera; et praescriptos annos Arabicos extra scriptis adiunge, et tunc annos de annis et menses de mensibus minue et cetera. Et cum eo quod remanserit iterum in mensium tabulas intra, et eius aequale vel minus extra sub eo pone, et praepositos menses Arabum sub eorum annis scribe, et quod ibi minus invenisti, de maiori minue, et remanebit numerus dierum mensis Arabum imperfecti. -- (Cb46) Si autem, cum minueris, oportuerit te plures menses de paucioribus minuere, ex annis solaribus unum demptum in XII menses trigenarios extende, et ex istis cum paucioribus iunctis quod debueris deme; et diebus infra descriptis adiunge V, et quartam quartis; quae si fuerint IIII, diem integrum restituent. Annus enim constat ex 365 et quarta, menses vero trigenarii XII non continent ultra 360.

(Cb47) § Inventio annorum Christi vel Alexandri vel aerae vel Gezdagird per annos Arabum.

Si autem annos Christi vel Alexandri vel aerae vel Gezdagirt aut Chilleneum per annos Arabum invenire volueris per consimilem tabulam (AC11c), numerum annorum Arabum perfectorum vel minorem, propinquiorem tamen, in tabula annorum collectorum Arabum vel cuiusvis eorum quaere, et annos, menses et dies et 4'as, quos in directo eius inveneris, accipe, et exterius distincte scribens, annos Arabum in tabula inventos de annis Arabum perfectis minue; et cum residuo tabulam annorum expansorum ingredere, accipiens ibi inventum et superius inventis aggregans. Hoc facto, cum mensibus anni imperfecti tabulam mensium ingrediens, ibi inventum accipies. Quo facto aggregentur menses adinvicem et dies et 4'ae; diebus addantur dies mensis Arabum imperfecti si qui sint, et si resultent 4 quartae, fiat dies, si vero 30 dies, fiat mensis, si autem 12 menses, ex eis fiat unus annus, tot tamen diebus adhibitis quot exiguntur ad anni completionem, et 4'a, si exigatur. Et habebis annos, menses et dies quos voluisti.

(Cb48) § Ut scias initia mensium Arabum.

Cum volueris scire, qua feria quisque mensis Arabum ingreditur, per tabulam ad hoc constitutam (AD11), sume annos Arabum omnes cum imperfecto anno addito, et cum eis in tabulam annorum collectorum ingrediens, ferias subscriptas sume; et cum remanentibus inde annis tabulam annorum expansorum ingredere, et ferias ibi descriptas cum aliis superius sumptis iunge. Intrabis etiam cum mense, cuius initium volueris invenire. Et eius ferias cum aliis iunctas per VII divide, et quod remanserit, qua feria idem mensis ingreditur, demonstrabit: nam si unum remanserit, prima feria; si duo, secunda feria; et sic de ceteris ingredi eum intellige.

(Cb49-51a = Cb223c-f, vide post Cb223b)

(Cb51b) Haec de diversa temporis divisione et annorum, mensium atque dierum inventione secundum diversarum gentium rationes dicta sufficiant. -- Nunc autem de caelestium motuum diversitate restat tractandum; sed prius sinus et declinationis necessario quodam ordine habenda est scientia: nam sine eius certa cognitione nulla perfecta cuiusvis caelestis motus habetur notitia.

(Cb52) § De inventione sinus et declinationis per kardagas.

Cum cuiuslibet gradus scire volueris sinum vel declinationem, gradus omnes, qui sunt ab ariete in ipsum gradum, cum eodem computa, et habebis argumentum per quod, quod quaeris, invenies. Quod si fuerit minus tribus signis, operaberis cum eo; si vero a tribus in sex, minues illud de sex et cum residuo operaberis; si autem a sex in novem, de eodem sex minue et reliquum serva; et si fuerit a novem in XII, illud de XII subtrahe et cum residuo operare. -- (Cb53) Operaberis autem ita: accipies scilicet unicuique argumenti signo numerum minutorum duarum kardagarum (Cb59; BA31), et XV gradibus numerum minutorum sequentis kardagae. Kardaga enim portio est circuli ex XV gradibus. Quod autem remanserit infra kardagam, reduc in minuta, multiplicando per 60, et multiplica ea in minuta imperfectae kardagae, et quae inde provenerit summam per 900 divide, et quae exierint minuta, universitati prius collectae minutorum kardagarum perfectarum adde; et quod remanserit dividendum, partire per 15, et exibunt tibi secunda, quae sub universitate minutorum scribens habebis sinum gradus, quem quaesieris, vel declinationem aequalem. -- (Cb54) Sciendum vero est quod, cum volueris sinum, facies cum kardagis sinus, et cum volueris declinationem, cum kardagis declinationis. Inventa autem declinatione habebis minuta, quae ut reducas ad gradus, divide per 60, et exibunt tibi gradus, et quod remanserit erunt minuta. -- (Cb55) Et si volueris scire utrum sit sinus vel declinatio septentrionalis vel meridiana, considera argumentum; quod si fuerit ex sex tantum signis vel infra, erit septentrionalis, si ultra, meridiana. -- (Cb56) Si autem volueris sinum versum vel declinationem, operaberis ut dictum est, sed a novissima kardagarum incipies, redeundo ad primam. -- (Cb57) Sciendum est etiam quod, cum quaesieris sinum versum et fuerit argumentum a tribus signis in sex, accipies tribus signis sinum totum et residui sinum aequalem, qui duo simul iuncti facient eiusdem argumenti sinum versum. Et non invenies in sinu verso plus sex signis, et in aequali plus tribus.

(Cb58) § De inventione portionis circuli cuiusque sinus.

Cum vero sinus aequalis volueris scire portionem eius circuli aequalem, pro minutis primae kardagae, de minutis ipsius sinus diminutis, 15 gradus sume; et pro minutis secundae kardagae de residuis demptis, alios XV; et ita facies per omnes kardagas. Et si remanserint minuta non perficientia kardagam, ea in XV vel 900 extende, et quod collectum tibi fuerit divide per minuta imperfectae kardagae, et qui exierint gradus adde illis quos prius collegeras; quodque iterum dividendum remanserit multiplicans per LX, divide ut prius divisisti, et habebis minuta. Et quod tibi collectum fuerit ex gradibus et minutis, erit portio circuli ipsius sinus. -- (Cb59) Et si volueris portionem versam, numera kardagas a fine earum, et fac ut prius determinatum est.

    § Tabulae kardagarum.

    Kar     Kardagae sinus              Kar     Kardagae declinationis
    daga                                daga
    rum     Minuta  Minuta   Minuta     rum     Minuta  Minuta   Minuta
    nume            univer   univer     nume            univer   univer
    rus             sitatis  sitatis    rus             sitatis  sitatis
                    ad       ad                                  ad
                    sinum
    I         39    rectum    150       I        362             1440

    II        36      75      111       II       341     703     1078

    III       31     106       75       III      299    1002      737

    IIII      24     130       44       IIII     236    1238      438

    V         15     145       20       V        150    1388      202

    VI         5     150     sinum      VI        52    1440     decl'm
                             versum                              versam

(Cb60) § Item de eodem per tabulas aziget.

Cum autem volueris hoc idem per tabulas invenire, argumenti simile in lineis numeri ad tabulas sinus et declinationis (BA11) quaere, et quod in directo eius inveneris de sinu vel declinatione ex gradibus, minutis atque secundis, sume; et hoc erit ipsius argumenti sinus vel declinatio.
    (Cb61) Si autem cum argumento fuerint minuta, iterum cum eodem argumento, gradu addito, easdem tabulas intra, et aequationem sinus vel declinationis suscipias; et huius secundae et primae considera differentiam, quam multiplicans per minuta argumenti, et summam inde provenientem dividens per 60, habebis minuta, et quae remanserint erunt secunda. Quae minuta scilicet et secunda sunt addenda primae aequationi, si fuerit minor secunda aequatione, vel minuenda si fuerit maior; et quod exierit erit sinus vel declinatio gradus et minuti quaesiti.

(Cb62) § De sinu verso.

Si vero sinum eius volueris versum, et fuerint gradus argumenti pauciores 90, eos minue de nonaginta, et quod remanserit simile in lineis numeri (BA11) quaere, et suum sinum vel declinationem accipe, cum aequatione minutorum si fuerint cum eo minuta; et eundem sinum de 150 minue, qui est totus sinus rectus; quod vero remanserit, erit sinus quem quaeris versus. -- Similiter facies ad declinationem. -- (Cb63) Si autem fuerint plures nonaginta, pro LX' sume sinum totum, et remanentium quaeres sinum aequalem, quem addens sinui toti, ipsius quem quaeris sinus versi habebis summam.

(Cb64) § De inventione portionis circuli cuiusque sinus.

Cum autem cuiuslibet sinus volueris invenire circuli portionem, eius similem vel minorem eo, propiorem tamen, in tabula sinus (BA11.Sin) quaere, si feceris ad sinum, vel declinationis (BA11.Dcl), si feceris ad eam; et quod in directo eius fuerit in lineis numeri, sume, quae erit portio circuli ipsius sinus. <**> Tunc eundem sinum minorem ibi inventum de maiori minue, et residuum per LX multiplica, et quod provenerit per id, quod est inter lineam cum qua intrasti et secundam in uno gradu maiorem, divide, et quae exierint minuta portioni circuli in lineis numeri inventae adde; et quod collectum fuerit, erit portio circuli ipsius sinus perfecta. -- (Cb65) Si autem portionem sinus volueris versam, et sinus fuerit minor 150, eum de toto sinu subtrahe, et remanentis quaere portionem, quam minues de LX' gradibus; et quod remanserit erit portio circuli illius sinus versa. -- (Cb66) Si vero sinus fuerit plus 150, ex eo sinum totum minue, scilicet 150, cuius portio est LX' graduum, et residui quaere portionem ut ostensum est; quam addens supra LX' habebis ipsius sinus portionem versam.

(Cb67) § Ad inveniendum latitudinem cuiusque regionis.

Cum latitudinem cuiusque regionis volueris invenire, altitudinem solis, dum fuerit altior, in media scilicet die, quaere; quam, si fuerit sol in initio arietis vel librae, a 90 debes subducere; et residuum latitudinem regionis, de qua quaeris, scias fore. -- (Cb68) Si autem extra haec duo fuerit loca, gradus in quo fuerit scias declinationem, quam, si fuerit septentrionalis, de altitudine solis in media die praesenti minue, et si meridiana, eidem adiunge; et quod post augmentum vel diminutionem provenerit, scias esse altitudinem arietis in eadem regione. Quam a 90 subtrahendo, ut dictum est, regionis ipsius invenies latitudinem, quae est elongatio eius a loco lineae aequinoctialis.

(Cb69) § Item de eodem per stellas fixas.

Si autem hoc idem per stellas fixas volueris investigare, quamlibet ex stellis fixis in eadem regione non occidentem considera. Nam non occidentes in eadem sunt regione, quarum longitudo a polo est minor elevatione poli ab horizonte; occidentes vero sunt, quarum longitudo est maior. Cuiusvis ergo non occidentis altitudinem altiorem et inferiorem invenias, easque insimul iunctas in duo media partire; quorum unum scias esse altitudinem poli ab horizonte regionis et eiusdem regionis elongationem a loco lineae aequinoctialis. In quantum enim regio aliqua distat ab aequinoctiali linea, in tantum septentrionalis polus in ea elevatur ab horizonte, et meridianus deprimitur.

(Cb70) § Ad sciendum altitudinem solis in quaque media die.

Cum altitudinem cuiusvis diei mediae in qualibet regione volueris invenire, declinationem gradus, in quo fuerit sol ea die, considera: quam, si fuerit septentrionalis, de latitudine regionis subtrahe, si vero meridiana, eidem latitudini eam adiunge. Et quod collectum tibi fuerit, de 90 minue; et quod remanserit post diminutionem, erit altitudo solis eiusdem diei mediae. -- (Cb71) Scias etiam quod, si minueris latitudinem regionis solam de 90, remanebit altitudo initii arietis et librae in eadem regione diei mediae.

(Cb72) § Ad inveniendum elevationes signorum in loco lineae aequinoctialis.

Cum elevationes sive ortus signorum in loco lineae aequinoctialis, qui caret latitudine, apud quem noctes diesque sibi semper sunt aequales, volueris invenire,

-- quae apud omnes regiones in circulo directo, qui est circulus earum meridianus, sunt eaedem; (Cb73) in horizonte autem cuiusque regionis propter diversas earum latitudines fiunt diversae: nam in quantum quaedam, propter obliquitatem horizontis regionis, velocius ortu suo in loco lineae aequinoctialis oriuntur, in tantum eorum opposita tardius surgunt, et in quantum quaedam tardius occidunt, in tantum eorum opposita citius cadunt; elevationes vero duorum oppositorum vel eorum occasus in loco lineae aequinoctialis et in circulo directo cuiusque regionis sunt eaedem --

-- quae est, secundum quod narravit Ptolomaeus, XXIII graduum et LI minuti, et secundum inventionem Iahie ben Abimansoris admirabilis considerationis XXIII graduum et XXXIII minutorum et 30 2'orum; quae apud nos ducitur verior, quia primam novimus rumore, et hanc didicimus per considerationem --

(Cb78a) Est etiam tabula ad hoc constituta, ut uniuscuiusque gradus elevatio levius possit inveniri:

(Cb78b) § Item de eodem per tabulas.

Cum ergo hoc idem per tabulam ad hoc constitutam (BB11) volueris invenire, cum gradu, cuius elevationem quaeris, tabulam circuli directi ingredere, et elevationem ibi suppositam suscipe, quae erit elevatio circuli directi a primo gradu capricorni usque in gradum cui numerasti.

(Cb79) § Ad inveniendum elevationes signorum in qualibet regione.

Si autem elevationes signorum in qualibet regione volueris invenire, eiusdem regionis latitudinis sinum quaeras, qui erit primus. Deinde eandem latitudinem a LX' subtrahe, et remanentis quaere sinum, qui erit secundus. Post haec quoque declinationis signi, cuius elevationem scire volueris, quaere sinum, qui erit tertius. Minues etiam eandem declinationem de LX', et residui invenias sinum, qui erit quartus. Igitur sinum primum in sinu tertio multiplica, et quod exierit per sinum secundum divide, et quod exierit in 150 extende, et quod provenerit per sinum quartum divide; cuius portionem circuli invenias, quae erit portio arietis; serva eam. -- (Cb80) Post haec invenias portionem tauri cum declinatione LX graduum, et serva eam. -- (Cb81) Invenias etiam portionem geminorum cum declinatione tota, et eam memoriae commenda. -- (Cb82) Inventis autem horum portionibus, ita elevationes signorum poteris investigare: nam si de elevatione arietis in circulo directo minueris eius portionem, quod remanserit erit elevatio eiusdem et piscium in eadem regione; et si eandem portionem addideris elevationi eiusdem arietis in circulo directo, quod excreverit erit elevatio oppositorum horum in eadem regione, virginis scilicet et librae. -- (Cb83) Similiter cum portione tauri diminuta invenies elevationem eius et aquarii; et cum augmentata, oppositorum eorum, scorpionis scilicet et leonis. -- (Cb84) Hoc idem facies cum portione geminorum; et per diminutam invenies eius elevationem et capricorni, et per augmentatam, oppositorum eorum, cancri scilicet et sagittarii.

(Cb85a) Est et aliud capitulum convenientius ad idem inveniendum:

(Cb85b) § Item de eodem per umbram arietis.

Cum ergo ascensiones uniuscuiusque signi vel gradus volueris invenire in qualibet regione, umbram (BC21) initii arietis in eadem regione in hoc quod in directo unius gradus inveneris in tabula differentiae ascensionum universae terrae (BC11), multiplica, et provenientis tibi summae portionem circuli quaere, quae erit differentia primi gradus arietis. Similiter multiplica eandem umbram in hoc quod est in directo duorum graduum, et invenies eorum differentiam. Sicque facies cum omnibus gradibus usque ad LX'. -- (Cb86) Inventis autem differentiis, minue differentiam primi gradus arietis de elevatione eius in circulo directo, et adde eam super eandem: eritque diminuta elevatio primi gradus arietis et ultimi gradus piscium in eadem regione, et augmentata ultimi gradus virginis et primi gradus librae. Hoc etiam modo facies cum omnibus differentiis usque ad LX'.
    (Cb87) Si autem volueris facere tabulam ad universum circulum (cf. BD+), minue elevationem primi gradus arietis de 360 gradibus, et remanebunt elevationes quae sunt ab initio arietis usque in vicesimum nonum gradum piscium in eadem regione; et adde quod est primi gradus librae super CLXXX gradus, et habebis elevationes signorum quae sunt ab initio arietis usque in finem primi gradus librae; et minue quod est primi gradus librae de centum octoginta, et remanebunt elevationes signorum ab initio arietis in finem XXN gradus virginis. -- Post haec etiam minue differentiam duorum graduum arietis de elevatione eorum in circulo directo, et adde eam eidem: eritque diminuta elevatio duorum graduum arietis in eadem regione, et augmentata duorum graduum librae. Minue quoque elevationem ipsam duorum graduum arietis de 360, et remanebunt elevationes signorum quae sunt ab initio arietis in vicesimum octavum gradum piscium; et adde elevationes duorum graduum librae super 180, et habebis elevationes signorum quae sunt a principio arietis usque in finem secundi gradus librae; et minue eandem elevationem de 180, et remanebunt elevationes quae sunt ab initio arietis usque in finem XXVIII gradus virginis. -- Sic facies in omnibus, ut habeas elevationes omnium graduum signorum in regione ipsa.

(Cb88) § De signis.

Si autem volueris elevationem totius arietis in regione illa, minue differentiam arietis de elevatione eius in circulo directo, et remanebit elevatio arietis in regione tua; et adde eam super eandem, et habebis elevationem librae. Sicque facies in aliis.

(Cb89) § De elevatione cuiusque gradus per tabulas.

Cum autem scire volueris ascensiones cuiusvis gradus per tabulam ad hoc constitutam (BD+), considera cuius signi gradus sit; <**> et accipiens elevationes quae fuerint in directo eius, habebis elevationes graduum qui sunt ab ariete in finem ipsius gradus, secundum situm civitatis Cremonae (BD20): nam ad situm huius civitatis hae sunt inventae signorum elevationes. -- (Cb90) Si autem cum gradu fuerint minuta, accipe etiam elevationes quae fuerint in directo sequentis gradus, et tunc utrarumque differentiam multiplica in minutis quae sunt cum gradu, et quod collectum fuerit divide per LX, et quod exierit adde super elevationes primas, et tunc [quaere gradus illos in sequentibus gradibus, et] habebis elevationes omnes quae sunt ab ariete usque in ipsum minutum. Et haec aequatio est sicut aequatio sinus, cum sunt cum argumento minuta. -- (Cb91) Si autem volueris scire elevationes V graduum vel plurium vel pauciorum cuiuslibet signi, accipe ascensiones quae sunt in directo gradus praecedentis primum ipsorum, et minue eas de ascensionibus quae sunt in directo ultimi gradus eorum; et quae remanserint, erunt ascensiones eorundem graduum. -- (Cb92) Si vero cum ipsis gradibus fuerint minuta, aequa illa sicut prius demonstratum est. -- (Cb93) Si scire etiam libuerit, quot elevationes sint inter aliquem gradum et quemlibet alium, minue ascensiones, quae fuerint in directo primi gradus, de ascensionibus quae fuerint in directo alterius; et remanebunt ascensiones quae sunt in medio. -- (Cb94) Si vero id, quod est in directo primi, fuerit plus eo quod est in directo secundi, adde super id, quod est in directo secundi, 360 gradus, et ex eo quod collectum fuerit minue quod est in directo primi, et residuum erit quod quaeris.

(Cb95) § Conversio graduum ascensionum in gradus aequales.

Cum autem volueris reducere gradus ascensionum in gradus aequales, considera cuius signi sint gradus reducendi, et adde super eos ascensiones ultimi gradus praecedentis signi; et quod collectum fuerit quaeres simile in gradibus ascensionum (BD+), vel minus, propius tamen, ut dictum est in tabula sinus et declinationis; minuesque, quod inveneris minus, de hoc quod habueris; gradusque in prima linea positos accipies, qui erunt gradus aequales. Et quod remanserit multiplica in LX, et summam inde provenientem per differentiam graduum ascensionum, quos invenisti, et +reliquorum+ in secunda linea positorum divide, et quae exierint minuta gradibus aequalibus adiunge; et qui exierint erunt gradus aequales.

(Cb96) § Conversio graduum aequalium in gradus ascensionum.

Si vero reducere volueris gradus aequales in gradus ascensionum per numerum absque tabula, multiplica quot volueris gradus aequales in gradus elevationum eiusdem signi, et quod collectum fuerit divide per XXX, et exibunt tibi gradus ascensionum; quodque remanserit multiplicans per LX, divides quod inde provenerit sicut divisisti, scilicet per XXX, et exibunt minuta; et sic habebis elevationes ipsorum graduum cum suis minutis.

(Cb97) § Conversio graduum ascensionum in gradus aequales per numerum.

Si autem volueris convertere gradus ascensionum in gradus aequales, multiplica gradus ascensionum in XXX, et divides quod collectum fuerit per elevationes eiusdem signi, et habebis eorum gradus aequales; et quod superfuerit multiplicabis in LX, et quod collectum tunc tibi fuerit dividens ut prius divisisti, habebis minuta; iunge ea gradibus prius inventis, et habebis gradus aequales atque minuta.

(Cb98) § Inventio portionis circuli +directi+ cuiusque diei.

Cum portionem circuli in die volueris invenire, quaere elevationes signorum quae sunt a gradu solis in oppositum eius. Quas ita invenies: accipies scilicet elevationes graduum, qui sunt a gradu solis in finem sui signi, et elevationes graduum, qui sunt ab initio oppositi signi in oppositum gradum solis, quibus collectis addes etiam elevationes signorum in medio positorum; et habebis portionem circuli in die transeuntem, +circuli scilicet directi+.

(Cb99) § Inventio eiusdem per tabulam.

Si vero volueris idem scire per tabulam (BD+), minues ascensiones gradus solis de ascensionibus nadir eius, et quod remanserit erit portio circuli diei. -- (Cb100) Si autem ascensiones gradus solis fuerint plures, adde super ascensiones nadir gradus solis 360, et minue ex eo, quod colligitur, quod prius debueras. -- (Cb101) Et si volueris portionem circuli in nocte invenire, portionem circuli in die minue de 360, et quod remanserit erit portio circuli +directi+ transeuntis in nocte.

(Cb102) § Inventio quantitatis horarum diei et noctis.

Ut autem invenias numerum partium horarum diurnarum, portionem circuli diurnam divides per 12, et exibit numerus partium horarum eiusdem diei. -- (Cb103) Si autem volueris partes horarum noctis, partes horarum diei minues de 30, et remanebunt partes horarum noctis. -- (Cb104) Vel portionem circuli nocturnam divides per XII, sicut fecisti in die.

(Cb105) § Inventio numeri horarum diei et noctis aequalium.

Si vero volueris invenire horas cuiusque diei aequales, portionem circuli diei partire per 15, et exibit numerus horarum diei aequalium. -- (Cb106) Quem si minueris de 24, remanebit numerus horarum noctis aequalium; vel divides portionem circuli noctis per 15.

(Cb107) § De inveniendis horis diei per altitudinem solis.

Cum autem volueris scire horas diei transactas per altitudinem solis acceptam, ipsius altitudinis invenias sinum, quem multiplicabis in 150, et summam inde provenientem divides per sinum altitudinis mediae eiusdem diei, et qui inde provenerit sinus invenies circuli portionem; quam si diviseris per 15, habebis quot horae aequales transierint de die, si fuerit probatio tua ante medium diem; si vero post mediam diem, tot horae aequales restant ad perficiendum diem. Minue eas de horis aequalibus eiusdem diei integri, et remanebunt horae aequales de die transactae. -- (Cb108) Si autem diviseris portionem circuli per partes horarum eiusdem diei, exibunt horae inaequales de die transactae, si fuerit probatio tua ante medium diem; si vero post mediam diem, tot restant de die: minue eas de XII, et remanebunt horae inaequales de die transactae.

(Cb109) § De conversione horarum aequalium in inaequales et e converso.

Et si volueris reducere horas aequales in horas inaequales, multiplica horas aequales in XV, et divide quod collectum fuerit per partes horarum diei illius, et habebis horas inaequales. -- (Cb110) Si vero volueris convertere inaequales in aequales, multiplica eas in partibus horarum diei ipsius, et divides quod provenerit per XV, et habebis horas aequales.

(Cb111) § Aliud capitulum ad inveniendum horas diei praeteritas.

Si autem hoc idem aliter invenire desideras, sinum altitudinis solis in sinu mediae portionis circuli diei verso multiplica, et quod collectum tibi fuerit per sinum altitudinis mediae diei divide, et quod inde exierit, de sinu verso mediae portionis circuli diei illius minue, et quod inde remanserit, eius portionem circuli versam invenias, quam de media portione circuli diei minuas, si fuerit probatio tua ante medium diem, vel illi addas, si fuerit post mediam diem; et quod post augmentum vel diminutionem provenerit, erit quod elevatum est de circulo +directo+ ab ortu solis; divide illud per partes horarum diei illius, si volueris horas inaequales, vel per XV si volueris aequales, et habebis horas diei transactas.

(Cb112) § De inventione ascendentis signi per horas.

Si vero ascendens per horas volueris invenire, horas ipsas, si fuerint inaequales, in partes horarum diei illius multiplica, si autem aequales, in XV; et quod inde colligitur, super ascensiones, quae sunt ab initio signi in quo fuerit sol usque in gradum eius, adde; et qui tibi collecti fuerint gradus ascensionum, reduc in gradus aequales, quos ab initio signi in quo fuerit sol distendens, in quo terminaverint, gradus erit ascendens vel minutum.

(Cb113) § Inventio orientis signi per ascensionum tabulas.

Et si volueris hoc idem per tabulas invenire ascensionum (BD+), summam graduum horarum praeteritarum supra ascensiones gradus solis adde, et eius, quod collectum fuerit, simile in eisdem tabulis quaere, vel minus propinquius; et gradus aequales illi praepositos suscipe, qui erunt gradus ipsius signi ascendentes. -- (Cb114) Si autem, quod inveneris in tabulis, non aequale sed minus fuerit, de hoc cum quo intraveras minue, et quod remanserit in LX multiplica, et summam quae inde provenerit per differentiam lineae, in quam intrasti, et sequentis divide, et minuta, quae inde provenerint, gradibus adiunge inventis. -- (Cb115) Si autem volueris in nocte hoc invenire, idem facias per horas noctis et nadir gradus solis, quod dictum est in die, et habebis gradum quem quaeris ascendentem.

(Cb116a) § De inveniendis XII domibus.

Cum autem gradum medii caeli et reliquarum domorum volueris invenire, ascensiones, quae sunt ab initio arietis in gradum ascendentem per circulum obliquum, extende ab initio capricorni per ascensiones circuli directi; et gradus, qui sibi debetur aequalis, erit gradus medii caeli.
    Adde etiam super easdem ascensiones partes horarum gradus ascendentis duplicatas, et habebis ascensiones gradus XI'ae domus; reduc eas in gradus aequales per circulum directum, et gradus qui provenerit erit gradus XI'ae domus aequalis. Adde quoque easdem partes duplicatas super ascensiones XI'ae domus, et invenies ascensiones XII'ae domus; quas reducendo in gradus aequales invenies gradum XII'ae domus. Si vero addideris easdem partes duplicatas super ascensiones XII'ae domus, habebis ascensiones gradus ascendentis, per quas necessario invenies gradum ascendentem aequalem.
    (Cb116b) Ut autem invenias gradum secundae domus, partes horarum duplicatas de LX minue, et quod remanserit, super ascensiones gradus ascendentis adde, et invenies ascensiones secundae domus; et gradus, qui sibi debetur aequalis, erit gradus secundae domus. Adiunge quoque ipsum residuum ex LX ascensionibus secundae domus, et habebis ascensiones tertiae domus, per quas invenies gradum tertiae domus aequalem. -- Inventis autem hiis sex mansionibus, reliquarum leviter habebitur notitia: est enim gradus quartae domus nadir decimae, et quintae nadir XI'ae, et VI'ae nadir XII'ae, et VII'ae nadir primae, et VIII'ae nadir II'ae, et nonae nadir tertiae.

(Cb117) § Ad idem inveniendum per tabulas.

Et si hoc idem per tabulas volueris invenire, quis gradus signi sit ascendens considera, et talem gradum in tabula aequationis domorum (BH11) ad idem signum inter gradus aequales quaere, et 5 capitula, quae in directo illius gradus sunt, accipe, quae erunt secunda, tertia, quarta, quinta, sexta domus; gradus autem ascendens est prima. -- (Cb118) Ad inveniendas igitur reliquas domos addenda sunt singulis istarum 6 signa: sunt enim reliquae domus nadir istarum, ut dictum est.

(Cb119) § De inveniendis horis per ascendens.

Si autem, quot horae transierint in die, per gradum ascendentem volueris invenire, ascensiones, quae sunt a gradu solis in ascendentem, per partes horarum diei illius dividens habebis horas diei inaequales transactas; si vero per XV diviseris, habebis aequales. -- (Cb120) Et si idem fuerit in nocte, ascensiones, quae sunt a nadir gradus solis in ascendentem, per partes horarum noctis, si volueris horas inaequales, vel per XV, si volueris aequales, divide; et habebis horas ipsius diei vel noctis praeteritas.

(Cb121) § Inventio altitudinis solis in qualibet hora diei.

Cum qualibet hora diei altitudinem solis volueris invenire, horas diei illius praeteritas -- et hoc si fuerit ante mediam diem; sed si post mediam diem, horas quae restant ad perficiendum diem -- si fuerint aequales, in XV multiplica, et si inaequales, in partes horarum diei illius; et qui tibi provenerint graduum invenias sinum, quem multiplicabis in sinum altitudinis solis in media illa die, et quod collectum fuerit divide per 150, et qui inde provenerit sinus invenias circuli portionem; et haec erit altitudo solis in eadem hora.

(Cb122) § Inventio umbrae per solis altitudinem.

Si vero umbram solis vel alterius luminosi per altitudinem scire desideras, altitudinis ipsius sinum invenias. Minue quoque altitudinem de LX', et residui similiter quaere sinum; quem multiplicabis in XII, et divides summam collectam per sinum primum, et qui inde tibi provenerit numerus erit punctorum umbrae; et quod remanserit multiplica in LX; et dividens sicut divisisti, habebis imperfecti puncti minuta. Et sic, quot punctorum et minutorum fuerit umbra, te invenisse cognoscas.

(Cb123) § Altitudo per umbram.

Si autem altitudinem per umbram reperire laboras, umbram in seipsam multiplica, et quod provenerit adiunge 144, et summae inde excrescentis radicem invenias, quae erit ipsius umbrae podismus; quem memoriae commenda. Deinde iterum umbram in 150 extende, et quae inde processerit summam per podismum partire, et quod ex divisione exierit invenias circuli portionem, quam minuens de nonaginta, remanebit altitudo in eadem hora. -- (Cb124) Vel si diviseris 1800 per podismum umbrae, et quod exierit inveneris portionem, habebis solis altitudinem.

(Cb125) § Inventio umbrae ex altitudine per tabulam.

Et si umbram ex altitudine volueris invenire per tabulam ad hoc factam, (BC21) altitudinem in tabula quaere, et quae sibi debentur puncta subscripta et minuta suscipe, et habebis altitudinis umbram. Si autem cum altitudine fuerint minuta, fac de eis quemadmodum in sinu et declinatione [et] praemissis regulis determinatum est.

(Cb126) § Inventio altitudinis umbrae per tabulam.

Si vero altitudinem per umbram volueris scire, umbram in tabula (BC21) quaere, et quae sibi debetur altitudinem sume cum aequatione minutorum, sicut supra docuimus; et haec est facilis, quod quaeris, doctrina.

(Cb127) § De inquisitione motuum VII corporum caelestium contra mundum nitentium.

Post motuum superioris circuli notitiam restat septem caelestium corporum infra positorum circulorum cursus investigare. Hoc autem scire volentibus, quae sint eorum radices, qui numerus et quae ratio annorum secundum quos idem motus inveniuntur, considerandum praemittitur; nec non horam diei vel noctis, qua hoc opus initium sumpserit, (Cb128) longitudinem quoque et latitudinem loci ad quem eorum medii cursus constituuntur; (Cb129) atque alia multa, quae huic operi praemittuntur necessaria, ut est argumentum, augis, Geuzahar, centrum, stationes, anni collecti, anni expansi, et cetera, quae alibi praetermisimus exposita; haec vero, quia huic investigationi valde sunt necessaria, breviter hic sunt exponenda.
    (Cb130) Radices ergo solis et lunae et quinque planetarum dicuntur partes signorum, in quibus eaedem stellae erant hora initii annorum secundum quos earundem cursus investigantur; quae in capitibus tabularum annorum collectorum (C*) praemittuntur. -- (Cb131) Numerus autem et ratio istorum annorum, qui lunares dicuntur, superius satis est manifestata. -- (Cb132) Initium vero ipsorum annorum constat fuisse mediam diem quartae feriae, quae praecessit quintam feriam, quae fuit prima dies primi mensis lunaris, a qua primus annus Arabum ducit originem. -- (Cb133) Longitudo autem loci, ad medium diem cuius radices praedictae (CA*) in hoc libro positae sunt, qui Toletum dicitur, est quattuor horarum spatium et decimae unius horae a medio mundi, qui locus creditur esse in India, in civitate scilicet quae vocatur Arin; cuius longitudo ab oriente et occidente est LX' graduum; latitudo vero eius nulla est, eo quod sub aequinoctiali linea sita est. Latitudo autem Toleti, scilicet distantia eius ab aequinoctiali, est 39 graduum et LIIII minutorum. -- (Cb134a) Argumentum vero in sole est distantia eius ab auge sua; (Cb134b) in luna autem et in planetis est distantia eorum a summitatibus epicyclorum suorum. -- (Cb135) Centrum vero in planetis dicitur distantia centrorum epicyclorum ipsorum ab augibus suis; in luna vero vocatur longitudo duplex. -- (Cb136) Augis autem planetae vocatur ubi magis excentricus eius circulus recedit a centro terrae. -- (Cb137a) Geuzahar vero planetarum vocantur intersecationes quae fiunt a circulis eorum et circulo solis. -- (Cb137b) Planetae autem dicuntur in duobus locis epicycli sui stare: in initio videlicet retrogradationis et in initio directionis; sed ubi incipit retrogradari, dicitur statio prima, et ubi dirigi, statio secunda. -- (Cb138a) Anni vero collecti dicuntur eo quod XXX colligantur ad constitutionem unius lineae; anni autem expansi eo quod usque ad 30 simplices extendantur. -- (Cb138b) Haec autem breviter, causa introducendi animum lectoris, dicta sufficiant.

Nunc vero, qualiter medius cursus cuiusque eorum possit inveniri, subditur regula.

(Cb139) § De inventione medii cursus cuiuslibet planetarum.

Cum cuiuslibet planetae medium cursum libuerit invenire, annorum Arabum perfectorum numerum in tabula annorum collectorum eiusdem (CA*) quaere, vel eo minorem, ei tamen propiorem; et quod in eius directo ex signis, gradibus, minutis atque secundis fuerit, singillatim, eo ordine ut sunt, extra scribe. Deinde, qui tibi remanserint annos a numero invento, in tabula annorum expansorum ipsius planetae require; et quae ibi inveneris signa, gradus, minuta et secunda, omnia ordinatim sub primis pone, videlicet signa sub signis et gradus sub gradibus, minuta quoque sub minutis atque secunda sub secundis. Intrabis etiam cum mensibus anni praesentis perfectis, et quae sibi debentur signa, gradus et cetera, ut dictum est, sub aliis nota. Vide quoque quot dies mensis imperfecti transierint, et cum eis tabulam dierum intra, et quod illis subscriptum est ex signis, gradibus, minutis atque secundis, cum aliis seorsum, ut prius determinatum est, signa. -- Sciendum tamen est quod dies quaeque incipiat in medio praecedentis diei et finiat in medio sui. -- Unde vide quot horae transierint post mediam praesentem diem, et cum eisdem tabulam horarum ingredere; et quod illis debetur extra sub aliis pone. Intrabis etiam cum momentis horae imperfectae transactis; et quod ibi inveneris ex minutis et secundis atque tertiis, quod accipias pro integro, sub aliis sicut supra determinavimus scribe.
    Quae omnia, cum ita notaveris, in unum sic poteris colligere: secunda omnia in unum collecta per LX divide, et quot ibi ex divisione LX numeri provenerint, tot minuta minutis adiunge, et quae infra remanserint, inferius per se pone. Item minuta simul iuncta per LX divide, et quot LX inde exierint, tot gradus gradibus adde, et quae ex divisione remanserint minuta, seorsum ante secunda scribe. Divides etiam gradus insimul collectos per XXX, et quot XXX habueris, tot signa signis adice, et qui tibi remanserint <gradus>, inferius minutis et secundis praepone. Signa quoque in unum sumpta per XII partire, et quod ex divisione provenerit praetermitte, quod vero remanserit, inferius ante gradus, minuta et secunda scribe. -- Et hic erit medius cursus planetae ad horam civitatis Toleti quaesitam; ad quam medius cursus planetarum secundum hunc librum constitutus est.
    (Cb140) Si autem ad alterius longitudinis civitatem medium cursum planetarum scire desideras, longitudo inter eandem civitatem et Toletum quot horarum sit considera, et tunc medium cursum planetae in tot horis invenias. Qui, si fuerit civitas illa a Toleto in occidente, erit addendus medio cursui planetae ad Toletum invento; si vero fuerit in oriente, ab eodem subtrahendus est; et qui tunc remanserit, erit medius cursus planetae in civitatis illius hora quaesita. -- Verbi gratia, cum Cremona distet a Toleto in oriente per XX gradus longitudinis, id est per horam et per tertiam partem horae -- hora enim ex XV gradibus constat -- invento medio cursu solis ad medium diem civitatis Toleti, si subtraxero medium cursum solis in hora una et tertia horae, id est XX momentis, remanebit medius cursus solis ad medium diem civitatis Cremonae.

(Cb141a) § De examinatione cursus solis.

Si autem solis locum examinare desideras, medium illius cursum (CA01), sicut praemonstratum est, quaere, eumque inventum in duobus locis praenota, quorum unum integrum reserva. Ex altero vero, si potueris, augem solis (DA01), id est duo signa XVII gradus atque L minuta, subtrahe; sin autem, eidem medio cursui XII signa adiunge et ex inde surgenti numero augem praedictam subripe; et tunc quod tibi remanserit, erit solis argumentum. -- (Cb141b) Cum quo lineas numeri (EA01) intra, et quam in directo eius inveneris aequationem solis, exterius nota; quam debes addere medio cursui solis integro reservato, si fuerit argumentum plus sex signis, vel ex eo minuere, si fuerit idem argumentum minus sex signis. -- (Cb142) Si autem cum argumento fuerint minuta, intrabis cum eo secundo, eidem -- scilicet argumento -- gradu uno addito, in tabulam, et quae sibi debebitur aequationem sub prima aequatione scribito. Deinde differentiam utriusque aequationis considera -- subtrahendo scilicet minorem aequationem de maiori, et residuum erit differentia -- cuius accipies partem proportionalem ad totam differentiam secundum proportionem minutorum argumenti ad LX, per denominationem vel per multiplicationem et divisionem, vel per tabulas ad hoc factas: quam addes aequationi primae, si fuerit minor secunda, vel minue eandem partem ex ea, si fuerit maior secunda. Vel si volueris, multiplica minuta argumenti in tota differentia, cum utraque fuerit reducta ad ultimum genus, et postea divide per 60, et quod inde exierit ex gradibus, minutis vel secundis primae aequationi, si fuerit minor, sicut dictum est, adde, vel si maior fuerit, subtrahe. Quam postea addes medio cursui solis, si fuerit argumentum plus sex signis, vel minue, si fuerit minus, sicut prius determinatum est; et tunc habebis locum solis certissime, cuius initium erit ab initio arietis in 8'a sphaera. Cui certo loco addes locum 8'ae sphaerae, et habebis certiorem; et sic fit in aliis planetis.

(Cb143) § De investigatione certi loci lunae.

Si certum lunae locum volueris indagare, eius medium cursum et argumentum, per se unumquodque videlicet ex tabulis (CA11, CA21), sicut fit de sole, suscipe. Deinde medium cursum solis de lunae medio cursu subtrahe, et quod remanserit duplicans habebis lunae centrum, quod longitudo duplex appellatur, quod intitulatur centrum lunae. Cum quo tabulas numeri (EA11) ingrediens, quod in eius directo fuerit ex aequatione centri et minutis proportionalibus, unumquodque scilicet per se sumptum, seorsum scribe. Considera ergo centrum lunae: quod si fuerit minus sex signis, adde aequationem centri argumento lunae; si vero plus fuerit, eandem aequationem ab argumento detrahe; et sic idem aequabis argumentum, et dicetur argumentum aequatum.
    Intrabis igitur cum eodem lineas numeri lunae, scilicet cum argumento aequato, et quod in directo eius inveneris ex aequatione argumenti et aequatione diversitatis diametri circuli lunae brevis, qui epicyclus dicitur, extra singula per se pone. Deinde accipe ex diversitate diametri partem proportionalem ad totam diversitatem secundum proportionem minutorum proportionalium ad LX; quam addes aequationi lunae argumenti. Quae aequatio argumenti sic examinata addenda est medio cursui lunae prius ex tabulis sumpto et integro reservato, si fuerit argumentum plus sex signis, vel ab eodem tollenda, si fuerit minus sex signis; et qui remanserit erit lunae locus certissimus. cuius initium est ab ariete, sicut prius dictum est in sole.

(Cb144) § De capite draconis.

Quaere capitis draconis medium cursum (CA31), sicut fit in sole; quem a XII signis subtrahens, invenies eius locum. Nam quod post diminutionem medii cursus eius de XII signis remanserit, erit certus capitis draconis locus, qui incipit, sicut planetae omnes, ab ariete.

(Cb145) § De examinatione trium superiorum planetarum.

Cum quemlibet trium superiorum planetarum visui placuerit adaequare, medium cursum cuiusvis illorum (CA41-61) quaere, quem ex medio cursu solis deme, et quod remanserit, pro argumento eiusdem planetae tene. Minue etiam ex medio cursu planetae augem illius (DA4*-6*), et quod exinde reliquum fuerit, erit centrum planetae, quod sub argumento pone. -- (Cb146) Cum eodem igitur centro lineas numeri planetae (EA41-61) ingredere, et aequationem centri, quam in eius directo inveneris, extra sub centro nota; super quam scribes "addatur", si fuerit centrum plus sex signis, et addes illam centro et minues eandem ab argumento; si vero centrum fuerit minus sex signis, scribe super eius aequationem "minuatur", quam deme de centro et adde argumento; et sic habebis utrumque aequatum, centrum videlicet et argumentum. Intra igitur secundo lineas numeri cum eodem centro aequato, et minuta proportionalia in eius directo inventa inferius per se nota. -- (Cb147) Intrabis etiam easdem lineas cum argumento aequato, et quod sibi debetur ex argumenti aequatione et ex diversitate diametri epicycli planetae in altera longitudinum, unumquodque per se scribe: accipies enim de longitudine longiori, si fuerit centrum ante eius aequationem ab uno gradu in tria signa vel a novem signis in XII; si vero fuerit a tribus in novem, sumes de longitudine propiori. Cuius diversitatis recipies partem proportionalem secundum proportionem minutorum proportionalium ad LX, per denominationem vel per multiplicationem, sicut exposuimus in sole. Quam partem addes aequationi argumenti, si fuerit longitudinis propioris, vel detrahes eandem ab illa, si fuerit longitudinis longioris; et remanebit aequatio argumenti examinata per diversitatem diametri epicycli; super quam scribes "addatur", si fuerit eius argumentum minus sex signis, vel "minuatur", si fuerit plus. -- (Cb148) Deinde hanc aequationem argumenti et aequationem centri considera: si supra utramque scribitur "addatur", iunge utramque et adde illas medio cursui planetae; et si scribitur super utramque "minuatur", minue utramque de medio cursu planetae; si autem supra unam scribitur "minuatur" et supra alteram "addatur", minue minorem de maiori; et quod remanserit, si inscribitur "minuatur", minue, et si inscribitur "addatur", adde illud medio cursui planetae prius invento et integro reservato. Et hic erit post augmentum vel diminutionem certissimus planetae locus.

(Cb149) § Examinatio Veneris et Mercurii.

Examinatio autem Veneris et Mercurii est sicut examinatio trium superiorum, (Cb150) praeter quod argumenta istorum inveniuntur ex tabulis (CA71-81), medius autem cursus eorum est medius solis cursus. -- (Cb151) Variatur tamen in minutis proportionalibus Mercurii (EA81.Pro): scimus enim, utrum diversitas diametri addenda sit aequationi argumenti vel minuenda, considerantes minutorum proportionalium titulum. Nam si ibi inscribitur "minuatur", minuimus eandem diversitatem, si vero "addatur", addimus, non curantes utrum diversitas illa sit in longitudine longiori vel propiori, sicut in aliis fit planetis.

(Cb152) § De retrogradatione planetarum et eorum directione atque statione.

Cum autem de quovis planeta, utrum stationarius sit vel retrogradus vel directus, scire desideras, cum eius centro aequato lineas numeri eiusdem planetae intra, et stationem eius primam (EA41-81.Sta), quam in directo eius inveneris, seorsum per se nota; quam si minueris de XII signis, remanebit statio secunda, quam scribes sub prima.
    (Cb153) Deinde argumentum planetae aequatum considera: quod si fuerit aequale stationi primae in signis, gradibus et minutis, erit planeta stationarius, in statione scilicet prima, ut retrogradari incipiat. -- (Cb154) Si vero fuerit idem argumentum plus statione prima et minus secunda, erit retrogradus; (Cb155) et si fuerit aequale stationi secundae, erit item stationarius, in statione scilicet secunda, ut dirigere se incipiat. -- (Cb156) Si autem fuerit argumentum praenominatum plus statione secunda vel minus prima, erit planeta directus. -- (Cb157) Quod si fuerit retrogradus et volueris invenire, quot dies transierint ab initio eius retrogradationis, stationem eius primam de illius argumento aequato minue, et quod exinde remanserit per motum argumenti planetae in una die partire, et qui exinde provenerit numerus erit dierum numerus ab initio eius retrogradationis praeteritorum; qui vero remanserit multiplica in XXIIII, et quod collectum tibi fuerit divide per eundem argumenti motum in una die, et exibit numerus horarum diei praesentis praeteritarum; et sic habebis quot dies et horae transierint a principio eius retrogradationis. -- (Cb158) Si autem, quando procedere incipiet, scire volueris, argumentum praenominatum scilicet aequatum de statione eius secunda diminue, et quod remanserit per motum argumenti in una die, sicut praemonstratum est, divide; et invenies quot dies et horae sint usque ad eius directionem. -- (Cb159) Si vero quaesieris quando retrogradabitur si fuerit directus, argumentum illius aequatum a statione eius prima subtrahe, et quod residuum inde fuerit, ut quod quaeris invenias, sicut supra docuimus, partire.

(Cb160) § De inventione motus argumenti planetae in una die.

Ut autem motum argumenti planetae in una die invenias, medium cursum planetae unius diei trium superiorum (CA41-61) ex medio cursu solis in una die (CA01) minue, et quod remanserit erit motus argumenti planetae illius in una die. -- Verbi gratia, medius cursus Saturni in una die sunt duo minuta, quae si minueris de LVIIII minutis et octo secundis, quae sunt medius cursus solis unius diei, remanebunt LVII minuta et VIII secunda, quae sunt argumentum Saturni in una die. Iovis LIIII minuta et novem secunda; Martis XXVII minuta X'II secunda. Veneris autem et Mercurii argumentum extrahitur ex tabulis (CA71-81), Veneris scilicet XXXVII minuta, Mercurii vero III gradus VI minuta atque XXIIII secunda.

(Cb161) § De elongatione solis a linea aequinoctiali.

Cum solis volueris invenire declinationem, quae est eius elongatio ab aequinoctiali linea, cum gradu eius tabulam declinationis (BA11.Dcl) intra, et declinationem ibi inventam suscipe. -- (Cb162) Quae, si fuerit sol ab uno gradu in tria signa, erit septentrionalis ascendens; et a tribus in sex, descendens; et a sex in VIIII, meridiana descendens; et a VIIII in XII, ascendens.

(Cb163) § De remotione lunae a via solis.

Si autem lunae latitudinem scire convenerit, locum Geuzahar aequatum de loco lunae aequato minue, vel medium cursum Geuzahar loco lunae aequato adiunge, et habebis argumentum latitudinis lunae; cum quo lineas numeri aequationis lunae (EA11.Lat) ingredere, et latitudinem lunae in directo illius positam sume. -- (Cb164) Quae erit septentrionalis ascendens, si fuerit eius argumentum latitudinis ab uno gradu in tria signa, et cetera ut dictum est in sole.

(Cb165) § De latitudinibus trium <superiorum> planetarum, id est eorum distantiis a via solis.

Si vero latitudines trium superiorum planetarum invenire desideras, cum cuiusvis eorum argumento aequato lineas numeri tabularum bipartialis numeri (FA11) intra, et quod in eius directo fuerit in tabula illius planetae prima, seorsum signa, et hoc erit latitudinis radix. Post haec Geuzahar planetae de loco eius examinato deme, vel medium cursum Geuzahar eiusdem planetae loco aequato adde, et habebis argumentum latitudinis. Cum quo lineas numeri tabularum quadripartialis numeri (FA21) ingredere, et quod ibi inveneris in tabula planetae secunda, sume; quod divide per radicem latitudinis superius signatam, et quod provenerit ex divisione, erit latitudo planetae. Quae, si fuerit argumentum latitudinis cum quo intrasti ab uno gradu in tria signa, erit septentrionalis ascendens, et cetera ut supra determinatum est intellige.

(Cb166) § De latitudine Veneris et Mercurii.

Veneris autem et Mercurii latitudinis sic habetur notitia: Intramus cum eorum argumento aequato tabulas bipartialis numeri (FA11), et facimus ut dictum est in aliis. Argumentum vero latitudinis eorum colligimus sic: addimus scilicet argumentum eorum aequatum medio cursui solis, et ex eo quod colligitur minuimus Geuzahar eorum (cf. DC*), vel addimus medium cursum Geuzahar eidem numero collecto; et sic invenimus argumentum latitudinis. Cum quo intrantes tabulas quadripartialis numeri (FA21) faciamus ut fit in tribus superioribus planetis; et sic inveniemus horum duorum latitudines. -- Et haec sunt Geuzahar planetarum:

    Locus Geuzahar Saturni            III sig'a XIII gra    XII m'a
    medius cursus Geuzahar eius est  VIII sig'a  XVI gra X'VIII m'a
    Locus Geuzahar Iovis               II sig'a XXII gra   unum m'm
    medius cursus eius Geuzahar     VIIII sig'a  VII gra LVIIII m'a
    Locus Geuzahar Martis               0 sig'm  XXI gra  LIIII m'a
    medius cursus  Geuzahar eius       XI sig'a VIII gra  et VI m'a
    Locus Geuzahar Veneris              I sig'm  XXN gra  XXVII m'a
    medius cursus Geuzahar eius         X sig'a    0 gra XXXIII m'a
    Locus Geuzahar Mercurii             0 sig'm  XXI gra      X m'a
    medius cursus Geuzahar eius        XI sig'a VIII gra      L m'a

Cum in quolibet mense cuiuslibet anni, an possit fieri eclipsis solis vel lunae, volueris invenire, intra tabulam coniunctionis annorum collectorum (GA11) et expansorum (GA13) cum anno in quo quaeris, si vis eclipsim solis; vel tabulam praeventionis (GA12-13), si vis eclipsim lunae; et accipe quod in directo eorum inveneris de motu latitudinis tantum. Et quod invenisti in collectis et expansis, aggrega, et aggregatum voca radicem motus latitudinis; quam scribas in XII locis. Deinde scribe sub illis XII motus latitudinis XII mensium, qui inveniuntur in tabulis mensium coniunctionis et praeventionis (GA14), et aggrega unumquodque per se superiori radici; et quod ex unoquoque provenerit, erit motus latitudinis sui mensis ad unumquemque mensium illius anni. -- (Cb168) Deinde aspice, si coniunctionem quaesivisti, in quo mense anni motus latitudinis sit nihil in signis et in gradibus minus XII, vel plus V signis et 18 gradibus usque ad VI signa integra: possibile est fieri eclipsim solis circa finem illius mensis. In quibus vero praedictos terminos non inveneris, impossibile est fieri eclipsim solis in 5'o 6'o 7'o climate. -- Si vero praeventionem quaesivisti, vide, in quo mense sit motus latitudinis 0 in signis et minus XII gradibus, vel plus V signis et XVIII gradibus usque ad VI signa integra, vel plus VI signis usque ad XII gradus, vel plus XI signis et XVIII gradibus usque ad XII signa: possibile est eclipsim lunae fieri circa medietatem illius mensis. Et in illis mensibus, in quibus praedictos terminos non inveneris, impossibile est fieri eclipsim. -- (Cb169) Cum itaque sciveris mensem in quo potest fieri eclipsis solis vel lunae, aequa illam coniunctionem vel praeventionem illius mensis secundum regulas praedictas et secundum regulas eclipsium: scies si erit eclipsis vel non; scies quoque diem et horam et quantitatem eclipsis, si deus voluerit.

(Cb170) § De hora coniunctionis solis et lunae vel lunae impletionis.

Cum solis et lunae coniunctionis horam, vel etiam lunae impletionis, et earum locum volueris invenire, tabulas solis et lunae ad hoc constitutas quaere; et tabulam coniunctionis ad annos collectos (GA11), si volueris coniunctionem, vel impletionis (GA12), si eam quaesieris, ut dictum est in collectione medii cursus planetarum, intra. Et quod ibi inveneris in quattuor tabulis, scilicet dierum, et medii cursus solis et lunae, et argumenti lunae, atque argumenti latitudinis lunae, extra eo ordine quo inveneris nota. Deinde annorum expansorum tabulam (GA13) cum numero annorum a collectis residuo, anno sibi in quo fuerit coniunctio vel impletio addito, ingredere, et quod ibi inveneris in quattuor tabulis, sub aliis scribe. Intrabis etiam in tabulam mensium (GA14) cum mense in quo fuerit ipsa coniunctio vel impletio, et omnia ordinatim, ut dictum est, sub primis pone. -- Verumtamen, si diem aliquem in annis expansis vel mensibus inveneris, de diebus in annis collectis inventis illos minue; sed si de horarum collectione dies efficiatur, adde. -- Et quod remanserit in IIII tabulis, ut fit in collectione medii cursus planetarum, unumquodque per se collige, reducendo scilicet minuta in horas et horas in dies; et habebis diem et horam et minutum horae coniunctionis vel impletionis secundum medium cursum.
    (Cb171a) Si autem locum coniunctionis vel impletionis certum volueris investigare, nec non et horam ipsius coniunctionis certam vel impletionis, augem solis (DA0*) de medio cursu eius minue, et cum hoc quod remanserit argumento tabulas numeri (EA01) ingrediens, fac ut dictum est in aequatione solis. -- (Cb171b) Intrabis etiam cum argumento lunae tabulas numeri aequationis eius (EA11), et accipiens quam in directo eius inveneris aequationem argumenti (EA11.Ear), addes illam super medium cursum lunae et super argumentum latitudinis, si fuerit argumentum plus sex signis, vel minue eam, si fuerit minus; et sic habebis locum solis et lunae aequatum.
    (Cb172a) Qui si convenerint in signis, gradibus et minutis, ipsa est hora quam invenisti. -- (Cb172b) Si vero diversi fuerint, considera longitudinem quae fuerit inter eos, et illi eius duodecimam partem aggrega, et quod collectum fuerit per motum lunae aequalem in una hora (cf. JA11) divide, et quae inde provenerint horas serva; quod vero remanserit multiplica per LX, et divide exinde surgentem summam, sicut prius diviseras, per eundem motum lunae aequalem, et habebis minuta horarum. Quae cum horis prius inventis sunt addenda horis ex tabulis ad medium cursum extractis, minuta scilicet minutis et horae horis, si fuerit longitudo solis, vel removenda ab eisdem, si fuerit longitudo lunae, id est si iam praecesserit solem ; et sic invenies horas coniunctionis aequales vel impletionis post mediam diem civitatis Toleti, ea scilicet condicione ut dies cum noctibus suis sint mediae.
    (Cb173) Si autem eas reddere volueris diversas, cum gradu solis tabulam elevationum signorum ad circulum directum intra, et aequationem dierum (BB11.Eqd), quam ibi inveneris in gradibus et minutis, suscipe. Quam reducens in minuta horarum, faciendo scilicet ex unoquoque gradu quatuor minuta horae et ex XXX minutis unius gradus 2 minuta unius horae, et eandem proportionem in ceteris servando, adde ea minutis horarum prius inventis. -- Hoc igitur ita ordine expleto, habebis certam diem et horam coniunctionis vel impletionis quaesitae.
    (Cb174) Ut autem certum locum coniunctionis vel impletionis invenias, longitudinem cum sua duodecima de loco lunae et de argumento latitudinis minue, et duodecimam tantum de loco solis, si fuerit eadem longitudo lunae; si vero fuerit solis, adde eandem cum sua duodecima loco lunae aequato et argumento latitudinis, et duodecimam eius tantum loco solis iam examinato. Sic ergo invenies solem et lunam in uno gradu et uno minuto, et argumentum latitudinis lunae aequatum. -- (Cb175) Notandum etiam est quod, si feceris ad coniunctionem, erunt utrique in eodem gradu atque minuto; si vero feceris ad impletionem, erit sol in eodem loco et luna in nadir eiusdem signi, in simili gradu et minuto. -- Hiis igitur eo ordine, ut demonstrata sunt, exsecutis, invenies certam horam et certum locum coniunctionis vel impletionis, remota omni dubitatione.

(Cb176) § De inventione motus solis et lunae aequalis in una hora.

Cum autem motum solis vel lunae aequalem in una hora volueris invenire, cum argumento solis, si volueris de sole, vel argumento lunae, si volueris de luna, tabulam aequalis motus solis et lunae in una hora (JA11) ingredere, et motum, quem in directo eius inveneris cuiuslibet horum, sume; et hic erit eorum motus in una hora aequalis. -- (Cb177) Vel aliter, ut subtilius et certius motum lunae in una hora aequalem invenias, longitudinem, quae fuerit inter solem et lunam, in duo media partire, et uni medietati eius duodecimam addens, vel longitudinem cum sua 12'a dimidians, quod idem est, quod collectum fuerit, argumento lunae adiunge, si fuerit longitudo solis, vel ab eo diminue, si fuerit eadem longitudo lunae; et hoc erit argumentum per quod motum lunae in una hora aequalem, ut dictum est, debes invenire. -- (Cb178) Invento autem motu lunae in una hora, intra cum praedicta longitudine inter solem et lunam tabulam aequationis motus lunae in una hora (JA21), et quae ibi inveneris secunda minue de motu lunae in una hora prius invento, si fuerit praedictum argumentum ab uno gradu in tria signa vel a novem in duodecim; si vero fuerit idem argumentum a tribus signis in novem, adde ea eidem motui lunae in una hora; et hic erit motus lunae aequalis in una hora, per quem debes dividere.

(Cb179a) § De diversitate aspectus lunae.

Si vero aspectus lunae diversitatem in longitudine et latitudine volueris investigare ad horam coniunctionis, quae est hora eclipsis, lunae locum aequatum, id est coniunctionis locum certissimum, gradum quoque in eadem hora ascendentem, et quota sit longitudo coniunctionis a medio diei per aequales horas et earum partes, notato. -- (Cb179b) Deinde cum eisdem horis longitudinis coniunctionis a medio diei in horas, quae sunt ante medium diem, si fuerit eadem coniunctio ante meridiem, intra (H*); si vero fuerit post meridiem, in eas quae sunt postea; et quod in earum directo fuerit de minutis longitudinis et latitudinis signi, in quo fuerit luna, unumquodque per se sumptum extra scribe; et haec erit diversitas aspectus lunae in longitudine et latitudine, si fuerit luna in initio eiusdem signi.
    (Cb180) Si vero plures gradus ipsius signi iam perambulaverit, quota proportione se habeant idem gradus ad totum signum, considera. Post haec signum secundum cum eisdem horis secundo ingredere, quamque ibi inveneris diversitatem aspectus in longitudine et latitudine, sub prima scribe. Deinde, quae sit utriusque differentia in longitudine et latitudine, quaere; cuius differentiae accipiens proportionalem partem ad totam differentiam secundum proportionem graduum lunae ad totum signum, adde illam, in utroque aspectu susceptam, diversitati primae in longitudine et latitudine, si fuerit minor secunda, vel minue ex ea si fuerit maior; et quod remanserit post augmentum vel diminutionem, erit diversitas aspectus lunae in longitudine et latitudine.
    (Cb181) Si autem cum horis fuerint minuta, aequa ea ut fit in aequatione planetarum.
    (Cb182a) Haec autem diversitas aspectus fit ea condicione, ut sit luna in sua longitudine media. -- (Cb182b) Si autem fuerit ultra vel infra, cum argumento lunae tabulam aequationis eius (JC11:4 / JC11a) intra; et accipiens quae in directo eius inveneris minuta proportionalia, multiplica ea in minutis longitudinis et latitudinis divisim, et quod inde provenerit minue unumquodque de suo genere, id est +minuta+ longitudinis de longitudine et +minuta+ latitudinis de latitudine, si fuerit argumentum in medietate superiori; vel adde illud, si fuerit in inferiori; et sic habebis minuta longitudinis et latitudinis certissima ad diversitatem aspectus lunae in eadem hora.
    (Cb183) Tunc, si inter locum lunae et gradum ascendentem fuerint gradus pauciores LX', diversitatem aspectus lunae in longitudine adde lunae loco aequato, et si fuerint plures LX', minue eam de eo; et quod inde remanserit erit locus lunae visibilis ad horam cui numerasti. -- (Cb184) Si autem coniunctionis visibilis horam volueris invenire, diversitati aspectus lunae in longitudine duodecimam eius partem adde, et quod collectum tibi fuerit, per motum lunae aequatum in una hora divide; et quae inde provenerint horas et earum partes minue de horis coniunctionis aequatae, si fuerit inter ascendens et locum lunae minus LX' gradibus, vel adde eas eisdem, si fuerit plus LX'; et quae tibi post augmentum vel diminutionem remanserint, erunt horae coniunctionis visibilis ad civitatem Toleti. -- (Cb185) Similiter facies, cum volueris diversitatem aspectus lunae ad aliam quamlibet horam; differt tamen in hoc quia, si fuerit inter ascendens et locum lunae minus LX' gradibus, addes diversitatem aspectus lunae in longitudine loco lunae, si vero plus fuerit, minues.

(Cb186) § De futura eclipsi solis.

Et si, qua die vel hora solis eclipsis futura sit, placuerit investigare, eius coniunctionem et lunae diurnam, cum fuerit prope caput Geuzahar vel eius caudam, +ut demonstratum est+, diligenter inquiras: hoc est cum argumentum latitudinis fuerit ab uno gradu in XII vel a CLXVIII gradibus in CLXXX gradus, quia tunc erit lunae latitudo septentrionalis. Si autem eadem latitudo fuerit meridiana, non erit eclipsis in climate quinto vel in regionibus quarum latitudo fuerit maior 30 gradibus; in aliis vero, quarum latitudo est minor XXX gradibus, possibile est eclipsim fieri. Et si latitudo lunae fuerit meridiana, et fuerit argumentum latitudinis minus toto circulo per VII gradus vel infra, vel plus 180 et infra 7, patitur eclipsim quandoque in +primis+ regionibus, quarum latitudinem dixi minorem. -- (Cb187) Scire etiam te oportet locum coniunctionis aequatum, et argumentum latitudinis aequatum <**> per longitudinem et eius duodecimam partem, nec non horam coniunctionis aequatam per diversitatem dierum cum noctibus suis (BB*.Eqd), quot etiam horae aequales sint inter horam coniunctionis et medium diem ante vel post; per quas horas scies diversitatem aspectus lunae in longitudine. -- (Cb188a) Intrabis enim cum eisdem horis in signum in quo fuerit luna (H*), et accipies de minutis longitudinis quae ibi inveneris, aequando ea sicut supra docuimus. Quibus addes XII'am partem eorum, et quod collectum fuerit divides per motum lunae aequalem in una hora, et quae inde provenerint horas et partes horarum minue de horis prius inventis coniunctionis, si fuerit inter gradum ascendentem et locum lunae minus XC gradibus: si vero plus fuerit, adde illas eisdem. Et quod inde provenerit, scito longitudinem eius a media die. -- (Cb188b) Et intra cum horis longitudinis secundo, sicut prius fecisti, ut scias iterum diversitatem aspectus lunae in longitudine; et adiunge illi XII'am partem eius, et divide ut prius fecisti, et quod exierit adde vel minue, sicut praemonstratum est, illis eisdem horis quibus prius addidisti vel minuisti. Et quod collectum fuerit, eius longitudinem a medio diei considera, (Cb188c) et cum ea tabulas diversitatis aspectus lunae tertio intra, et quod in directo eius inveneris de minutis longitudinis et latitudinis, unumquodque per se sume. Deinde diversitati aspectus in longitudine eius duodecimam partem adde, et quod inde provenerit, per motum lunae aequalem unius horae divide, et quae inde exierint horae sunt addendae primis horis, per primum et secundum introitum augmentatis vel diminutis, vel minuendae, sicut praemissum est; et sic habebis horas mediae eclipsis aequatas per diversitatem aspectus lunae, quae sunt horae coniunctionis visibilis. -- (Cb188d) Addes autem minuta longitudinis cum sua duodecima argumento latitudinis aequato, si addidisti horas, vel minue si minuisti.
    (Cb189) Postea vero multiplica minuta diversitatis aspectus in latitudine -- quae semper est meridiana in omnibus regionibus quarum latitudo fuerit maior XXIIII gradibus -- in XI et dimidio, et quod exinde provenerit minue de argumento latitudinis, aequato per aequationem lunae et per longitudinem inter solem et lunam et eius XII'am et per diversitatem aspectus in longitudine, si fuerit locus coniunctionis apud caput Geuzahar; vel adde illud eidem argumento, si fuerit coniunctio apud caudam; et sic perficies argumentum latitudinis ad mediam eclipsim.
    (Cb190a) Intrabis igitur cum eodem argumento tabulam eclipsis solaris (JD11) ad longitudinem longiorem, si fuerit luna in longitudine longiori, vel tabulam ad longitudinem propiorem, si fuerit luna in longitudine propiori; accipiesque quod in directo eius fuerit de punctis eclipsis et de minutis casus; et quot inveneris puncta, tot obscurabuntur de diametro solis. -- (Cb190b) Minutis vero casus adde XII'am partem eorum, et quod colligitur divide per motum lunae aequalem unius horae, et quae inde provenerint horas vel partes horarum si minueris de horis mediae eclipsis, remanebunt horae initii eclipsis; si vero addideris, erunt horae in fine eclipsis. -- (Cb190c) Minue etiam minuta casus cum sua XII'a de loco lunae ad medium eclipsis et de argumento latitudinis, et remanebit locus lunae ad initium eclipsis et argumentum latitudinis. Vel si addideris easdem horas vel partes horarum eisdem horis mediae eclipsis, habebis horas finis eclipsis. Adde quoque minuta casus cum sua XII'a loco lunae ad mediam eclipsim et argumento latitudinis ad medium eclipsis, et invenies locum lunae ad finem eclipsis et argumentum latitudinis. Sic ergo habebis locum lunae et locum argumenti ad tria tempora: ad initium scilicet eclipsis et eius medium atque finem. -- (Cb190d) Si vero non fuerit luna in longitudine sua longiori vel propiori, intra cum argumento latitudinis utrasque tabulas (JD11), et quod in eius directo inveneris de punctis et minutis casus in utrisque tabulis, extra separatim scribe. Deinde differentiam inter puncta unius tabulae et alterius, et inter minuta casus primae tabulae et secundae, quaere, et unamquamque differentiam, punctorum scilicet et minutorum, per se tene. Postea vero cum argumento lunae tabulam proportionis (JC13) ingredere, et quae in eius directo inveneris minuta proportionalia sume. Accipe igitur proportionalem partem differentiae punctorum ad ipsam secundum proportionem minutorum proportionalium ad LX: quam partem addes punctis ex tabula prima susceptis. Similiter facies de differentia minutorum casus. Et sic invenies puncta eclipsis certa atque minuta casus: operare igitur, sicut expositum est, per ea.

(Cb191) § De quantitate obscurationis solis.

Si autem, quantum obscurabitur de superficie solaris corporis, volueris invenire, cum punctis diametri solis in tabulam quantitatis obscurationis solis et lunae (JC31*) ingredere, et quod in eorum directo fuerit de quantitate eclipsis solis, suscipe; et hoc erit quod obscurabitur de sole sine ulla dubitatione. -- (Cb192) Notandum autem insuper videtur quod, si fuerit argumentum latitudinis plus uno gradu vel minus CLXXX, erit eclipsis ex parte septentrionis; si vero fuerit plus CLXXX vel minus CCCLX, erit meridiana.

(Cb193) § De inventione diametri solis.

Cum diametri solis quantitatem placuerit investigare, motum eius aequalem in una hora quaere sicut supra docuimus, eumque totum reduc in secunda, quae multiplicabis in duo et unius quinta, et quae collecta fuerint minutorum accipies decimam partem, quae erit solis diametrum. -- Verbi gratia, motus solis aequalis in una hora est duum minutorum et XXXIII secundorum, quae si reduxeris in secunda, erunt CLIII secunda; multiplica igitur ea in duo et quinta unius, et provenient ad CCCXXXVII minuta. Accipe ergo decimam partem eorum, quae sunt XXXIII minuta et X'II secunda, et haec erit quantitas diametri solis.

(Cb194) § De quantitate diametri lunae invenienda.

Si autem quantitatem diametri lunaris corporis volueris invenire, eius motum aequalem unius horae suscipe, et eum in sex, diminuta exinde octava parte unius, extende, et minutorum inde procedentium sextam partem suscipe; et haec erit quantitas diametri lunae. -- Exempli causa, motus lunae aequalis unius horae est XXXVI minutorum et III secundorum, quae multiplicabis in sex, diminuta exinde octava parte unius, et provenient ad ducenta XII fere; et accipiens sextam partem eorum invenies XXXV minuta et XX secunda, et haec est diametrus eius.

(Cb195) § Inventio diametri umbrae.

Et si quantitatem diametri umbrae in loco transitus lunae volueris invenire, diametrum lunae in duobus et tribus quintis unius multiplica; et quod inde provenerit erit quantitas diametri umbrae. -- (Cb196) Cuius rei tale subditur exemplar: diametrus lunae fuit ex XXXV minutis et XX secundis, quae cum multiplicaveris in duobus et tribus quintis unius, exinde provenient LX'I minutum et LII secunda, ea scilicet condicione ut sol sit in sua longitudine longiori. -- (Cb197) Si autem hoc volueris investigare, motum solis aequalem in una hora considera, qui si fuerit II minuta et XXIII secunda, erit sol in sua longitudine longiori; si vero maior fuerit, quod supercreverit multiplica in X, et quae inde provenerint secunda reduc ad minuta; quae si minueris de diametro umbrae, remanebit diametrus umbrae aequatus per longitudinem solis. -- (Cb198) Cuius rei hoc est exemplar, quod motus solis fuit duo minuta et XXXIII secunda, augebanturque super motum eius in longitudine longiori X secunda. Quae cum multiplicaveris in X, provenient C secunda, quae si reduxeris ad minuta, exibit unum minutum et X' secunda, quae minues de diametro umbrae; et remanebunt LX' minuta et XII secunda, quae sunt minuta diametri umbrae in loco transitus solis et lunae. Et +hoc+ sufficiet ad diametrum umbrae ad locum transitus lunae, si deus altissimus voluerit.

(Cb199a) § De solaris eclipsis figurae descriptione.

Si autem solaris eclipsis figuram placuerit depingere, lineam directe protensam in plures aequas divisiones partire, quarum numerus videlicet sit maior numero medietatum utriusque diametri, solis scilicet et lunae. Postea vero accipiens de eadem linea divisa secundum quantitatem dimidii utriusque diametri, facies circulum communem: huius enim diametri circuli medietas erit aequalis medietati diametri utriusque circuli. Quem quadrabis duabus diametris super eius centrum se abscidentibus, super quarum quattuor capita describes quattuor mundi partes, oriens scilicet et occidens, meridies atque septentrio.
    Accipies etiam de eadem linea secundum quantitatem dimidii diametri solis, et facies circulum ad centrum communis circuli, qui continebitur ab eodem communi. Deinde tolles de ipsa linea divisa, secundum quantitatem latitudinis lunae visibilis ad initium eclipsis, cum circino, et eius pedem unum pones super centrum utrorumque circulorum, alterum vero versus latitudinem lunae septentrionalem vel meridianam gyrabis, quaecumque earum fuerit, et eius tactus in diametro signabis locum, qui erit initii eclipsis signum. Item signabis locum latitudinis ad medium eclipsis in eadem diametro; notabis etiam ad finem.
    Post haec autem duces lineam parallelam diametro a signo initii eclipsis ad circumferentiam communis circuli versus occidentem, et notabis locum tactus eius in circumferentia; et deduces aliam a signo finis eclipsis in orientem, et eius in eadem circumferentia notabis tactum.
    Deinde accipiens de supradicta linea divisa secundum quantitatem dimidii diametri lunae, facies lunarem circulum, cuius centrum erit locus tactus lineae in circumferentia ad occidentem ad initium eclipsis; et eius centrum ad finem eclipsis erit locus tactus lineae in circumferentia eadem communis circuli ad orientem, in loco videlicet tactus lineae secundae; et centrum eiusdem lunaris circuli ad medium eclipsis erit in diametro, in praenotato videlicet loco per lunae latitudinem ad medium eclipsis. Erunt igitur duo extremi circuli lunares, utrimque contingentes circulum solarem: primus quidem ab occidente et secundus ab oriente; medius autem lunaris circulus subintrans solarem ostendet quantum ex sole debeat obscurari: quantum enim tetigerit de eo, tantum et obscurabitur procul dubio.

(Cb199b) Cuius rei causa tale subditur exemplar. -- (Cb199c) Fit communis circulus ex medietate scilicet diametri utriusque circuli, lunaris videlicet et solaris, qui divisus in quattuor aequas partes per duas lineas se supra centrum eius intersecantes, in earum quattuor capitibus quattuor suscipit litteras quattuor mundi notantes plagas: est enim A nota occidentis, B vero meridiei, C autem orientis et D septentrionis; E quoque medium tenet centrum. Describitur etiam super centrum E solaris circulus, cui circumscribuntur quattuor litterae KLST. Et nota latitudinis lunae septentrionalis ad initium eclipsis est M: nota vero eius latitudinis ad medium eclipsis est H; ad finem autem eclipsis latitudinis signum est O. Protensa autem linea parallela diametro AC ab M in occidentem, terminatur in circumferentia nota Q; et alia ab O in orientem +notatur+ in eadem circumferentia G.
    Descriptus vero lunaris circulus super notam Q contingit solarem circulum ad initium eclipsis super punctum T, et alius factus ad finem eclipsis super notam G contingit eundem solarem circulum super notam L. Tertius autem circulus super notam H factus includit partem solaris circuli, quae est ab +L in T+ per S, et hoc est quod obscuratur de sole. Deducitur etiam linea ab E in Q per T, et alia ab E in G per L. -- Iam igitur patet quod initium eclipsis fit ex puncto Q, et finis eius in puncto G, medium vero eclipsis fit super centrum H; linea autem deducta a Q in G per H ostendit transitum lunae. -- Cuius haec est figura:

(Fig.)

(Cb200) § De lunaris defectus inquisitione.

Si autem lunae defectionem volueris praenotare, eius impletionem nocturnam, dum fuerit prope caput vel caudam Geuzahar, per XII videlicet gradus vel infra, quaere. Tunc cum argumento latitudinis ad horam impletionis diligenter aequato, sicut praemonstratum est, in tabulam eclipsis lunaris (JD21) ad longitudinem longiorem, si fuerit luna in sua longitudine longiori, ingredere; et quae in eius directo inveneris puncta et minuta casus et dimidium morae, si fuerit illi mora, singula per se seorsum scribe. Si vero fuerit in longitudine propiori, tabulam eius eclipsis ad longitudinem propiorem cum eodem argumento latitudinis intra, et quae ibi inveneris, ordinatim extra nota. -- (Cb201a) Si autem non fuerit in praedictis longitudinibus, sed ab una in aliam, utramque tabulam intrans, quae in utrisque inveneris, extra separatim disponendo sub se pone, puncta scilicet sub punctis et minuta sub minutis, et cetera, sicut sunt in ordine. Deinde differentiam omnium adinvicem suscipe, punctorum siquidem ad puncta et cetera, et unamquamque per se nota. Post haec cum argumento lunae tabulam proportionis (JC13) ingrediens, quae ibi inveneris minuta proportionalia suscipe; secundum quorum proportionem ad LX cuiusque superioris differentiae accipiens proportionalem partem, addes illam suo generi ex tabula longiori sumpto: partem videlicet differentiae punctorum punctis primae tabulae, et cetera ut sunt in ordine. Et sic habebis puncta eclipsis et minuta casus et dimidium morae, aequata ad longitudinem lunae praesentem ad medium eclipsis: (Cb201b) nota ea. -- (Cb202) Deinde minutis casus addens XII'am partem eorum, divide quod collectum fuerit per lunae motum aequalem in una hora; et exibunt tibi horae quae sunt ab initio eclipsis in initium morae, si futura est mora, vel in medium eclipsis, si non fuerit mora. Addens etiam minutis dimidii morae eorum XII'am partem, divide quod collectum fuerit, sicut divisisti minuta casus; et habebis horas quae sunt ab initio morae in medium eclipsis. Duplica itaque has horas et horas minutorum casus, et habebis horas quae sunt ab initio eclipsis in finem eius. Si autem minueris horas casus et horas dimidii morae de horis mediae eclipsis, habebis horas initii eclipsis; et si eisdem addideris eas, habebis horas finis eius. Si vero addideris horas dimidii morae tantum horis mediae eclipsis, habebis horas initii exitus lunae de tenebris.
    (Cb203a) Et si volueris invenire locum lunae ad initium eclipsis, minue minuta casus cum sua duodecima, et minuta dimidii morae cum sua XII'a similiter, de loco lunae ad medium eclipsis, et remanebit locus lunae ad initium eclipsis. Et si addideris ea, habebis locum illius ad finem eclipsis. -- (Cb203b) Similiter facies cum motu latitudinis aequato, ut invenias argumentum latitudinis ad initium eclipsis et ad medium et finem eius; per quod argumentum scies latitudinem lunae ad initium eclipsis et medium eius atque finem.
    (Cb204) Si autem volueris invenire, quantum obscurabitur de superficie lunae, cum punctis eclipsis prius inventis tabulam aequationis quantitatis eclipsis (JC31) ingredere, et quae in eorum directo ibi inveneris puncta et minuta suscipe, et haec erunt puncta obscuranda de superficie lunae.

(Cb205) Notandum etiam videtur quod tempora eclipsis lunae quandoque sunt quinque, initium scilicet eclipsis, et initium morae, medium quoque eclipsis, et finis morae, atque finis eclipsis.

(Cb206) Si autem locum solis volueris invenire ad finem eclipsis vel principium, 12'am minutorum casus et 12'am dimidii morae si addideris loco solis invento in oppositione, habebis locum solis ad finem eclipsis; si autem subtraxeris, habebis locum solis ad initium eclipsis.

(Cb207) § De eclipsi lunari depingenda.

Eclipsim autem lunae geometrica figura, si tibi placuerit, hoc modo poteris denotare. Lineam directam secundum quantitatem partium medietatis utriusque diametri, lunaris scilicet circuli et umbrae, divide sicut supra fit in sole. Post haec ipsam lineam divisam medietatem diametri cuiusdam circuli, qui erit communis duorum praenominatorum, pone, super cuius circumferentiam erit centrum lunaris circuli ad initium eclipsis atque in eius expletione. Ad centrum autem eius facies circulum umbrae secundum quantitatem medietatis eius diametri prius inventae, qui circulus continebitur a communi circulo. Deinde quadrabis eosdem circulos duabus lineis se supra centrum eorum abscidentibus, super quarum capita describes quattuor mundi partes, orientem scilicet et occidentem, meridiem atque septentrionem.
    Accipies etiam de linea divisa secundum quantitatem latitudinis lunae ad medium eclipsis, quam latitudinem signabis a centro utrorumque circulorum in diametro versus suam partem, id est versus meridiem si fuerit meridiana, vel ad septentrionem si fuerit septentrionalis; sicque facies de latitudine lunae ad initium eclipsis et de eius latitudine ad finem eclipsis. Postea duces lineam parallelam diametro a loco latitudinis lunae ad initium eclipsis in occidentem, et signabis locum tactus eius in circumferentia communis circuli; ubi erit centrum circuli lunae ad initium eclipsis. Et duces aliam a loco latitudinis lunae ad finem eclipsis in orientem, et facies centrum lunaris circuli ad finem eclipsis in loco tactus eius in eadem circumferentia communis circuli. Facies etiam locum latitudinis lunae ad medium eclipsis in diametro centrum lunaris circuli; qui circulus si totus ceciderit infra circulum umbrae, obscurabitur luna tota; si autem non totus, sed aliqua pars eius, illa eadem obscurabitur de luna. Duo vero extremi circuli lunares erunt utrimque contingentes circulum umbrae.

(Cb208a) Cuius rei gratia talis supponitur figura. -- (Cb208b) Est enim circulus communis divisus in IIII partes, habens circa se IIII litteras quattuor signantes mundi partes: est itaque nota meridiei A, et nota orientis B, nota vero septentrionis est C, et nota occidentis D. A quo includitur etiam circulus umbrae, quorum utrorumque centrum est idem, cuius nota est N. T autem est nota latitudinis lunae ad initium eclipsis, et L est nota latitudinis lunae ad finem eclipsis; E vero notat eius latitudinem ad medium eclipsis. Centri autem lunaris circuli ad initium eclipsis est nota R, et ad finem eclipsis est nota M; centri vero illius ad medium eclipsis est nota E. Unde constat quod linea ducta a T in R ostendit latitudinem lunae ad initium eclipsis, et alia, quae est ab L in M, ostendit latitudinem finis eius. Linea vero REM ostendit transitum lunae ab initio eclipsis usque in finem eius; linea autem RNQ ostendit cenit tenebrarum ad initium eclipsis; et linea MNX demonstrat cenith earum ad finem illius. -- Sciendum etiam est quod lunaris circulus contingit circulum umbrae super notam G ab occidente, et ille idem contingit eundem ab oriente super notam H. Cuius rei talis subest figura:

(Fig.)

(Cb209) § De inventione locorum stellarum fixarum in signis et earum latitudinum.

Si autem, in quo gradu signi stella aliqua praenotata sit et quantum distet ab ecliptica linea in septentrionem vel meridiem, scire cupis, tabulam ad hoc constitutam (LA11) cum eadem stella intra; et gradus, qui ibi inventi fuerint longitudinis, in qua parte praescripti signi sit, ostendent; latitudinis vero gradus eius elongationem ab ecliptica linea demonstrabunt. Utrum autem sit septentrionalis vel meridiana, nomen partis subscriptum insinuabit: nam si subscribitur "septentrio", erit eius distantia ab ecliptica linea in septentrionem, et si "meridies", erit meridiana.

(Cb210) § De latitudine regionum et earum longitudine.

Tabula vero secunda (MA11) ostendit distantiam regionum propositarum ab occidente medii mundi per gradus longitudinis, et demonstrat earum remotionem ab aequinoctiali linea per gradus latitudinis, quae dicitur earum latitudo, et est in omnibus notatis regionibus septentrionalis.

(Cb211) § De proiectionibus radiorum planetarum.

Cum autem proiectiones radiorum cuiusvis planetae, sextilis scilicet aspectus vel quarti aut trini, scire desideras, quis gradus cuius faciei cuius signi eadem hora sit in ortu considera: est enim hoc opus super tres facies signorum. Quaere igitur faciem illius gradus signi ascendentis in tabulis proiectionis radiorum planetarum (NA11). Deinde, quot gradus signi, in quo fuerit, perambulaverit planeta de quo quaeris, considera. Reliquos autem gradus eiusdem signi reduc in ascensiones proprias, quas minue de linea sextilis aspectus inventa in facie gradus signi ascendentis. Postea de eo quod remanserit minue ascensiones signi succedentis signo in quo fuerit planeta, et ita facie<n>s per ordinem, donec minus uno signo remaneat, quae remanserint ascensiones reduc in gradus aequales; et ubi terminaverit eorum numerus, ibi erit proiectio sextilis aspectus planetae. -- (Cb212) Eodem modo facies ad quartum et trinum aspectum. -- (Cb213) Oppositio autem fit in simili gradu eius nadir.

(Cb214) § De exitu planetarum de sub radiis solis et eorum ingressu.

Cum volueris ortus vel occasus planetarum invenire, argumentum trium superiorum aequatum considera; quod si fuerit ab uno gradu in finem VI signorum, erunt in ortu matutino; si vero fuerit a sex in XII, erunt in occasu vespertino.
    (Cb215) Venus autem et Mercurius [quia] propter tarditatem et velocitatem sui motus, <quo> volvuntur circa solem, habent se a sole IIII modis. Nam cum fuerit argumentum Veneris aequatum ab uno gradu in quattuor signa et XVII gradus, erit in ortu suo vespertino, et tunc videtur post solis occasum supra horizontem in occidente, tunc etiam est sole velocior. Et a quattuor signis et XVII gradibus in sex signa erit in occasu vespertino, tuncque tardat rediens ad solem, consequiturque eam sol atque praeterit. Et a sex signis in VII signa et XIII gradus erit in ortu matutino, erit quoque tunc tardior sole. Et a VII signis et XIII gradibus in XII signa erit in occasu matutino, velocior +siquidem+ sole. -- (Cb216) Mercurii vero argumentum aequatum cum fuerit ab uno gradu in tria signa et XXII gradus, oritur vespere, et a tribus signis et XXII gradibus in VI signa erit in occasu vespertino, et a sex signis in octo signa et octo gradus oritur mane, et ab VIII signis et VIII gradibus in XII signa occidit mane. Velocitas autem et tarditas motus eius consideratur sicut in Venere.

(Cb217) §

Cum ergo volueris scire ortum cuiusvis trium superiorum mane ante solis ortum apparentis, tunc scilicet, quando praetermissus a sole incipit apparere, exiens de sub radiis solis, considera: cum argumentum eius aequatum fuerit prope XX gradus, erit incipiens apparere, exiens de sub radiis solis; occultari autem incipiet atque tegi a sole, cum fuerit idem argumentum prope CCCX' gradus. -- Veneris autem et Mercurii orientalis apparitio erit cum fuerit eorum argumentum similiter prope XX gradus.

(Cb218) §

Cum autem hoc tibi placuerit investigare, locum cuiusvis planetae trium superiorum aequatum et locum solis considera, et quae sit utriusque loci differentia inter locum verum solis et verum locum planetae, considera, et cuius sit, utrum videlicet sit solis vel planetae: cuius autem locus plus habuerit in gradibus et minutis, ipsius est differentia; quae si fuerit planetae, erit idem planeta vel apparens in occidente vel tectus radiis solis. Intra igitur cum signo, in quo fuerit planeta, in tabulam occasus planetae vespertini (OA11.*2), et gradus quos ibi inveneris et minuta si fuerint pauciores gradibus differentiae inter planetam et solem, erit planeta apparens in occidente; si vero plures fuerint, erit tectus solaribus radiis. Si autem supradicta differentia fuerit solis, erit planeta vel apparens in oriente vel occultus. Ingredere ergo cum signo, in quo fuerit planeta, in tabulam ortus planetae matutini (OA11.*1), et quos ibi inveneris gradus si fuerint plures gradibus differentiae, erit planeta occultus; si vero pauciores fuerint, erit orientalis apparens. -- Hoc ita fit in tribus superioribus.
    (Cb219) Veneri autem et Mercurio est ortus et occasus, mane et vespere. Considera igitur differentiam cuiusvis eorum et solis, et cuius sit, sicut superius fit in tribus superioribus, et eam nota. Post haec considera, si fuerit argumentum Veneris minus CXXXVII gradibus, erit Venus vel in ortu vespertino apparens vel occulta. Intra itaque in tabulam ortus eius vespertini (OA12) cum signo in quo fuerit; et gradus ibi inventi si fuerint plures gradibus differentiae inter eam et solem, erit occulta, et si fuerint pauciores, erit in ortu vespertino apparens directa. Si autem fuerit eius argumentum a CXXXVII gradibus in CLXXX, erit in occasu vespertino, apparens vel occulta, retrograda. Tunc ingredere in tabulam eius occasus vespertini, et scies per gradus ibi inventos utrum sit apparens vel occulta, sicut supradictum est. Et si fuerit illius argumentum a CLXXX gradibus in CCXXIIII, erit aut apparens in ortu matutino aut tecta radiis solis. Intra igitur cum signo, in quo fuerit, tabulam illius ortus matutini, ut scias utrum sit apparens vel occulta, per gradus ibi subscriptos. Si autem fuerit idem argumentum a CCXXIIII in CCCLX, erit in occasu matutino, apparens vel occulta. Intrabis etiam cum signo, in quo fuerit, tabulam occasus matutini; et per gradus suppositos scies utrum tegatur vel videri possit: si enim gradus ipsi fuerint plures gradibus differentiae inter eam et solem, non apparebit, et si pauciores fuerint, videbitur.
    (Cb220) Mercurii autem argumentum si fuerit ab uno gradu in CXII, erit in ortu vespertino; et a CXII in CLXXX in occasu vespertino; a CLXXX vero in CCX'O erit in ortu matutino; et a CCX'O in CCCLX erit in occasu matutino. +Utrum autem+ sit apparens vel occultus in quovis istorum locorum, fac de eo quemadmodum fit de Venere, et sic quod quaeris certissime invenies.

(Cb221) § De accessione et recessione octavi circuli.

Cum motum accessionis et recessionis octavi circuli examinare volueris, ut per eum altitudinem planetarum meridianam atque stellarum fixarum certissime valeas invenire, nec non quantitatem portionis circuli eorum diurnae atque nocturnae, cum annis Arabum perfectis nec non et cum imperfecto tabulam accessionis et recessionis (PA11) ad annos collectos ingredere, quemadmodum fit in extractione medii cursus planetarum, atque ad annos expansos; et quot ibi inveneris gradus et minuta considera, signis reductis ad gradus propter tabulam quae crescit per 5 gradus. Et cum eis tabulam augmentatam per quinque gradus ad aequationem diversitatis longitudinis capitis arietis ab aequinoctiali linea (PB11.Lca) intra cum numero aequali, vel minore, propiore tamen, si non inveneris ibi aequalem; et quod in directo eius inveneris ex gradibus, minutis atque secundis, suscipe et per se nota. Deinde, quod in directo sequentis lineae inveneris, accipe, et huius et primi accepti numeri differentiam quaere; cuius accipiens partem proportionalem ad totam differentiam secundum proportionem differentiae numeri, cum quo intrasti, et alterius prius inventi ad quinque gradus, addes illam ei quod invenisti in prima linea. Et quod exinde collectum fuerit ex gradibus, minutis atque secundis, addes locis planetarum et stellarum fixarum, si fuerit numerus, cum quo intrasti, ab uno gradu in CLXXX; vel minues illud ab eisdem locis, si fuerit idem numerus a CLXXX gradibus in CCCLX. -- (Cb222) Vel si volueris idem alio modo investigare, intra cum eodem numero, superius per annos collectos et expansos invento, tabulam aequationis dimidiae diametri circuli (PB11.Ddc), et cum gradibus ibi inventis intra tabulam aequationis declinationis (BA11.Dcl); et quod sibi debetur de gradibus aequalibus, adde vel minue a locis planetarum et stellarum fixarum, sicut praemonstratum est; et sic examinabis planetarum loca.

(Cb223a) § De elevatione planetarum et eorum descensu.

Cum fuerit centrum planetae aequatum ab uno gradu in sex signa, erit descendens in suo excentrico circulo, et a sex in XII, ascendens. Si autem argumentum planetae fuerit ab uno gradu in sex signa, erit descendens in epicyclo suo, et a VI in XII, ascendens. Unde ille planeta, qui fuerit propior summitatibus suorum circulorum, dicitur elevari supra illum qui fuerit remotior a summitatibus suorum circulorum, quod cognosces per centrum et argumentum eorum, sicut determinatum est.

(Cb223b) Nota tres superiores planetas semper esse coniunctos soli cum sunt in summitatibus suorum epicyclorum; quando autem sunt in inferiori parte, sunt in opposito eius. Venus autem et Mercurius, sive sint in summitatibus sive in opposito, semper sunt coniuncti soli.

(Cb223c (Cb49)) § De feriis mensium Graecorum et Latinorum.

Et si, qua feria quisque mensis Graecorum vel Latinorum ingrediatur, per tabulam ad hoc constitutam (AD31) volueris invenire, annos Alexandri omnes, vel Latinos cum tribus additis, cum anno cuius mensium initia volueris invenire, per XXVIII divide; et numerum, qui superfuerit, in annis Graecorum et Latinorum in initio tabulae quaere; et numeri, qui in directo eius subscribuntur, indicabunt qua feria suprascripti menses debeant incipere. -- Et si in directo eius inveneris notatum B', ille annus erit bissextilis, et constabit Februarius ex XXN diebus. Si autem ex praedicta divisione nihil remanserit, cum XXVIII, qui sunt in posteriori linea, ingredere, et fac cum ea sicut praemissum est +in priori ordine+. -- (Cb223d (Cb50a)) Notandum vero est quod secundum huius tabulae constitutionem bissextus fit in Decembri mense: erit igitur in eodem anno notae Ianuarii et Februarii subtrahenda una dies, ut fiat bissextus in Februario secundum Romanorum institutionem.

(Cb223e (Cb50b)) § Ad inveniendum hoc idem per annos Christi.

Et si hoc idem per annos Christi volueris invenire, ex annis Christi cum imperfecto addito minue 25, et residuos divide per 28, faciens ut supra.

(Cb223f (Cb51a)) § De feriis mensium Arabum.

Si autem, qua feria quivis mensis Arabum incipiat, per suam tabulam (AD12) scire desideras, annos Arabum, cum anno in quo fuerit quaerendus mensis, per CCX partire; et numerum, qui remanserit a divisione, in lineis augmentatis per X quaere, et quem in directo eius inveneris numerum sub unitatibus suscipe; cui addens notam mensis quaesiti, invenies feriam qua idem mensis incipiat. Nam si provenerint tibi ex hac collectione tres, intrabit tertia feria; et si quattuor, quarta; et sic usque ad VII. Si autem habueris ultra VII, praetermittendo VII fac cum residuo ut supra. Si vero in eisdem lineis non inveneris aequalem numero remanenti de divisione, intra cum minore eo sibi propiori, et quem in directo eius inveneris numerum sub differentia eius et remanentis de divisione numeri suscipe, cui addens notam mensis, de quo quaeris, scies qua die debeat incipere.

(Cb224) § De motu planetarum aequali.

Cum buht solis et lunae vel cuiuslibet planetae in qualibet die volueris invenire, locum eius aequatum ad praeteritam diem de loco eius aequato ad eandem diem minue, et remanebit motus eius aequalis in eadem die.

(Cb225) § De hora ingressus planetae in quodvis minutum.

Cum, qua hora sol vel luna vel quilibet planetarum quodvis minutum ingressurus sit, volueris investigare, ad medium diei eidem horae propioris quemvis planetam aequa, et buth eius in eadem die considera. Scito quoque horas diei illius et horas noctis atque mediae diei. Postea longitudinem inter planetam et minutum quaesitum divide per buth planetae inventum, et exibunt tibi dies; quodque remanserit multiplica in XXIIII, et divide quod exinde provenerit per eundem numerum buth planetae, et invenies horas; et quod remanserit reduc in minuta. Et sic habebis dies et horas atque minuta longitudinis. Quae debes addere tempori ad quod aequasti planetam, si nondum transivit planeta minutum ipsum; si autem illud iam praeteriit, minues ea ab eodem tempore; et remanebit inde dies et hora et minutum horae, quo planeta intrabit locum quem quaeris, quod patebit si aequaveris planetam ad locum illum.

(Cb226) § De revolutione natalis anni sive mundani.

Si autem, qua hora natalis annus revolvatur, placuerit indagare, qua hora sol minutum, in quo fuit in initio nativitatis, ingrediatur, sicut praemonstratum est considera; ad quam horam constitues ascendens revolutionis anni natalis et XII domos et aequabis planetas. -- (Cb227) Si vero revolutionem anni mundani volueris quaerere, qua hora sol primum minutum arietis ingressurus sit, considera; ad quam horam constitues ascendens anni et reliquas domos et examinabis planetarum loca.

(Cb228) Vel aspice quot transierint ab ortu solis diei nativitatis usque in horam nativitatis de horis aequalibus, et serva illud. Postea accipe annos nati perfectos, et multiplica eos in 2481, et divide quod collectum fuerit per 9600, et quod exierit erunt dies; et quod remanserit divide per 400, et erunt horae; et quod remanserit multiplica in 60 et divide per 400, et exibunt minuta unius horae. Et adde quod exierit de diebus, horis atque minutis super diem nativitatis, et quod provenerit, ipsa est hora revolutionis; constitues super eam ascendens.

(Cb229) Vel si idem aliter volueris scire, quot gradus signi ascendentis aequales ascenderint considera, eosque reduc in ascensionis gradus. Tunc annos nati praeteritos a nativitate in LX'III gradibus et duobus minutis ac XV secundis multiplica, et gradus qui tibi collecti ex eadem multiplicatione fuerint, gradibus ascensionis aggrega; et qui inde colligetur numerum, si potueris, divide per CCCLX, et qui remanserint gradus reduces in gradus aequales; quod vero provenerit ex divisione, praetermittes; et gradus aequales inventos extendens a gradu signi ascendentis in nativitate aequali, invenies gradum signi ascendentis revoluti anni. In quo enim gradu terminabunt gradus aequales a gradu nativitatis extensi, ille procul dubio erit gradus signi orientis illius revoluti anni. Invenito ergo per eum horas diei praeteritas, si fuerit in die, vel nocturnas, si fuerit in nocte, sicut superius praemonstratum est per gradum ascendentem <eas> posse inveniri. Similiter facies et in revolutione anni mundi, praecognitis ascensionibus praecedentis anni.

(Cb230-235: vide post Cb260)

(Cb236) § De sinus demonstratione et eius kardagarum.

Quia in huius operis initio, antequam tractaremus de caelestis circuli volubilitate, mentionem fecimus sinus, praetereundo quasi notum, hic in fine operis eius danda est doctrina, cum ad ea, quae praemittuntur de circularibus motibus, illius scientia valde sit necessaria.

Unde videndum est quid sit sinus. Sinus cuiuslibet portionis circuli est dimidium chordae illius duplicis portionis. Et hic est rectus, nam versus est sagitta, linea scilicet quae protenditur <*>. Erit igitur dimidium chordae portionis CLXXX graduum sinus portionis nonaginta graduum, qui est sinus perfectus: nulla enim in circulo chorda maior chorda portionis CLXXX graduum, qui est circuli diametrus. Et sinus XXX graduum est dimidium chordae LX graduum, et sinus XV est dimidium chordae XXX, atque sinus 45 est dimidium chordae 90; et sic in omnibus circuli portionibus. -- (Cb237) Inventa itaque quantitate diametri circuli, habebitur leviter quantitas sinus cuiuslibet circuli portionis.
    (Cb238) Quantitas autem diametri circuli sic poterit inveniri. Divide circulum, qui est CCCLX graduum, per tres et septimam unius, et invenies probabiliter diametri quantitatem. -- (Cb239) Vel si volueris, multiplica circulum in semetipsum, et quod exierit divide per X, et numeri ex divisione provenientis quaere radicem, quae erit circuli diametrus. -- (Cb240) Vel aliter, multiplica circulum in 20000 et divide quod colligitur per 62832; et quod tibi provenerit ex hac divisione, erit diametrus. -- (Cb241) Inventae ergo diametri circuli medietas erit sinus nonaginta graduum, quia est chorda portionis CLXXX graduum, quae est duplex ad portionem nonaginta graduum. Similiter et invenies ceterarum portionum sinus. -- (Cb242) Licet etiam tibi ponere diametri partes secundum quamlibet numeri quantitatem et ex ea facere sinus denominationem: <**> nam, etsi sinus et portionis nulla sit proportio, est tamen inter eos relatio, quia et sinus portionis est sinus, et portio sinus dicitur portio. Verbi gratia, ponamus diametri circuli quantitatem 300 minutorum: erit ergo sinus totus 150 minutorum.

(Cb243) Manifestum est autem quod chorda cuiusque sextae portionis circuli sit aequalis medietati diametri eius. Cuius rei demonstrationis causa inferius ponitur figura, cuius talis est descriptio:

(Fig.)

(Cb244) § Praepositae autem figurae haec est demonstratio. Fit enim circulus ABGD, qui quadratur duabus lineis se supra centrum E intersecantibus, linea videlicet AG et BD. Fit etiam circulus VZH super centrum B, cuius circumferentia contingit lineam AG super centrum E. Describitur iterum circulus TKI super centrum D, cuius circumferentia etiam contingit lineam AG super punctum E. Apparet itaque quod circulus ABGD intersecat circulum VZH super punctum L et super punctum M, et portio LBM circuli ABGD est aequalis portioni MEL circuli VZH. -- (Cb245) Demonstratur etiam quod portio LB sit aequalis ei quae est LE, et portio BM aequalis portioni ME: constat +igitur+ lineam EB, quae est dimidium diametri circuli, esse aequalem ei quae est EL, et lineam LB aequalem esse lineae BM; et quod lineae ME et EL et LB et BM sint quattuor chordae quattuor portionum circuli aequalium, quia illae sibi sunt aequales. -- (Cb246) Patet etiam quod linea LM abscidit lineam BE in duo media super punctum N: linea igitur NB est quarta diametri circuli, et similiter linea NE. Dividit quoque linea TI lineam DE in aequas partes super punctum C, quarum unaquaeque, linea scilicet DC et CE, est aequalis lineae EN; linea igitur NC est aequalis medietati diametri circuli, (Cb247) et est aequalis lineae MB et lineae LT. Erit ergo portio MB et portio LT aequalis portioni MI, quia earum chordae inter se sunt aequales; et portio ID aequalis portioni DT. -- (Cb248) Manifestum est igitur circulum in sex aequas portiones divisum esse, et uniuscuiusque illius portionis chordam esse aequalem medietati diametri circuli. -- Et haec est praemissae figurae certa descriptio.
    (Cb249) Cum autem positum sit diametrum esse 300 minutorum, erit chorda portionis LX graduum, quae est sexta pars circuli, 150 minutorum; et sinus XXX graduum, 75, quod est dimidium lineae MI, quae est linea GM; et sinus LX graduum est linea MN, quae est medietas lineae LM, quae est chorda portionis 120 graduum. -- (Cb250) Linea vero ZH est chorda LX' graduum, qui sunt quarta pars circuli, et illa chorda est radix 45000; cuius chordae medietas est sinus quadraginta quinque, quae est radix undecim milium et ducentorum quinquaginta. -- (Cb251) Apparet autem quod portio AL sit dimidium sextae partis circuli; cuius portionis chorda sic invenitur: multiplica sinum XXX in semetipsum, qui est linea LO, et multiplica lineam AO in semetipsam, et utrumque insimul iunge; et collectae summae radix erit chorda XXX graduum. Si autem minueris sinum LX de medietate diametri, remanebit linea AO. -- (Cb252) Medietas vero chordae XXX graduum est sinus XV graduum. Est autem linea FS chorda XXX graduum, cuius medietas, linea scilicet FQ vel linea QS, est sinus XV graduum, qui sunt portio circuli ab F in Z. Erit igitur portio circuli, quae est vel a F in V vel a S in H, LXXV graduum; cuius portionis sinus est linea QB. Et eius quantitas sic invenietur: multiplica lineam BF, quae est 150 minutorum, cum sit aequalis medietati diametri, in semetipsam, et lineam FQ in semetipsam, quae est sinus XV graduum. Postea minue multiplicationem lineae FQ de multiplicatione lineae FB, et remanentis numeri tolle radicem, quae radix erit sinus 75 graduum, et est linea QB, et est aequalis lineae XF. Et similiter facies in inventione sinus cuiuslibet portionis circuli, tam exiguae quam maximae.

(Cb253) Iamque demonstratum est quod, cum positum sit diametrum circuli esse 300 minutorum, chordam sextae partis circuli esse 150 minutorum, cum sit aequalis dimidio diametri circuli, et est sinus totus; cuius medietas est sinus XXX graduum, et sunt 75 minuta, qui est sinus duarum kardagarum. -- (Cb254) Si autem multiplicaveris sinum XXX in semetipsum et minueris inde provenientem summam de sinu toto in se multiplicato, remanentis numeri radix erit sinus LX graduum, qui est quattuor kardagarum; et est dimidium chordae 120 graduum. Minue itaque eum de sinu toto, et quod remanserit multiplica in semetipsum, et iunge inde provenientem summam sinui XXX in se multiplicato; et provenientis summae radix erit chorda triginta graduum, cuius medietas erit sinus XV graduum, id est primae kardagae. -- (Cb255) Multiplica itaque eundem sinum, id est primae kardagae, in semetipsum, et minue provenientem summam de sinu toto multiplicato in semetipso, id est ex 22500, et remanentis numeri accipe radicem, quae radix erit sinus 75 graduum, id est quinque kardagarum, et est dimidium chordae 150 graduum. -- (Cb256) Deinde minue sinum XV de sinu XXX, et residuum erit kardaga secunda. -- (Cb257) Postea multiplica sinum totum in seipsum, et numeri inde provenientis duplicati tolle radicem, quae erit chorda LX' graduum; cuius medietas erit sinus X'V graduum, id est trium kardagarum. -- (Cb258) Subtrahe igitur ab eo sinum duarum kardagarum, et remanebit sinus tertiae kardagae. Deinde minue sinum trium kardagarum de sinu LX, et remanebit sinus quartae kardagae. Minue etiam sinum quattuor kardagarum de sinu 75 graduum, id est quinque kardagarum, et residuum erit sinus quintae kardagae. Demes quoque sinum quinque kardagarum de sinu toto, id est de 150 minutis, et remanens numerus erit sinus sextae kardagae. Et habebis 6'ae kardagae +gradus+. -- Hae sunt sex kardagae, gratia quarum haec est introducta demonstratio.

(Cb259) § Si autem volueris invenire sinum secundum minores circuli portiones, sinum kardagae sextae in sinum XXX graduum multiplica, et collectae exinde summae quaere radicem, quae erit sinus VII graduum et dimidii. Et eandem summam minue de sinu toto multiplicato in semetipso, et remanentis numeri radix erit sinus 82 graduum et dimidii. Postea minue sinum 82 graduum et dimidii de sinu toto, et residuum multiplica in sinu XXX, et exinde surgentis numeri radix erit sinus trium graduum et X'V minutorum. Illum autem eundem surgentem numerum minue de 22500, et residui numeri radix erit sinus 86 graduum et quartae. Deinde minue sinum 45 graduum de sinu toto, et residuum multiplica in sinu XXX, et collectae tibi summae radix erit sinus 22 graduum et dimidii. Et diminue ipsam summam de sinu toto multiplicato in semetipso, et remanentis numeri radix erit sinus 67 graduum et dimidii. Minue itaque eum de sinu toto, et remanentem numerum multiplica in sinu XXX, et excrescentis inde numeri radix erit sinus undecim graduum et quartae unius. Et summam numeri totius subtrahe a sinu toto in se multiplicato, et remanentis radix erit sinus 78 graduum et trium quartarum. Minues etiam sinum 15 de sinu toto, et multiplicabis residuum in sinu XXX, et redacti inde numeri radix erit sinus 37 et dimidii. Et eiusdem numeri summa diminuta de sinu toto in se ducto, residui radix erit sinus 52 graduum et dimidii. -- Eodem modo fit in universis circuli partibus usque ad minutissimas eius portiones.

(Cb260) § De kardagis declinationis.

Et si kardagas declinationis volueris invenire ad singulos gradus, vel ad maiores sive ad minores circuli portiones usque in LX' gradus -- quia, habita notitia declinationis LX' graduum, habebitur et reliquarum circuli quartarum, cum earum omnium una sit declinatio -- sinum declinationis totius quaere, quem multiplicabis in sinum unius gradus, vel si placuerit plurium, et summam inde provenientem divides per 150. Deinde sinus ex ipsa divisione provenientis invenias circuli portionem, quae portio erit declinatio unius gradus, vel plurium si feceris ad plures. Ita etiam facies cum universis gradibus usque in perfectionem LX' graduum.

(Cb230) § De mora planetae vel cuiusvis stellae super terram.

Cum cuiusvis planetae vel stellae fixae, vel etiam cuiuslibet gradus circuli, placuerit longitudinem diei, id est moram eius super terram, investigare, considera latitudinem planetae -- idem considerabis in stella fixa -- et declinationem gradus in quo fuerit planeta, et partem utriusque, utrum scilicet sint septentrionales vel meridianae. Quae si fuerint in una parte, iunge utrasque; si vero fuerint diversae, minue minorem de maiori; et quod remanserit erit elongatio planetae vel stellae, in ea parte qua fuerit, a linea aequinoctiali. Idem etiam considerabis in stella fixa. Si autem feceris de gradu solis, scito declinationem eius, sicut praemonstratum est, a linea aequinoctiali. Stellarum vero fixarum usitatarum latitudines determinatae sunt in tabula earum (LA*). -- Quaere itaque sinum longitudinis planetae vel stellae fixae in tabula vel cuiusvis gradus a linea aequinoctiali, et eum nota. Deinde minue longitudinem planetae vel cuiusvis alterius a linea aequinoctiali de LX', et residui tolle sinum, qui erit sinus residui longitudinis stellae; serva etiam eum. Considera quoque sinum latitudinis regionis, et eum sub primis duobus signa. Postea diminue latitudinem regionis de LX', et residui sinum sub aliis tribus notifica, qui erit sinus residui latitudinis regionis. -- (Cb231) Multiplica itaque sinum latitudinis regionis in sinum longitudinis planetae vel stellae ab aequinoctiali linea, et divide quae tibi inde provenerit summam per sinum residui longitudinis planetae vel stellae: item, quod ex hac divisione provenerit, duc in 150, et partire exinde surgentem summam per sinum residui latitudinis regionis, qui fuit ultimus. Et sinus ex hac divisione procedentis invenias circuli portionem; quam portionem addes 180, si fuerit longitudo planetae vel stellae a linea aequinoctiali septentrionalis, vel minues eam ab eisdem gradibus, si fuerit meridiana; et quod fuerit post augmentum vel diminutionem, erit portio circuli planetae vel stellae vel gradus quaesiti diurna. Divide igitur eam per 15, et habebis per quot horas aequales moretur super terram, id est, quot horae aequales transeant ab ortu eius usque in eius occasum.

(Cb232) § De inventione horarum in nocte per planetam vel stellam fixam.

Cum vero, quot horae transierint in nocte, per quamlibet stellam vel planetam volueris invenire, longitudinem eius a linea aequinoctiali, sicut supra docuimus, et in qua parte sit, considera. Quaere etiam portionem diei illius et portionem diei gradus, in quo fuerit, et differentiam utriusque portionis tolle; cuius differentiae medietas erit quod est inter utrosque dies. Tunc etiam quaere ascensiones regionis, quae sunt ab initio arietis in gradum planetae: a quibus subtrahes [medietatem illius] quod est inter utrosque dies, si fuerit portio diei planetae maior portione diei gradus illius, vel addes eisdem, si fuerit minor; et gradus, qui remanserint ascensionum post adiectionem vel abiectionem eorum, reduc in gradus aequales; quos extendes ab initio arietis, et in quo terminaverint gradu, ille erit cum quo oritur stella. -- (Cb233) Deinde aspice: si fuerit longitudo planetae septentrionalis a linea aequinoctiali, adde eandem longitudinem altitudini arietis in eadem regione; et si fuerit longitudo planetae meridiana, minue illam de altitudine arietis; et quod post augmentum vel diminutionem provenerit, illud erit altitudo planetae meridiana in eadem regione. -- (Cb234) Post haec quaere sinum versum dimidii portionis diei planetae, et accipe sinum aequalem altitudinis planetae in hora probationis illius, et multiplica eum in sinum versum dimidii portionis diei planetae, et provenientem inde summam divide per sinum altitudinis planetae in media die, et quod exierit minue de sinu medii arcus diei verso, et residui quaere portionem <versam>; quam portionem subtrahe a dimidio portionis diei planetae, si fuerit planeta ab ortu in medium diem, vel adde eam dimidio portionis diei planetae, si fuerit planeta a medio die in occidentem; et quod fuerit post augmentum vel diminutionem, illud est quod elevatum est de circulo ab ortu planetae in horam ipsam. -- (Cb235) Postea aspice: si gradus, cum quo oritur planeta, fuerit inter gradum solis et eius nadir, ortus est planeta in die; si vero fuerit a nadir solis in gradum eius, est ortus in nocte. Et si ortus est planeta in die, accipe ascensiones quae sunt a gradu, cum quo oritur planeta, usque in nadir gradus solis, et minue illas de hoc quod elevatum est de circulo ab ortu planetae; et residuum erit quod elevatum est de circulo ab occasu solis. Si vero ortus est in nocte, adde ascensiones quae sunt a nadir gradus solis in gradum, cum quo ortus est planeta, super hoc quod elevatum est de circulo ab ortu planetae in ipsam horam; et quod collectum fuerit, ipsum est quod transivit de circulo ab occasu solis in horam acceptae altitudinis planetae. Divide ergo illud per partes horarum noctis illius, et invenies quot horae inaequales transierint de nocte; vel si diviseris per 15, habebis horas aequales de nocte illa praeteritas; per quas horas invenies signum oriens et eius gradum, sicut ostensum est in praecedentibus.

§ Expliciunt canones in motibus caelestibus.

(Cb236-60) vide supra, ante Cb230.