Transcription of ms. A = Firenze Laur. Ashb. 211, 63ra-160vb.

Printed in Cahiers de l'Institut du Moyen-Âge grec et latin 72 (2001) 169-269, 73 (2002) 61-166, Copenhagen. The present text does not include the illustrations or the notes on sources and variants. Corrections have been carried out, most of them tacitly, though larger insertions by the editor are shown in <...> and passages needing emendation in +...+.

----------------

(Ap1) Sicut dicit Hermes in libro de natura deorum: "Homo est nexus dei et mundi, supra mundum et subnexus deo". Haec propositio quantum ad omnia 3 membra declarari potest.
    (Ap2) Et primo quantum ad membrum primum, quo dicitur quod "homo est nexus dei et mundi". Quaecumque enim distantia si connecti habeant, hoc oportet fieri per medium utrisque commune. Quaecumque igitur distantia medium habent utrisque commune, per medium illud connecti habent, et ipsum medium "nexus" dicitur utrisque. Sed deus et mundus duo quaedam sunt in naturis distantia, quorum medium est homo, participatione saltim utrisque communis.
    Quod probatur: convenit enim homo cum mundo: dicitur enim homo microcosmus vel minor mundus. Saltim enim in genere cum omnibus mundi convenit: homo enim per esse absolutum convenit generaliter omnibus lapidibus et aliis, quae citra gradum vegetabilium oporteat ponere; per esse etiam vegetativum commune convenit cum plantis et quibuslibet vegetabilibus; et per esse sensitivum specialiter communicat animalibus; per esse vero intellectivum auget spiritibus et motoribus; et ita homo alteri extremorum, scilicet mundo, communicat. -- Item communicat deo, participando scilicet naturam divinam. Est enim homo maxime intellectus, ut scribitur decimo Ethicorum; intellectus autem secundum Algazelem simillimus est deo; ex quo concluditur, hominem quantum ad intellectum simillimum esse deo; et ita homo quantum ad naturam intellectivam deo communicat.
    Communicat igitur homo et deo et mundo, et per consequens homo erit medium utrisque commune. Sed tale dicitur "nexus" utriusque; ex quo concluditur prima pars propositionis assumptae, scilicet quod "homo est nexus dei et mundi".
    (Ap3) Pars secunda sic declaratur, scilicet quod homo sit "supra mundum". Mundus enim hic accipitur pro rebus mundi, quae sunt corpora, magnitudines et passiones utraque consequentes. "Esse" igitur "hominem supra mundum" intellego hominem esse supra mundum per indagationem duplicem in rebus mundi: quia per indagationem naturalem supra corpora et passiones corpora consequentes, et per inquisitionem mathematicam supra magnitudines et magnitudinum passiones. Res igitur mundi et sunt in mundo et homine: in mundo materialiter, in homine autem immaterialiter et per intellectum. Esse autem in aliquo per intellectum et immaterialiter nobilius est esse quam esse in aliquo materialiter. Et ideo concludere possumus quod res huius mundi, ut sunt apud hominem, supra seipsa sunt ut sunt in mundo, sicut nobilius est supra ignobilius. Quia ergo res mundi, ut sunt apud hominem, sunt supra seipsa ut sunt in mundo, merito persuasum videtur quod homo sit supra res mundi et per consequens supra mundum.
    Hoc idem et alia via declarari potest. Aliquid enim dicitur esse supra illud, supra quod virtus sua se extendit. Nunc autem natura et virtus cognitionis hominis se extendit ad omnia mundi. Cognitio enim nostra ex sensatis vel imaginatis est. Cum igitur omnia mundi vel sunt sensata vel saltim imaginativa, ideo homo merito esse dicitur super omnia mundi per cognitionem: et per indagationem naturalem super omnia sensibilia, per inquisitionem autem mathematicam super omnia imaginabilia.
    Homo igitur non immerito dicitur esse supra mundum. Et ideo dicit Hermes quod homo est gubernator mundi, et Alpharabius de homine loquens dicit quod homo sapiens est mensura rerum, omnia climata mundi inhabitans, astris et aliis omnibus dominans.
    (Ap4) Et tunc restat membrum tertium declarandum, scilicet quod homo sit "subnexus deo": quod valde rationabiliter sequitur ex praetactis. Cum enim homo est quid medium inter deum et mundum, ut dictum est in membro primo, et sicut dictum est iam in secundo quod homo est supra mundum, necessarium videtur esse quod homo sit sub deo. Cum enim homo est supra mundum, non posset esse medium inter deum et mundum, nisi esset sub deo et deo subnexus, quia medium connectens extremum cum extremo attingit superius inferioris et infimum superioris. Cum igitur homo per dicta in primo membro est medium connectens deum et mundum et attingit superius mundi, quia est super mundum, ideo necessario videtur sequi quod homo attingat infimum dei et quod sit deo subnexus.
    (Ap5) Est igitur "homo nexus dei et mundi" quantum ad membrum primum, et "supra mundum" quantum ad secundum, et "subnexus deo" quantum ad tertium.
    (Ap6) Unde et subdit Hermes quod "homo pulchritudines dei mundo immersas considerat"; per pulchritudines autem dei quiditates rerum et entia divina intelleguntur.
    "Considerare" igitur "pulchritudines dei mundo immersas" est considerare quiditates rerum et entia divina per naturalia et sensibilia: iste enim est modus cognitionis hominis. Et quia perfectio hominis in speculatione consistit, requiretur ad perfectionem hominis simpliciter ut perficiatur per omnem modum formae speculabilis.
    (Ap7) Forma autem speculabilis aut est contenta cum materia sensibili ista aut sine. Primo modo considerando formam speculabilem habetur scientia naturalis. Secundo autem modo contingit formam speculabilem dupliciter considerare: aut enim simpliciter consideratur sine materia et secundum rationem et secundum esse, aut secundum rationem solum. Primo modo consideratur a metaphysico, secundo autem modo a mathematico. -- Licet enim ea, quae mathematicus considerat, coniuncta sunt in esse materiae sensibili, puta +numerum, magnitudinem+ et talia, non tamen considerat haec ut sunt in materia sensibili, sed ut sunt in materia imaginabili. Mathematicus enim a materia imaginabili non abstrahit: sic enim non differret a metaphysico.
    (Ap8) Unde, quia tota mathematica est de quantitate et magnitudine, ideo secundum divisionem quantitatis vel magnitudinis ipsa mathematica recipit divisionem iuxta illud tertii De Anima, "Secantur scientiae etc.". -- Quantitatum igitur quaedam est discreta, quaedam continua. De quantitate autem discreta, puta de numero, est arismetica et musica: arismetica enim est de numero simpliciter, musica autem de numero ut relatus est ad sonum. Quantitas autem continua quia duplex est, scilicet mobilis et immobilis, de immobili est geometria, de mobili autem astronomia, de qua ad praesens. Per hanc quantitatem mobilem intellego totum quod est infra concavum orbis lunae et convexum orbis ultimi, id est noni.
    (Ap9) Huius autem inventores scientiae multi fuerunt, sicut Moyses, Abraxis, Ptolomaeus, Albumasar, Albategni et quamplures alii, et horum novissimus Asarcel, quem prae manibus elegi sicut deus dederit exponendum: qui totum id, quod Ptolomaeus in Almagesti de caelo et planetarum motibus geometrice demonstravit, per instrumenta et machinamenta maxima verum et infallibile +esse+ in hoc libro reliquit.
    (Ap10) Per iam dicta absolvitur, quae causa efficiens huius operis, quia Asarcel; et quae sit causa materialis sive subiectiva, quia corpus mobile, scilicet quinta essentia. Et ut separetur subiectum huius a subiecto scientiae naturalis, dicitur quod subiectum huius scientiae est corpus mobile, non nude mobile sumptum, sed unde ex motu eius tanta vel tanta astrorum distantia vel eorum adinvicem coniunctio invenitur. Causa autem finalis huius operis est coniunctio vel praeventio luminarium, quae nomine communi eclipses nominantur. Haec tamen scientia forsitan in astrologiam ordinatur, de qua nihil ad praesens.

------------------

(Ap11) Unde, quia tempus comparatur ad motum sicut mensura ad mensurabile, ideo auctor in processu libri primo (1-51) determinat de tempore et diversis rationibus partium temporis, et secundo (52-126) de ipso <motu> prosequitur; et incipit secunda pars ibi Cum cuiuslibet gradus scire volueris sinum. In parte prima facit duo, quia primo (1-2) per modum prohemii aperit intentionem suam respectu dicendorum in distinctione prima, et secundo (3-51) de intento exsequitur, ibi Latini namque. -- In toto prohemio intendit hanc conclusionem quod determinandum est hic de tempore et de diversis rationibus partium temporis secundum diversas gentes. Et procedit sic, quoniam primo (1) ostendit quod intendens de motu necesse habet determinare de tempore, et secundo (2) quod intendens de partibus motus necesse habet determinare de diversis rationibus partium temporis, ibi Quod quia cum mundo incepit.
    (Ap12) Primo (1) videtur sic velle arguere: Tempus mensurat et metitur quantitatem actionis cuiuslibet; sed motus corporum caelestium quaedam est actio; ergo tempus mensurat quantitatem motus corporum caelestium. Sed intendere de mensurabili et mensura ad eundem pertinet; ergo intendentibus de motu corporum caelestium ratio temporis est investiganda. Horum duorum processuum ponit auctor maiorem primi processus et conclusionem secundi, cum dicit Caelestium motuum.
    (Ap13) Quod quia cum mundo (2): ostendit quod intendentem de motu et partibus motus oportet determinare de diversis rationibus partium temporis. Et vult sic arguere: Sicut se habet tempus absolute ad motum absolute, sic partes temporis ad partes motus; sed partium temporis rationes apud diversos sunt diversae; ergo ad perfectam notitiam motus exsequendum est de diversis rationibus partium temporis. -- Quod, scilicet tempus, quia incepit cum mundo et cum orbe, eiusque termino coaequatur quantum ad motum suum, partes huius, scilicet temporis, comprobantur metiri diversos motus ipsius, scilicet orbis. Est enim etc.

(Ap14) Latini namque (3-51): exsequitur. Et facit duo, quia primo (3-11) dat diversas rationes partium temporis apud diversas gentes, et secundo (12-51), iuxta ritum singularum gentium et sectarum, diversas dat regulas de inventione et inceptione temporis, cum dicit Nunc autem ad eorum regulas. -- Primo facit 3, quia primo (3-6) dat diversas rationes temporis apud Latinos et Graecos simul, et secundo (7-9) apud Arabes, et tertio (10-11) apud Persas: secunda ibi Arabes vero; 3'a ibi Persae vero etc.
    Et primo (3-5) determinat de tempore quantum ad id in quo conveniunt Latini et Graeci, et secundo (6) quantum adinvicem differunt, ibi Praeter quod Graeci, et dat eorum duas regulas.

(Ap15) Arabes vero (7-11): planum est usque ibi Nunc autem (12-51), ubi auctor determinat in speciali magis de inchoatione et inventione temporis et de diversis rationibus partium temporis apud diversas gentes. Et facit 2, quia primo (12) proponit intentum, et secundo (13-51) prosequitur, ibi Cum quilibet annorum. -- Et primo (13-32) narrative et sine tabulis certas assignans regulas, et secundo (33-51) per tabulas, ibi Et si hoc idem per tabulas, quod est capitulum undecimum. -- Primo facit 4: primo (13-14) secundum Latinos; secundo (15-20) secundum Arabes, Si autem ex annis domini; et tertio (22-25) secundum Persas, Cum in quo mense; et 4'o (26-30) secundum Graecos, cum dicit Item si quot sunt anni. -- Primo facit 2, quia primo (13) docet invenire, qua feria incipit primus mensis cuiuslibet anni Latinorum, et per hoc ostendit qua feria quilibet annus Latinorum ingreditur, et secundo (14), qua feria quilibet mensium sequentium anni ingreditur, ibi Si autem cuiusvis alterius mensis.
    (Ap16) <**> (13:) eique 4'am partem eorum adiungens, dividendo annos perfectos per 4 et annis eisdem numerum quotiens addendo <**> pro nota anni: hoc enim ostendit tibi, in qua feria annus imperfectus ingreditur. <** septim>am esse, et tunc annus imperfectus ingreditur feria septima, scilicet in sabbato.
    (Ap17) Si autem cuiusvis alterius (14), supple mensis a mense primo, <initium scire volueris>, ipsum praecedentium mensium notas <cum nota> mensis simul collige. Puta, si quaeras qua feria Maius ingreditur, tunc notas mensium qui praecedunt Maium collige: scilicet notam Aprilis, qui habet pro nota duo, et notam Martii, qui pro nota habet 3, et notam Februarii si annus est bissextilis, scilicet unum, et notam Ianuarii, qui pro nota habet 3; et ita in anno communi habebis pro notis mensium ante Maium 8 et in anno bissextili 9. Et hoc totum et notam anni primo inventam addas, faciens sicut dicit, scilicet dividendo per 7 etc.
    Et nota quod quilibet mensis tantum habet pro nota quantum ultra septimanas integras habet de diebus: unde, quia 28 dies faciunt 4 septimanas, ideo mensis habens 31 dies habet 3 pro nota, quae 3 sunt ultra 28; et ideo etiam mensis habens 30 dies 2 habet pro nota; Februarius autem in anno communi habet 28 dies, ideo nihil habet pro nota, quia nihil habet ultra septimanas integras, sed in anno bissextili habet unum ultra.
    (Ap18) Dicit auctor (13) quod, si duo remanent post divisionem per 7, in secunda feria incipit mensis sequens vel annus. -- Contra: si duo remanent, ergo ultra septimanam perfectam ante ingressum mensis vel anni duo fluxerunt dies. Cum igitur septimana completur in sabbato, dies illi duo remanentes ultra sunt dominica et dies lunae, vel prima feria et secunda. Cum igitur mensis ingrediens in neutro istorum dierum ingreditur, quia ante ipsum sunt transacti, ingredietur igitur feria tertia et non in feria 2'a, quod est contra dictum in littera. -- Dicas quod septimana secundum mathematicos incipit in meridie sabbati et terminatur in meridie sequentis sabbati, ita quod, quicquid est a meridie sabbati usque ad meridiem dominicae, dicitur dominica dies sive prima feria. Unde et Christus, cum in media nocte ante diem dominicam natus dicitur, in media die dominicae natus est secundum mathematicos. Et ideo, cum Latinus vel Christianus sabbatum dicit esse quicquid est etiam post meridiem sabbati, a sabbato incipiendum est computare dies ultra septimanas residuos. Si igitur duo remanent, illi sunt sabbatum et dominica dies, et ideo mensis ingrediens in secunda feria ingredietur. Sic credo esse dicendum.

(Ap19) Si autem ex annis domini Christi etc. (15-20): docet ex annis domini annos Arabum invenire. Et hoc facit primo (15-16a), et secundo (17-20) docet invenire qua feria quilibet annus et mensis Arabum ingreditur, ibi Si exordia. -- Primo (15-16) facit quod dixi, et secundo (16a) e converso ex annis Arabum docet elicere annos Christi, cum dicit Si autem ex annis Arabum.
    (Ap20) Anni Arabum ex annis Christi sic eliciuntur, in exemplo ponendo sententiam capituli (15). Sint anni Christi 1290, sex menses et X dies, et intellego decimam diem compleri in XI'o die septimi mensis in meridie. Ex hac summa minue 621 annos, quia in tot annis solaribus Christus praecessit Mahometum, et remanent 669 anni solares. Quos multiplices per 365 et quartam, hoc modo: primo divide eos per 4, et exibunt 167 dies, de quarta autem remanente nihil cures; habes igitur 167 dies hoc modo, qui sunt dies bissextiles in 669 annis; dies igitur istos serva. Deinde eosdem 669 annos per 365 multiplica, et exibunt 244185 dies; quibus additis 167 diebus prius reservatis habebis 244352 dies; a quibus demas 195 dies, in quibus ultra annos perfectos Christus praecessit Mahometum, et remanent 244157 dies; quibus addas dies anni Christi incepti, qui sunt 191, et erunt in tota 244348 dies; et iste est numerus dierum in toto tempore quod est a Mahometo, et hoc dicitur esse tempus Arabum. -- Hos autem dies in annos et menses lunares sic reducas, quia Arabes cursum lunae sequuntur: cum enim in anno lunari ultra dies sunt 11 tricesimae, dies omnes istas in 30'as reducas, multiplicando per 30, et erunt 30'ae 7330440; quem numerum dividas per 10631, quae sunt 30'ae in uno anno lunari ut Arabum, et exibunt anni Arabum perfecti 689; et remanent 5681 tricesimae, quibus divisis per 30 exibunt 189 dies; et remanent 11 30'ae, de quibus nihil cures, cum sunt pauciores quam 15 (:16). Ex diebus igitur facias menses, alternatim, unum ex 30 diebus et alium ex 29, constituendo eum primum ex 30; et erunt menses 6 et ultra menses 12 dies.
    Et nota quod, quando ex aliquantum multis diebus oportet menses Arabum facere, tunc per 59, qui sunt dies duorum mensium, divide et productum dupla; et deinde si ultra 30 remanserunt, pro 30 duplato adde 1, et habebis numerum mensium; et residuum est numerus dierum mensis praesentis. -- Verbi gratia, in proposito ultra annos perfectos remanserunt 189, quibus divisis per 59 exibunt 3 et remanent 12; tribus ergo duplatis erunt 6 menses lunares, et remanent 12 dies de mense imperfecto.
    (Ap21) Si autem ex annis Arabum (16a): e converso per annos Arabum invenies annos Christi. Sit enim tempus Arabum iam inventum 689 anni 6 menses et 12 dies. Annos ergo perfectos, scilicet 689, multiplica in 10631, quae sunt 30'ae unius anni Arabum, et exibunt 7324759, quae sunt 30'ae in omnibus annis Arabum perfectis; quas reduces in dies, dividendo per 30, quae sunt 30'ae unius diei, et exibunt 244159, addendo unum pro 19 remanentibus post divisionem; et illi sunt dies in omnibus annis Arabum perfectis. Quibus addas 195, quia tot dies lapsi erant de anno solari, quando Arabes inceperunt annos suos a Mahometo, et exibunt 244354; quibus addas 189 dies qui fluxerant ultra annos perfectos Arabum -- tot enim sunt in 6 mensibus cum 12 diebus -- et habebis in toto 244543 dies. -- Ex quibus quia oportet facere annos solares, cum in anno solari est quarta ultra dies, ideo dies istos resolvas in quartas, multiplicando eos per 4, et exibunt 978172 quartae; quas dividas per quartas unius anni solaris, quae sunt 1461, et exibunt tibi 669 anni solares perfecti; et remanent 763 quartae, quas reducas ad dies dividendo per 4, quae sunt 4'ae unius diei, et exibunt 191 dies, quia additur unus pro 3 4'is remanentibus. Deinde ad annos perfectos addas 621, quia in tot annis praecessit Christus Mahometum, et erunt anni perfecti 1290. De diebus autem anni imperfecti facias menses incipiendo a Ianuario, cui dabis 31 dies, et Februario 28, quia annus ille imperfectus non est bissextilis, et sic deinceps; et habebis 6 menses et 10 dies de mense septimo imperfecto.
    Et nota quod, quando velis scire quot mensibus aliquis numerus dierum correspondeat, talem numerum in kalendario Linconiensis quaeras: et tot menses perfecti illis diebus correspondebunt, quot menses praecedunt mensem illum in quo numerum illum invenisti, et insuper tot dies quot sunt a principio mensis illius ad diem illum, e directo cuius numerum illum invenisti. Sic igitur eundem numerum annorum Christi, mensium et dierum invenisti per annos Arabum, menses et dies, per quem in priori capitulo tempus Arabum in hoc capitulo propositum invenisti.

(Ap22) Si exordia mensium Arabum (17-20): docet invenire, qua feria quilibet annus Arabum et mensis anni ingreditur. Et primo (17-18) docet, in qua feria quilibet annus Arabum ingreditur, et hoc est docere, in qua feria primus mensis anni ingreditur; et secundo (19-20) docet, in qua feria quilibet mensis alius a primo ingreditur, ibi Item si reliquorum.
    (Ap23) Quia igitur ad opus istud oportet tempus Arabum in dies resolvere (17), cum annus Arabum ultra dies habet tricesimas, ideo per 30'as unius anni Arabum, quae sunt 10631, multiplicentur anni Arabum perfecti, puta 689, et exibunt 7324759 tricesimae; quas in dies reducendo dividas per 30, et exibunt 244159, quia pro 19 tricesimis remanentibus additus est dies unus.
    Hic igitur dierum numerus "radix Arabica" vocabitur: "radix" enim, ut hic sumitur, est numerus dierum omnium annorum perfectorum alicuius sectae. Aliter autem accipitur "radix" inferius, cum venitur ad tabulas (:Ap42). -- Si etiam ultra divisionem per 30'a 15 remansissent, valere deberent unum; si minus, non poneretur pro eis aliquid ad dies; causa huius videtur infra (:?).
    (Ap24) Si ergo velis initium anni imperfecti per hanc radicem scire (18), sibi addas quinarium, et productum, scilicet 244164, per 7 dividas, quo facto remanebunt 4. Nec aliquid cures de numero quotiens: ille enim est numerus septimanarum perfectarum; 4 autem remanentia ostendunt quod annus Arabum imperfectus incipit in 4'a feria. -- Si nihil remansisset, in sabbato ingrederetur, quia tunc nota anni fuisset 7, quae attestatur super 7'am feriam, quae est sabbatum.
    (Ap25) Si autem velis scire reliquorum mensium initium (19), puta 4'i mensis, tunc supra notam anni, quae est 4, addas notas mensium quae sunt ante 4'm mensem, et erunt 9: primus enim mensis (20), cum est trigenarius, habet duo pro nota, et tertius similiter, secundus autem unum, quia solum habet 29 dies. Si igitur (19) de novem 7 subtraxeris, quae valent unam septimanam, remanebunt 2, quae ostendunt 4'm mensem in secunda feria ingredi. Causa huius dicta est in inventione initii mensium et annorum Christi (:Ap16).

(Ap26) Cum in quo mense Persarum sis (22-25): docet primo (22) invenire numerum annorum Persarum, et secundo (23-25) annorum et mensium initium, ibi Cum autem qua feria.
    (Ap27) Primum (22) docet per radicem Arabicam iam inventam, hoc modo, quia supra eam oportet addere omnes dies anni Arabum imperfecti, qui sunt 6 menses et 12 dies, sicut prius (:Ap20) ostensum erat per annos Christi: menses autem 6 cum 12 diebus valent 189 dies, qui cum radice Arabica faciunt 244348 dies, qui sunt omnes dies Arabum ad tempus Christi prius acceptum. Cum igitur Arabes in inceptione annorum praecesserunt Persas in 3624 diebus, oportet dies tot de omnibus diebus Arabum demere, et remanebunt 240724, qui sunt dies omnes Persarum. -- Quos si reducere velis ad annos, cum ipsi in anno suo solum dies habent 365, praeter 4'am, oportet omnes dies illos per 365 dividere, et exibunt 659; et remanent 189 dies, quos per 30 dividas, et exibunt 6 menses et 9 dies, quia usque ad octavum mensem omnes sunt trigenarii. Si autem transivisset 8'us, tunc de diebus remanentibus post divisionem factam per 30 oporteret abicere 5, cum ipse ex 35 constat diebus, et residuum tunc esset numerus dierum mensis praesentis.
    (Ap28) Cum autem qua feria (23-25): docet, qua feria quilibet mensis Persarum ingreditur, sic, verbi gratia: Quia Persae in anno non habent nisi praecise 365 dies, qui faciunt 52 septimanas et 1 diem, iste igitur unus dies variat feriam ingressus anni. Quot igitur sunt anni Persarum, tot dies sunt ultra septimanas integras in omnibus eorum annis: cum annis igitur operaberis sicut cum diebus. Sed quia Persae in tertia feria inceperunt, ideo supra numerum annorum, seu dierum in singulis annis ultra septimanas integras excrescentium, oportet addere 3. Cum igitur anni Persarum perfecti sunt 659 per capitulum praecedens, tot diebus addas 3, et erunt dies 662; quos reducas in septimanas integras per 7 dividendo, et remanebunt 4, quae erit nota anni intrantis imperfecti: in 4'a igitur feria hic intrabit.
    (Ap29) Si autem velis habere feriam mensium aliorum a primo (24), puta quarti mensis, tunc supra notam anni addas notas mensium omnium ante quartum: et erunt in toto 10, quia primus habet pro nota duo, secundus et tertius similiter: menses enim apud istos sunt 30 dierum praeter octavum, qui habet 35. Haec ergo decem per 7 divide, vel demas 7 pro una septimana, et remanent 3, quae ostendunt mensem 4'm in 3'a feria ingredi.
    (Ap30) Mensis igitur quilibet (25) pro nota habet 2, quia quilibet est trigenarius, nisi octavus, qui non habet notam, quia nihil habet ultra septimanas integras: constat enim ex 35 diebus, qui faciunt 5 septimanas praecise.

(Ap31) Item si quot sint anni Alexandri (26-30): docet de tempore Alexandri sive Graecorum. Primo (26-27) per annos Arabum, ut per radicem eorum invenire numerum annorum Graecorum, et secundo (28-30) annorum et mensium initia, ibi Cum ergo quando quivis Graecorum.
    (Ap32) Primum (26-27) docet sic: Verbi gratia, accipiatur radix Arabica, quae, ut supra inventum erat, est 244159 dies; et ei addas dies anni imperfecti Arabum, qui per habita prius sunt 189, et erunt 244348 dies in toto tempore Arabum. Et quia Graeci prius inceperunt annos suos quam Arabes, scilicet ad 932 annos solares et 287 dies, ideo supra tempus Arabum addas primo 287 dies, et erunt dies 244635. -- Deinde, ut annos possis etiam addere, in quibus Graeci Arabes praecesserunt, de diebus istis facias annos solares. Cum igitur annus solaris ultra dies habet quartam, ideo omnes dies istos resolvere oportet in quartas multiplicando eos per 4, et erunt 978540 quartae; quibus divisis per 1461, quae sunt 4'ae unius anni solaris, exibunt anni solares perfecti 669 et remanent 4'ae 1131. Supra annos igitur perfectos, scilicet supra 669, addas annos solares perfectos, scilicet 932, in quibus Graeci praecesserunt Arabes, et erunt 1601 anni, qui sunt Graecorum anni perfecti. -- Deinde 4'as post divisionem remanentes per 4 dividas, et exibunt dies 283, quia pro 3 quartis oportet diebus addere unum. Ex quibus diebus facias menses, dando cuilibet numerum dierum suorum, incipiendo ab Octobri, qui habet 31 dies. Et hoc leviter facias hoc modo, quia pro Octobri et Novembri et Decembri de supradictis diebus 92 subtrahas -- tot enim dies habent illi 3 menses -- et tunc de diebus omnibus remanebunt 191 dies; quos quaeras in kalendario Linconiensis, et eos invenies e directo decimi diei Iulii. Et quia ante Iulium sunt 6 menses a Ianuario, 9 erunt menses ab Octobri, et insuper 9 dies mensis imperfecti. Hoc igitur est tempus Graecorum in toto usque ad tempus Christi praeacceptum vel Arabum, quia 1601 anni perfecti et 9 menses cum 10 diebus.
    (Ap33) Et nota, sicut dicit canon (27), quod, si ex quartis post divisionem remanerent solummodo duae, iam annus ille imperfectus fuisset bissextilis, quia Graeci in secundo anno post bissextum inceperunt. Tunc autem pro illis 2 quartis diebus addi deberet unus; multo magis igitur, cum 3 supererant, ut iam in proposito.
    (Ap34) Cum ergo quando quivis (28-30): docet secundum sic, verbi gratia: cum Graeci habent annos solares, et annus solaris, ultra dies excrescentes annis singulis ultra septimanas integras, habet 4'am, quae in anno quolibet 4'o facit diem unum -- et ideo, quia tunc duo dies ultra septimanas excrescunt, ideo, sicut, inveniendo qua feria aliquis annus Christi incipit, annos perfectos Christi, cum 4'a eorum eisdem addita, divisisti per 7, consimiliter annos Alexandri vel Graecorum perfectos cum 4'a sibi addita, quae est 400, dividas. Sed oportet addere etiam duo, quia Graeci in secunda feria inceperunt; nihil autem cures de 1 quod remanet; et erunt in toto 2003 dies singulis annis ultra septimanas integras excrescentes in toto tempore Graecorum. Quibus divisis per 7 remanet unum, quod est nota anni ingredientis imperfecti. Iste ergo annus, scilicet millesimus sexcentesimus secundus, in dominica ingreditur, scilicet in Octobris principio.
    (Ap35) Si autem (29), qua feria aliquis alius mensis illius ultimi anni ingreditur, <scire volueris,> fac sicut in annis Christi, et invenies 4'm mensem incipere in secunda feria, scilicet in principio Ianuarii. Quod patet, quia, cum A in Octobri significat dominicam, A primum in Ianuario significabit feriam secundam.
    (Ap36) Et nota, sicut dicit canon (30), quod, cum quartam partem annorum Alexandri quaeris, si 2 superfuerint post divisionem factam per 4, vel si minus duobus fuerit, abicientur pro nullo; si vero plus duobus superfuerit, valebunt unum integrum.

(Ap37) Cum quot sunt anni Arabum (31): huius capituli doctrina conversa est doctrinae capituli illius Item si quot sint: docet ergo annos Arabum invenire per tempus Graecorum. Cum Graeci praecesserunt Arabes in 932 annis solaribus et 287 diebus, ex annis Graecorum perfectis prius inventis, qui sunt 1601, 932 minue, et remanebunt 669 anni solares. -- Et quia de toto hoc oportet adhuc 287 dies minuere, tot annos reducas ad dies. Sed quia in anno solari ultra dies est una 4'a, ex qua in quolibet quarto anno excrescit dies unus, ideo annos istos in 365 et 4'am multiplices, sicut factum est in annis Christi, cum per eos anni Arabum inveniebantur, et habebis dies 244352. A quibus iam subtrahe quod debes, scilicet 287 dies, et remanebunt 244065; quibus addas dies anni Graecorum imperfecti, scilicet 283, et erunt 244348; et haec est summa dierum Arabum. Quos in annos lunares reducas per doctrinam illius capituli Si autem ex annis domini Christi.
    (Ap38) Si vero idem per Persarum annos (32): doctrina huius capituli conversa est doctrinae capituli illius Cum in quo mense Persarum etc. Cum Arabes praecesserunt Persas, et cum annos Arabum velis per annos Persarum, oportet ad annos Persarum addere dies in quibus Arabes Persas praecesserunt; et ideo annos Persarum reducere oportet ad dies. Cum igitur Persae in anno suo solum habent dies 365 sine 4'a, ideo omnes annos Persarum perfectos, qui per iam habita sunt 659, in 365 multiplica, et provenient dies 240535; quibus addas dies anni Persarum imperfecti, qui sunt etiam per praehabita 189, et erunt dies 240724; et hoc est totum tempus Persarum. Addas igitur 3624 dies, in quibus Arabes praecesserunt Persas, et resultabit totum tempus Arabum, in diebus scilicet 244348; per quos invenias annos, menses et dies Arabum sicut superius est ostensum.

(Ap39) Et si hoc idem per tabulas (33-51): superius docuit auctor diversas rationes temporum apud diversos, et hoc per regulas certas; hic autem docet idem per tabulas. Et primo (33-46) docet invenire quantitatem temporis secundum sectas secundum quas prius, et temporum initia, per tabulas proprias cuiuslibet sectae; et secundo (47) idem docet per tabulam quandam communem, ibi Si vero annos Christi vel Alexandri.
    (Ap40) In prima parte, quia diffuse auctor procedit, ideo cesset divisio. -- Docet ergo in primo capitulo vel canone (33-34) per tempus Christi datum invenire feriam in qua annus vel mensis anni ingreditur, hoc modo. Verbi gratia, esto quod <sit> tempus Christi 1290 anni 6 menses et 10 dies. Numerum igitur annorum Christi perfectorum in prima tabula quaeras, quae intitulatur "Tabula inventionis temporis domini nostri Ihesu Christi" (AA11); quaeras, inquam, in sinistro latere ad annos collectos. Quos si praecise non inveneris, quaeras minorem, propiorem tamen, numerum tali annorum numero; et erit minus, propius tamen, ibi inventum scilicet 1288: quia, si descenderis in illa linea, vel erit maius; vel, si ascenderis, erit minus, non tamen propinquius. Accipe igitur e directo 1288 annorum in 4 capitulis versus dexteram, scribens ea in pulvere eo ordine quo ibi sunt, sic 2 10 40 42; et illi sunt dies omnium illorum annorum, scilicet 1288.
    (Ap41) Unde quaelibet unitas numeri positi in primo capitulo, scilicet versus dexteram, valet se ipsam nec plus; quaelibet autem unitas capituli secundi, eundo versus sinistram, valet sexaginta, vel sexagesies se ipsam in primo capitulo; et quaelibet unitas tertii capituli, eundo etiam versus sinistram, valet sexagesies sexaginta unitates, vel <sexagesies> se ipsam in secundo capitulo positam; et quaelibet unitas 4'i capituli, quod est proximius sinistrae, valet sexagesies sexaginta sexagesies unitates, vel <sexagesies> se ipsam tertio capitulo positam.
    (Ap42) Quo facto, quia cum minori numero intrabas tabulam, quam erat numerus annorum Christi omnium, ideo annos istos, cum quibus iam intrasti, ab omnibus annis Christi subtrahe, et remanent 2 anni. Cum quibus secundam partem tabulae eiusdem intra, scilicet ad annos Christi expansos; et quia e directo 2 annorum invenis solum de secundo et primo capitulis, ideo numerum inventum in primo capitulo ibi scribas extra in pulvere sub alio primi capituli prius extracto, et similiter numerum secundi capituli iam inventum sub numero secundi capituli. Et postea cum mensibus Christi perfectis intra tabulam mensium, et invenies e directo sexti mensis 3 in secundo capitulo et 1 in primo. Haec igitur reponas sub aliis prius extractis, ita quod primum sub primis et secundum sub secundis; et stabunt in pulvere omnia capitula ad istos introitus accepta hoc modo sicut hic:

    2 10 40 42
         12 10
          3  1.

    2 10 40 42
         12 10
          3  1
            10.

     1 4 58  2
       2 51 17
          2 57
            12.

      3 41 55 39
           30 26
            4 33
              10.

      1  3 52 30
         2 56 25
            3  0
               9,

      630 308
       28  57
          177
           12.

(Ap53) Ut autem annos Arabum (45-47): docet per communem tabulam (AC11c) conversionem annorum sive temporum sectarum omnium prius dictarum inter se; et primo (45-46) accipiendo illam tabulam quantum ad partem sui, et secundo (47) utendo ea in tota sui communitate, ibi Si vero annos Christi vel Alexandri etc.
    (Ap54) Utendo igitur (45-46) dicta tabula quantum ad duas partes sui, docet ex tempore Christi invenire tempus Arabum. Quod sic fiat: omnes annos Christi perfectos, puta 1290, in tabula pulverea scribas; quibus menses perfectos ultra annos existentes annis praeponas versus dexteram, et dies mensis imperfecti etiam mensibus anteponas.
    Sed omnes menses ex 30 debent diebus constare, ut supponitur per tabulam; quod fit propter Persas, ut credo, qui solum 30 dies in mense suo habent, nisi quod octavus 35 dies habet. Menses autem sic facies trigenarios, quia tot dies, quot a principio Ianuarii fluxerant, per 30 divide, et numerus exiens per divisionem erit numerus mensium trigenariorum; quos ante annos ponas, et dies residuos ante menses. Insuper, quotus fuerit annus imperfectus a bissexto, tot 4'as etiam diebus, una minus, anteponas; et si annus fuerit bissextilis, supra numerum dividendum per 30 unum addas; sed tunc diebus non oportet quartam aliquam anteponi, sed loco tamen quartarum ante dies ponere oportet cifram. Hos igitur 4 ordines, scilicet annorum, mensium, dierum et quartarum, vel cifrae loco 4'arum, hoc modo notes in pulvere diligenter.
    Quibus dispositis, in tabula communi, quae intitulatur "Tabula ad inveniendum annos Arabum et aerae, Alexandri et Persarum per annos Christi et e converso" (AC11c), quaeras in tempore Christi tot annos et tot menses, tot dies et tot 4'as, quot habebis in pulvere. Quos si non per omnem modum sic inveneris, tot annos quaeras et tot menses et tot dies cum 4'is paucioribus; quod si annos et menses et dies non simpliciter hiis aequales inveneris, tunc tot annos et tot menses cum diebus paucioribus perquiras ibidem; si vero nec annos et menses praecise tot invenire poteris, tunc tot annos cum mensibus paucioribus capias; si etiam contingat quod nec annos tot praecise ibidem invenire poteris, tunc numerum annorum minorem numero annorum propositorum, propiorem tamen, quaeras.
    (Ap55) Verbi gratia, in tempore Christi sunt 1290 anni, 6 menses et 10 dies; quibus in pulvere scriptis 2 4'as versus dexteram praeponas, quia annus imperfectus est 3'us post bissextum, in fluxu autem totius primi anni 4'a non computatur. Menses autem isti faciunt 6 menses trigenarios et 11 dies: sunt igitur in tempore Christi 1290 anni perfecti, 6 menses trigenarii, 11 dies et 2 4'ae. -- Quorum omnium quia in tabula supradicta simile non invenies, numeros hiis proximos quaeras, minores tamen; et erunt in annis 1261, et in anni imperfecti mensibus 10, et in diebus mensis imperfecti 17, et in loco quartarum cifra. Haec igitur omnia sub toto tempore Christi in pulvere posito disponas, singula scilicet sub aliis sui generis, annos scilicet sub annis, menses sub mensibus, dies sub diebus, et nihil sub quartis, quia nullam ad praesens invenisti. Quo ordinato, e directo temporis nunc inventi annos Arabum versus sinistram descriptos, scilicet 660, seorsum in pulvere ponas: tot enim annis Arabum transactis, de tempore Christi fluxerant 1261 anni, 10 menses et 17 dies praecise.
    Tot igitur annos cum tot mensibus et diebus de toto tempore Christi subtractis, cum residuo scilicet tabulam annorum expansorum intra. -- Sed advertendum hic, qualiter est hic unum ab alio subtrahendum; et ideo utrique numeri hic proponantur, sic:

    Anni Menses Dies Quartae

    1290    6    11     2
    1261   10    17     0.

(Ap62) Et si qua feria quisque mensis Latinorum (49-50b): docet per quandam tabulam, quae intitulatur "Tabula ad inveniendum ferias mensium Latinorum sive Graecorum" (AD31), invenire qua feria aliquis mensis Latinorum et Graecorum incipit. Et primo (49-50a), qua feria quilibet Graecorum incipit, et secundo (50b), qua quilibet Latinorum, ibi Et si hoc idem.
    (Ap63) Primum (49-50a) docet sic: omnes anni Graecorum perfecti cum imperfecto addito, puta 1602, per prius dicta imperfecto annumerato, per omnes annos cycli solaris, scilicet per 28, dividantur, et numerum annorum residuorum in prima linea dictae tabulae quaeras; e directo cuius, sub mense cuius velis initium descendens, nota descripta, qua feria idem mensis ingreditur, demonstrabit. -- Verbi gratia, si 1602 per 28 dividantur, remanent 6, quos quaeras in prima linea tabulae versus sinistram; et e directo eorum versus dexteram, sub quo mense velis, nota inventa ostendet tibi qua feria idem mensis ingreditur. Puta, primus habet 1, et ideo primus mensis anni illius imperfecti in dominica ingreditur; sub secundo autem sunt 4, et ideo secundus in 4'a feria ingreditur, et cetera; et hoc idem inveniebatur superius per regulam in illo capitulo Cum ergo quando quivis etc. (:Ap34-35).
    (Ap64) Sed notandum quod, si e directo annorum, cum quibus intrare debeas, fuerit nota bissexti -- sicut si 7 remanerent post divisionem per 28, sicut contingit cum anni Graecorum, scilicet perfecti, fuerint <-->9 -- tunc annus ille est bissextilis, et tunc Februarius habet 29 dies. (50a:) Verumtamen dies ille bissextilis secundum compositionem huius tabulae additur in Decembri; et ideo in illo anno, et omni tali, a nota Februarii et Ianuarii unitas est tollenda, et residuum istarum notarum ostendet feriam ingressus dictorum mensium; in aliis autem mensibus nihil auferetur. (49:) Si etiam post divisionem omnium annorum Graecorum per 28 nihil remaneret, tunc ad ultimam lineam descendendo oporteret intrare, faciendo sicut iam dicebatur.
    (Ap65) Et si hoc idem per annos Christi (50b): docet invenire feriam ingressus cuiuslibet mensis Christi vel Latinorum, sic: Annis domini imperfectis, puta 1291, subtrahe 25, et numerum residuum per 28 dividens, residui simile in prima linea tabulae quaeras; e directo cuius, sub mense cuius velis initium, notam capias, et illa tibi dicet feriam ingressus mensis. Sed mensem ibi quartum in ordine, scilicet Ianuarium, primum dices; et cum ferias omnium mensium a Ianuario usque ad finem tabulae versus dexteram inveneris, ad menses ante Ianuarium stantes revertaris, ad +unam+ lineam descendendo.
    Verbi gratia, ab annis domini cum anno imperfecto, qui sunt 1291, diminutis 25, et residuo per 28 diviso, remanent 6; cum quibus tabulam intra, accipiens sub quocumque mense velis a Ianuario versus dexteram notam feriae, in qua mensis ille ingreditur sub quo eam accepisti. -- Duo enim inventa sub Ianuario ostendunt Ianuarium in secunda feria incipere, id est, primum diem anni imperfecti fore secundam feriam; Februarius etiam, habens notam quinarii, in quinta feria ingreditur, et Martius similiter, Aprilis autem in prima feria, Maius in tertia, Iunius in 6'a, Iulius in prima, Augustus in 4'a, September in 7'a.
    (Ap66) October autem, November et December non accipientur e directo anni sexti, sed descendendo e directo septimi. Totum tamen erit sexti anni: October enim non in prima feria, sed in secunda in illo anno sexto ingredietur; et November in quinta, non in quarta, et December in 7'a, non 6'a, habent initia.
    Si autem, sicut dixi in capitulo praecedenti (:Ap64), annus bissextilis fuerit, sicut anni domini 1292, tunc notae Ianuarii unum tollas, et residuum ostendet feriam ingressus mensis; et similiter facias cum nota Februarii. -- Si autem, sicut et prius dicebam, post divisionem factam per 28 remanserit nihil, tunc ad ultimam lineam, scilicet e directo 28 annorum, intra, initia mensium a Ianuario usque ad Septembrem inclusive modo quo prius accipiendo; sed tunc initia aliorum trium mensium e directo primi anni in capite tabulae inquiras. Et hoc notetur bene, quia alias decipieris.
    (Ap67) Si autem qua feria quisque mensis Arabum (51a-b): docet aliter quam prius, per secundam tabulam, in qua feria quisque mensis ingreditur. Quod fiet per hunc modum: annis Arabum perfectis imperfectum addens, productum, scilicet 690, per 210 dividatur, et remanebunt 60 anni; quorum simile in tabula, quae intitulatur "Tabula ad sciendum qua feria unusquisque annus atque mensis Arabum ingreditur" (AD12), quaeras in linea prima versus sinistram; et eum praecise inveniens, e directo eius sub unitatibus -- id est in proxima linea versus dexteram, in cuius capite ponitur cifra -- notam ternarii accipiens, ei notam mensis de quo velis adicias; et aggregatum feriam mensis, cuius notam notae primae addidisti, ostendet.
    Verbi gratia, cum e directo 60 in prima linea inveneris notam ternarii in proxima linea unitatum, eidem ternario, quod est e directo primi mensis in tabula mensium, scilicet unum, aggreges, et aggregatum, scilicet 4, ostendet tibi primum mensem in 4'a feria ingredi in illo anno imperfecto, et cetera. -- Et istum processum ponit auctor usque ibi Si vero in eisdem lineis: iste enim primus processus supponit quod numerus annorum remanentium post divisionem factam per 210 praecise in prima linea tabulae inveniatur.
    (Ap68) In secundo autem processu dicit auctor quod, si numerum remanentem post divisionem factam per 210 in linea prima non inveneris, tunc minorem, propiorem tamen, quaeras, et e directo eius sub differentia eius, scilicet numeri cum quo intras, et numeri remanentis post divisionem, notam sumas.
    Ad quod intellegendum est, si numerus annorum Arabum per 210 dividatur, aut resultat digitus aut articulus aut numerus compositus. -- Si articulus, tunc operaberis sicut dictum est in processu primo. -- Si digitus, sic numerus annorum istorum in superiori parte tabulae quaeretur, quae pars tabulae intitulatur "Numerus annorum Arabum expansorum in decem", et immediate sub illo numero est nota quam quaeris; cui addas notam mensis cuius volueris, et cetera. Verbi gratia, si post divisionem omnium annorum per 210 remanerent 7, tunc in capite tabulae sub 7 acciperem notam Februarii, cui addendo notam mensis primi, scilicet unum, haberetur initium mensis primi eiusdem 7'i anni; et sic de aliis. -- Si vero post divisionem factam per 210 remaneret numerus compositus, puta 65, cum omnis numerus compositus constet ex articulo et digito, tunc e directo articuli in prima linea, quae augmentatur per decem, scilicet e directo 60, descendendum esset sub digito, scilicet sub 5; et tunc in angulo communi invenirentur 2, quod est nota quaesita; cui addendo notam mensis, de quo velles, intentum obtineres. -- Sic credo tabulam esse intellegendam.
    Et tunc in fine capituli (51b) recapitulat et continuat se ad dicenda.

------------------

(Ap69) Cum cuiuslibet gradus etc. (52-126): superius usque nunc determinavit auctor de diversis apud diversos temporum rationibus; hic autem determinat de ipso motu, cuius motus ipsum tempus est passio vel mensura. Et facit duo, quoniam primo (52-66) determinat de ipso mobili, cuius motus hic intentus est passio, quantum ad diversas eius partes, quae sunt kardagae, sinus et declinationes, et secundo (67-126) de hiis quae per haec inveniuntur, Cum latitudinem cuiusque regionis. -- In tota prima parte determinat de kardagis et eas consequentibus, scilicet de sinibus et declinationibus. Et facit 2, quia primo (52-59) determinat de hiis calculando per regulas, et secundo (60-66) docet idem per tabulas, ibi Cum autem idem volueris per tabulas. -- Primo facit 2, quia primo (52-57) per kardagas et portiones circuli datas docet invenire earum sinus et declinationes, et secundo (58-59) docet huius conversam, cum dicit Cum vero sinus aequalis. -- Adhuc circa primum facit duo, quia primo (52-55) per portionem docet invenire sinum et declinationem aequalem et rectam, et secundo (56-57) per portionem datam docet invenire eius sinum versum, ibi Si autem sinum volueris versum. -- Adhuc ostendit primo (52), cum quo <argumento> hic operandum est, et secundo (53-55), quomodo cum illo est operandum, cum dicit Operaberis autem sic.
    (Ap70) Circa primum (52-53) notandum est, quid sit kardaga, quid portio, quid sinus rectus et quid sinus versus, et quid argumentum, et quid sit declinatio.
    (Ap71) Kardaga, sicut dicitur in littera (:53), est portio 15 graduum.
    (Ap72) Circuli portio autem dupliciter dicitur, scilicet proprie et improprie portio.
    Proprie dicta quaedam est recta, quaedam versa. Portio proprie et recta est pars circuli ab aliquo puncto noto incipiens secundum successionem signorum. Portio vero versa et proprie est pars circuli ab aliquo puncto noto incipiens contra successionem signorum. -- Verbi gratia, pars circuli incipiens ab ariete, quod est punctum circuli notabile, terminata in fine tauri vel in medio eius, dicitur portio recta et proprie; pars vero eiusdem circuli, incipiens in fine geminorum, quod est etiam punctum notabile, terminata in fine vel alicubi in tauro vel ariete, <dicitur portio versa et proprie.>
    Portio etiam improprie dicta dicitur pars et recta et versa: recta, sicut portio ubicumque incepta infra puncta terminantia signum aliquod vel 4'am circuli, delata secundum successionem signorum; versa autem, delata contra successionem signorum. -- Exemplum de primo, ut portio vel pars circuli incipiens in 20'o gradu tauri et terminata ubicumque alibi <post>; exemplum de secundo, ut pars circuli incipiens in 20'o gradu tauri, terminata ubicumque alibi ante.
    (Ap73) Consimiliter, quia sinus relative dicitur ad portionem, ideo etiam consimiliter sinus dicitur proprie et improprie, rectus et versus.
Sinus rectus proprie est medietas chordae portionis duplicatae. Sinus versus est pars diametri chordam orthogonaliter secantis: pars, dico, cadens inter chordam et arcum. -- Exemplum de utroque: sit portio PC, cuius duplum est XPC, cuius dupli chorda XNC, cuius medietas est NC: haec enim chorda per diametrum AOP divisa est orthogonaliter super eam cadentem; NC igitur est sinus rectus portionis PC. Pars autem diametri AOP cadens inter N et P est sinus versus eiusdem portionis.
    Omnes igitur lineae primae 4'ae, orthogonaliter cadentes super diametrum AOP, sunt proprie sinus recti portionum inceptarum ab ariete et terminatarum in puncto contactus lineae eiusdem cum arcu; partes autem diametri, cadentes inter P et puncta contactuum linearum denotantium sinus rectos cum ipsa diametro, <sunt proprie sinus versi.> -- Ut portionis PD sinus rectus est MD et versus MP, portionis PQ sinus rectus est QL et versus LP, et sic de aliis.

(Fig.: A,73v)

Unde ex dictis iam sequitur quod sinus versus potest esse tota diameter, sinus autem rectus solummodo medietas diametri vel semidiameter tota: cum enim diameter est maior chorda in toto circulo, cum transit per centrum, et sinus semper est medietas chordae, ideo maximus sinus rectus est semidiameter circuli.
    Sinus etiam improprie dicitur et rectus et versus sicut et portio. Portio enim CD improprie dicitur portio, sicut dictum est, respectu cuius etiam sinus dicitur improprie, et rectus et versus: rectus puta ZD, versus ut ZC. Et utroque istorum modorum loquitur auctor hic de sinu, quia tam proprie quam improprie.
    (Ap74) Ex dictis patet quod in una 4'a circuli, puta in portione BF, sunt 6 kardagae, quia 3 signa: duae autem kardagae valent unum signum, quia, sicut dictum est (:53), kardaga est portio circuli ex 15 gradibus constans. -- Unde hic notandum est quod, cum secundum auctorem istum et ad placitum suum tota diameter posita est esse 300 minutorum, semidiameter erit 150 minutorum.
    Item, cum simile est de una 4'a circuli et de qualibet alia, auctor, tradens artem inveniendi omnium portionum sinus tam rectos quam versos, una sola 4'a est contentus, quia, quantus est sinus rectus PE vel PD, tantus est sinus rectus GA vel HA, et de sinu verso similiter. Et sic de aliis quartis, quia sinus diversarum kardagarum, aequaliter a puncto coniunctionis duarum quartarum distantium, necessario sunt aequales, quia ambo sunt chorda mediata per diametrum. Unde, si imaginemur totum circulum plicari -- puta quod medietas AFB supra medietatem aliam oppositam cadat -- C supra X et D supra Y directe cadent, et sic de aliis; et ideo portiones PC et CD et earum sinus recti proportionales sunt et aequales portionibus PX et XY et earum sinibus rectis. Item, si imaginemur 4'am AGF cum quarta sibi supposita replicari supra FEB: et sic supposita A directe cadet supra B, V supra C, H supra D, et sic consequenter, et per consequens kardagae superiores coaequabuntur inferioribus.
    (Ap75) Sinus autem kardagarum recti sic accipiuntur, quia, cum totus sinus rectus positus sit esse 150 minutorum, sinus primae kardagae demonstratus est esse 39 minutorum, modico minus; et propter difficultatem operis accipitur esse praecise 39 minutorum. Sinum autem rectum primae kardagae esse 39 minutorum intellegi oportet sic quod, quanta pars sunt 39 de 150, tanta portio est linea exiens a quintodecimo gradu arietis, orthogonaliter cadens supra diametrum, de tota semidiametro. -- Sinus autem rectus secundae kardagae est 36 minutorum. Et accipitur sinus improprie, quia secunda kardaga non est proprie portio; sed secunda kardaga cum prima est proprie portio, et utriusque simul proprie est sinus; et est utriusque sinus rectus 75 minutorum. Unde, quando minuta sinuum duarum vel plurium kardagarum simul sumuntur, tunc dicuntur "minuta universitatis sinus" tot kardagarum.
    Item notandum quod, quantus est sinus rectus primae kardagae, tantus est sinus versus sextae, et e converso; et quantus est sinus rectus 2'ae, tantus est sinus versus 5'ae; et quantus est sinus rectus <3'ae>, tantus est sinus versus <4'ae>, et e converso etiam.
    Et haec de imaginatione sinuum dicta sint, sine praeiudicio melius imaginantis.
    (Ap76) Argumentum hic accipitur quaecumque portio maior vel minor, cuius quaeris sinum. Unde omne argumentum est portio et non e converso; item omnis kardaga est portio et non e converso; sed nec omne argumentum est kardaga, nec omnis kardaga est argumentum.
    (Ap77) Hiis visis videndum est aliquid de declinatione. Est autem declinatio elongatio ab aequinoctiali, vel in meridiem vel in septentrionem. Declinatio autem est imaginanda sub forma arcus, sinus autem per dicta sub forma lineae.
    (Ap78) Hiis visis dicit canon (52) quod, cum sinum rectum alicuius portionis, vel declinationem alicuius portionis, scire volueris, tunc omnes gradus ab ariete in gradum terminantem portionem illam, gradum illum annumerando, computa, et numerus graduum vocabitur argumentum. Per quem quod velis invenies, hoc modo, quia, si numerus illorum graduum, vel si argumentum illud, quod idem est, fuerint minus quam 3 signa, tunc cum illo eodem operaberis sicut dicetur statim post; si autem argumentum illud plus fuerit quam 3 signa et minus quam 6, tunc totum argumentum subtrahas de sex signis, et cum residuo operaberis eodem modo sicut si totum esset minus tribus signis; si autem argumentum fuerit plus 6 signis et minus quam novem, remotis ab eo 6 signis cum residuo ut prius operaberis; si etiam plus fuerit quam 9 et minus quam 12, totum de 12 demas et cum residuo operaberis. -- (53:) Operaberis autem in omnibus istis casibus eodem modo, et semper cum eo quod est minus tribus signis, quia cum 3 signis integris sine omni operatione pro sinu recto accipiendus est totus sinus rectus, qui est 150 minutorum.
    (Ap79) Operaberis autem isto modo (53-55), et sit argumentum, cuius velis sinum, 54 graduum, scilicet ad 24'm gradum tauri. Pro unoquoque, sicut dicit, signo huius argumenti, scilicet pro toto ariete, accipias numerum minutorum duarum kardagarum, scilicet primae et 2'ae, quae sunt 75 m'a, et tunc de argumento remanent 24 gradus; pro quorum 15 gradibus minuta tertiae kardagae, scilicet 31, prioribus minutis adde, et erunt minuta universitatis 3 kardagarum, id est 45 graduum, 106 minuta, et remanent de toto argumento 9 gradus, quorum oportet sinum habere. Illud autem residuum si esset 15 graduum, id est una kardaga perfecta, iam pro eis ad minuta universitatis 3 kardagarum addere oporteret m'a 4'ae kardagae; cum igitur residuum illud minus est quam 15 gra, et cum 24 m'a sunt totus sinus omnium 15 graduum ut sunt in 4'a kardaga, ideo illorum 24 minutorum tantam oportet partem invenire, quanta pars 9 gra sunt de 15 gradibus.
    (Ap80) Hic igitur sunt 3 mihi nota, scilicet integra kardaga, et 9 gra qui sunt pars kardagae, et 24 m'a quae sunt sinus totius kardagae 4'ae. Per haec 3 4'm sic invenietur, quia universaliter, quando habes alicuius totius partem, et totum ipsum, et illius totius proportionale vel aliquid quod debetur illi toti, tunc totum ipsum, cuius habes partem, notes primum, et partem ipsam secundum, et proportionale toti tertium. Postea secundum multiplica per tertium vel e converso, et productum divide per primum; et exibit quaesitum, quod sic se habet ad suum totum, scilicet ad tertium, sicut secundum ad primum; et illud quartum debetur secundo sicut tertium primo.
     (Ap81) Per hoc ad propositum: 15 gradus, scilicet 4'a kardaga, est totum quoddam respectu novem graduum; et 24 minuta sunt sinus correspondens toti kardagae 4'ae; 15 igitur gradus erunt primum, 9 gradus 2'm, et 24 m'a tertium. Multiplica igitur secundum per 3'm et productum divide per primum, et exibit quartum de quo quaeritur. Et quia secundum est in gradibus, 3'm autem in minutis, ideo secundum, scilicet 9 gradus, oportet ad minuta reducere, ut uniformis fiat operatio: fiunt autem 9 gradus m'a multiplicando eos per 60, et erunt m'a 540 in 9 gradibus; et istud est 2'm, quod per 3'm multiplicabis. Multiplicatis igitur 540 per 24 exibunt 12960, quae sunt 2'a; et quare mutetur denominatio, postea dicetur. -- Totum igitur hoc productum ex multiplicatione secundi per tertium divide per primum, scilicet per 15 gradus; et vult auctor quod hoc etiam facias per m'a 15 graduum, quae sunt 900. Diviso autem producto primo per 900, quae sunt m'a tertii, scilicet 15 graduum, exibunt 14 in numero quotiens, quae sunt m'a; et remanent 360 s'a, quae quia ulterius per m'a 15 graduum dividi non possunt, per 15 gradus dividantur, et exibunt 24 s'a. 14 igitur m'a et 24 s'a sunt pars proportionalis 24 minutorum sinus totius 4'ae kardagae ad 9 gradus 4'ae kardagae; quae m'a et s'a supra m'a universitatis sinus trium kardagarum addens, habebis sinum rectum argumenti quaesiti, scilicet 54 graduum.
     (Ap82) Istud facilius fiet, sic: multiplica secundum, sicut est, in 3'm, scilicet 9 gradus in 24 m'a, et exibunt m'a scilicet 216; quibus divisis per 15 gra exibunt 14 m'a, et remanent 6 m'a; quae quia per 15 dividi non possunt, ea, scilicet 6, in secunda reducas multiplicando ea per 60, et erunt 360 2'a; quae modo sicut prius dividas per 15, et exibunt praecise 24 2'a, quod est propositum.
    (Ap83) Hoc igitur modo sinus portionis quaeratur, sive fuerit portio vel argumentum minus 90 gradibus vel 3'bus signis sive plus. -- Et semper portionis propositae sinus rectus erit quaesitus: si enim argumentum tuum vel portio esset tale praecise sicut proponebatur a principio, sinus quaesitus esset suus sinus rectus; si etiam argumentum tuum esset 4 signorum et 6 graduum, idem esset sinus illius totius; si etiam esset 7 signorum et 24 graduum, adhuc idem esset suus sinus rectus; si etiam argumentum esset decem signorum et 6 graduum, adhuc etiam idem esset sinus suus rectus, qui inventus est, scilicet 120 m'a et 24 2'a.
    (Ap84) Eodem modo operandum de declinatione; sed operandum est cum kardagis declinationis (54). Unde notandum quod auctor hic supponit totam declinationem solis esse 24 graduum praecise; quod tamen falsum est, ut infra (:?) videbitur, domino concedente. Et quia 24 gradus valent 1440 m'a, ideo ponit totam declinationem rectam esse 1440 minutorum.
    Unde, si declinationem rectam portionis alicuius, puta 49 graduum, velis, tunc sicut in sinibus (:53) de primo signo capias m'a declinationis duarum kardagarum, quae sunt 703, et pro 15 gradibus residui accipe m'a declinationis tertiae kardagae, quae sunt 299, quibus ad priora additis habebis 1002 m'a universitatis declinationis 3 kardagarum. Deinde, quia in argumento remanent 4 gradus, quae sunt pars 4'ae kardagae, pro eis operare sicut in sinibus, quia pro declinatione 4 graduum 4'ae kardagae accipies tantam partem de minutis declinationis 4'ae kardagae, quae sunt 236, quanta pars sunt 4 gradus de 15, et erunt 62 m'a et 56 2'a praecise; quibus additis ad m'a universitatis declinationis 3 kardagarum, id est 45 graduum, habebis m'a declinationis totius argumenti propositi, scilicet 1064 et 56 2'a. Quae, sicut dicit auctor (54), reduc ad gradus, et sic erunt 17 gra 44 m'a et 56 2'a.
    (Ap85) Si igitur (55) velis scire utrum sinus, inventus prius, vel declinatio, modo inventa, sit meridiana vel septentrionalis, videas argumentum sinus vel declinationis; et quia utrumque est minus 6 signis, ideo tam sinus primo inventus quam declinatio modo inventa est septentrionalis.

(Ap86) Si autem sinum volueris versum (56-57): docet satis breviter invenire portionis datae sinum versum vel declinationem versam. Et facit duo: primo enim (56) docet invenire sinum versum vel declinationem versam portionis minoris 90 graduum, et secundo (57) maioris, cum dicit statim post Sciendum est etiam.
    (Ap87) Primo (56) <dicit> quod ad inveniendum sinum versum portionis datae eodem modo operandum est sicut in inventione sinus recti, sed hic incipiendum est ab ultima kardaga, quae est 6'a; cuius causam dicam statim post inventionem sinus hic.
    Sit igitur portio 54 graduum, cuius velis sinum versum invenire. Tunc pro 30 gradibus, quod est unum signum, accipe numerum minutorum sinus sextae et 5'ae kardagarum, quae sunt 20, quia sinus sextae est 5 m'a, sed quintae 15. Deinde pro 15 gradibus 24 residuorum accipe m'a sinus 4'ae kardagae, scilicet 24, addens ea prioribus; et erunt minuta universitatis trium kardagarum, scilicet sextae, quintae et quartae, 44. Deinde pro 9 gradibus remanentibus de argumento accipe de 31 m'is tertiae kardagae tantam partem, quanta pars 9 sunt de 15, eo modo quo supra, multiplicando secundum per 3'm et dividendo productum per primum; et exibunt post operationem 18 m'a et 36 2'a, quae cum prioribus faciunt 64 m'a et 36 2'a, et iste est sinus versus 54 graduum propositorum.
    Causa autem, quare ab ultima kardaga incipiendum est, haec est, quia ipse vult nos semper operari cum sinu recto; et ideo, cum, quantus est sinus rectus sextae kardagae, tantus est sinus versus primae, et quantus est sinus rectus 6'ae et 5'ae, tantus est sinus versus primae et secundae, et sic deinceps -- et ideo volens habere sinum versum primae kardagae accipere debet sinum rectum sextae; volentem igitur sinum habere versum portionis inceptae ab ariete oportet accipere sinum rectum tantae portionis inceptae a fine sextae kardagae illius 4'ae.
    (Ap88) Sciendum est etiam etc. (57): docet invenire sinum versum portionis maioris quam 90 gradus. Dicit igitur quod, cum volueris sinum versum, et argumentum vel portio data fuerit a 3 signis in 6, id est maior quam tria signa et minor quam 6, tunc pro 3 signis, scilicet pro 6 kardagis, accipias sinum totum, quia sex kardagarum sinus tam rectus quam versus est totus sinus rectus, id est 150 minuta; et cum residuo argumenti operare sicut in inventione sinus recti, et quod inveneris pro sinu recto residui argumenti, addas supra sinum totum, id est trium signorum, et habebis sinum versum portionis datae.
    Verbi gratia, esto quod portio, cuius velis sinum versum, sit 4 signa et 24 gradus. Tunc pro 3 signis accipe sinum rectum totum, scilicet 150 m'a; deinde cum uno signo et 24 gradibus operare ut supra, accipiendo scilicet pro 45 gradibus, scilicet 3 kardagis, m'a sinus trium kardagarum, qui est 106 m'a, et ea super priora 150 addas, et erunt 256. Postea vero cum residuis 9 gradibus fac sicut supra, et invenies de sinu 4'ae kardagae 14 m'a et 24 2'a; quae supra prius extracta addens habebis totius portionis datae sinum versum, scilicet 270 m'a et 24 2'a.
    Et addit auctor in fine capituli quod in sinu recto non invenies ultra sinum trium signorum, et ultra sinum 6 signorum non in sinu verso; quorum utriusque causa superius dicebatur (:Ap73).

(Ap89) Cum vero sinus aequalis volueris scire portionem (58-59): docet conversam capituli primi vel praecedentis: docet enim per sinum datum portionem eius invenire. Et facit 2, quia primo (58) docet sinus dati invenire portionem rectam, et secundo (59) versam, in fine capituli, Et si volueris portionem versam.
    (Ap90) Primum (58) docet sic: de sinu dato demas 39, quae sunt m'a primae kardagae, et pro illis accipe portionem 15 graduum; deinde de residuo, si possis, demas 16 m'a, quae sunt sinus 2'ae kardagae, et pro illis etiam accipe portionem 15 graduum; et sic facias, quamdiu succedentium sibi kardagarum sinum possis de sinu toto proposito subtrahere. Et addit auctor quod, si remanserint m'a non perficientia kardagam, tunc ea extende, multiplicando scilicet ea, in 15 vel in 900: hoc est dictu, multiplica ea per 15 gradus integrae kardagae, vel per 900, quae sunt m'a 15 graduum; et in multiplicatione prima exibunt m'a, et in secunda exibunt 2'a. Et illud divide per m'a imperfectae kardagae, scilicet quae erant in sinu dato ultra sinus kardagarum perfectarum, et gradus exeuntes in fine operationis addas supra portionem prius acceptam; et si post divisionem perfectam per m'a imperfectae kardagae aliquid dividendum remanserit, ipsum extensum per 60 iterum per eadem m'a imperfectae kardagae dividas; et m'a exeuntia supra portionem prius inventam in gradibus addens habebis gradus et m'a quae sunt portio circuli sinus dati.
    (Ap91) Exemplum de isto: esto quod sinus datus fuerit 120 m'a et 24 2'a; ex quo demas 39 m'a, quae sunt sinus primae kardagae, pro quibus in pulvere scribas 15 gradus. Deinde de residuo sinus dati, scilicet de 81 m'is et 24 2'is, 36 m'a, quae sunt sinus secundae kardagae, subtrahens, pro eisdem ad gradus prius acceptos 15 addas, et habebis portionem signi unius integri. Deinde adhuc de residuo sinus dati, scilicet de 45 m'is et 24 s'is, 31, quae sunt m'a sinus tertiae kardagae, demens, pro illis ad gradus prius extractos 15 etiam addas, et habebis portionem 45 graduum, et tunc de sinu dato remanent 14 m'a et 24 2'a; quae non perficiunt integram kardagam, quia 4'a kardaga habet pro sinu 24 m'a.
    Quanta igitur portio sunt 14 m'a et 24 2'a de 24 m'is, qui est sinus totus 4'ae kardagae, tantam portionem oportet invenire de 15 gradibus. Sinus igitur totus 4'ae kardagae erit primum; m'a autem et 2'a residui sinus dati, scilicet 14 et 24 2'a, erit 2'm, et integra kardaga, scilicet 15 gradus, erunt 3'm. Et quia secundum debet multiplicari per 3'm, ideo, cum in secundo sunt fractiones diversorum generum, scilicet m'a et 2'a, reduc totum ad 2'a, multiplicando 14 m'a per 60 et ad productum 24 2'a addendo, et erunt in toto 864, quae sunt 2'a non perficientia kardagam. Haec igitur 2'a multiplicans per 3'm, scilicet per 15 gradus, habebis in secundis 12960; quae dividas per primum, scilicet 24, quae sunt m'a sinus totius 4'ae kardagae, et exibunt m'a 540; quae quia sunt portio circuli, scilicet pars 4'ae kardagae, extrahas ab eis gradus quot possis, scilicet dividendo per 60, et habebis praecise 9 gradus, qui cum prius inventa portione faciunt 54 gradus. Quod est propositum, scilicet portio sinus primo dati, scilicet 120 minutorum et 24 secundorum.
    (Ap92) Si autem sinus datus minor esset quam sinus primae kardagae, tunc eodem modo oporteret operari pro invenienda eius portione, sicut modo docebatur invenire portionem minutorum non perficientium kardagam. -- Et notandum quod per artem hic traditam iam ultimo bene invenitur cuiuslibet sinus portio, sed utrum portio illa computanda sit incipiendo ab ariete vel a principio alicuius alterius 4'ae, per hoc non habetur, nec de hoc etiam curandum quantum ad id quod auctor per hoc intendit, scilicet composi- tionem tabularum inferius (cf. Ap557).
    (Ap93) Et si volueris portionem versam (59): docet sinus dati invenire portionem versam. Invenire autem portionem versam alicuius sinus est invenire portionem habentem tantum sinum versum, quantus est sinus propositus, computatam a principio primae kardagae; vel portionem habentem tantum sinum rectum, computatam a fine sextae kardagae. Et istud ultimum sonant verba litterae, quamquam utraque portio eiusdem est quantitatis necessario. -- Et dicit auctor quod in hoc opere numerandae sunt kardagae a fine earum, et consimiliter operandum est ut prius.
    Verbi gratia, breviter: sit sinus datus 120 m'a et 24 2'a. Sinum ergo rectum ultimae kardagae, scilicet 5 m'a, de toto sinu deme et pro illis 15 gradus accipe, scilicet totam 6'am kardagam. Deinde de residuo 15 m'a demas et pro illis 15 gradus prioribus addas; item de residuo 24 m'a demas et, pro illis, gradibus addas 15; item de residuo 32 demas et pro illis 15 gradus gradibus addas; item adhuc de residuo minutorum sinus 36 demas et, pro illis, 15 gradibus addas; et habebis portionem 75 graduum. Deinde, quia de sinu toto remanent 9 m'a et 24 2'a, pro illis operare ad inveniendum partem proportionalem similiter de 15 gradibus; et quia residuum est pars sinus kardagae primae, ideo sinus totus kardagae primae erit primum, et hoc residuum secundum, et 15 gradus 3'm. Duc ergo secundum in 3'm, et productum divide per primum, et exibunt in fine operationis et aequationis factae 3 gra et 37 m'a fere; quos et quae ad portionem prius acceptam addens habebis 78 gra et 37 m'a fere, quae sunt portio versa sinus ab initio propositi.
    (Ap94) Et advertendum est hic diligenter quod, cum multiplicas fractionem per fractionem, coniungantur denominatores, et productum ostendet genus fractionis exeuntis. Verbi gratia, si multiplices 2'a per 3'a vel e converso, coniunge digitos a quibus istae fractiones denominantur, puta duo et 3, et exibunt 5: post multiplicationem igitur secundorum per 3'a, vel e converso, 5'a exibunt, et sic de aliis. Cuius ratio est quia multiplicatio est quaedam additio: sicut igitur ex additione duorum ad 3 vel e converso resultant 5, sic et cetera. -- Sed scias quod in genere fractionis primae sunt minuta: gradus enim non vocantur fractiones, quia mathematicus fractiones vocat partes sexagesimas cuiuslibet portionis divisae; gradus autem sunt partes tricesimae signi divisi, et signum 12'a totius zodiaci, vel alicuius alterius circuli divisi saltim pro portione. -- Item, cum dividitur fractio per fractionem, si velis scire quae fractio, vel si integra, remaneat, subtrahe denominatores unum ab alio, et residuum ostendet fractionem exeuntem in numero quotiens post divisionem. Verbi gratia, si dividantur 3'a per 2'a, exibunt in numero quotiens m'a, quia subtrahendo 2 de 3 remanet unum, a quo quoquomodo denominatur minutum. Si etiam dividantur 3'a per 3'a vel 2'a per 2'a et sic de aliis, semper exeunt integra, scilicet gradus, quia subtrahendo 3 de tribus vel 2 de duobus nihil remanet; et hoc bene notes.

(Ap95) Cum autem hoc idem volueris per tabulas (60-66): docet per tabulas invenire cuiuslibet portionis datae sinum (60-63) vel e converso (64-66). Et primo docet primum, et facit 2: primo enim (60-61) docet per tabulas invenire sinum rectum portionis datae, et secundo (62-63) versum, ibi Si vero sinum eius volueris versum. -- Primo adhuc (60) docet invenire sinum rectum portionis cuiuslibet in gradibus praecise existentis, et secundo (61), si ultra gradus habeat minuta vel secunda vel utrumque, cum dicit Si autem cum argumento fuerint minuta.
    (Ap96) Primo (60) dicit <quod, cum hoc> idem, scilicet sinum rectum portionis datae, volueris per tabulas invenire, tunc simile argumenti, id est portionis datae, quaere ad tabulas sinus et declinationis (BA11), in quibusdam scilicet primis versus sinistram, quae intitulantur "lineae numeri"; et id quod in directo tot graduum et signorum, quot sunt in portione data, inveneris de aequatione sinus, <sume>, si ad sinum feceris, vel declinationis, si ad declinationem feceris; et illud erit sinus vel declinatio portionis datae.
    Verbi gratia, sit portio, cuius sinum velis vel declinationem, 45 graduum. Cum tot gradus valent unum signum et 15 gradus, quaeras in lineis numeri ad tabulas memoratas unum signum et 15 gradus, et invenies de aequatione sinus, vel de sinu, sub linea aequationis sinus 106 m'a 3 2'a et 57 3'a, et iste est praecise sinus portionis 45 graduum. Item e directo eorundem graduum et unius signi invenies in linea aequationis declinationis 16 gradus 26 m'a et 49 2'a, quod est declinatio tot graduum propositorum.
    (Ap97) Et nota quod tabula crescit per unum gradum, ita quod, quantus est sinus unius gradus, tantum in minutis, secundis et tertiis ponitur e directo unius gradus, et declinatio eius similiter; et quantus est sinus duorum graduum, tantum ponitur e directo 2 graduum, et eorum declinatio similiter; sed sinus ponitur in minutis, 2'is et 3'is, declinatio autem in gradibus et minutis et secundis.
    Item nota quod quia, quantus est sinus vel declinatio unius gradus, vel potius finis primi gradus, arietis, tantus est sinus vel declinatio finis 29'i gradus piscium; et similiter quia, quantus est sinus vel declinatio finis 2 graduum arietis, tantus est sinus vel declinatio 28'i gra piscium -- quod totum manifestum est per dicta circa figuram sinuum (:Ap74) -- ideo idem sinus ponitur e directo unius gradus et 11'i signi cum 29 gradibus, et declinatio <similiter>; et sic consequenter de aliis, sicut manifestum est +videres+ ordine et processu tabularum dictarum.
    (Ap98) Si autem cum argumento fuerint m'a (61): docet consequenter invenire sinum vel declinationem portionis habentis ultra gradus fractiones. Et dicit quod, si cum argumento, id est portione cuius quaeris sinum vel declinationem, fuerint m'a, vel, supple, aliae fractiones, tunc iterum, scilicet post ingressum primum cum gradibus integris, easdem tabulas cum eodem argumento intra, uno gradu addito, et in directo numeri secundi introitus accipe in linea aequationis sinus quod inveneris, si velis de sinu, vel declinationis, si de ea quaeris; et primae aequationis et secundae vide differentiam, subtrahendo scilicet unam ab alia; quam debes per fractiones argumenti multiplicare et productum dividere per 60, et exibit pars proportionalis in minutis; si etiam post divisionem aliquid remanserit, erit numerus secundorum. Quae scilicet m'a et secunda addenda sunt primae aequationi, si illa minor fuerit quam secunda, vel subtrahenda sunt a prima, si prima maior fuerit quam secunda; et quod post additionem vel subtractionem fuerit, est sinus vel declinatio argumenti vel portionis datae.
    (Ap99) Verbi gratia, esto quod argumentum tuum sit 4 signa 10 gra et 20 m'a. Intra igitur tabulas praedictas, quaerendo 4 signa et 10 gradus, scilicet in 5'a tabula et per primam partem capituli, <et accipias> quod e directo eius fuerit de aequatione sinus, de qua loquitur ad praesens, et invenies 114 m'a 54 2'a et 25 tertia. Deinde intra secundo eandem tabulam, uno gradu addito, scilicet ad 4 signa et 11 gradus, et e directo accipias etiam de aequatione sinus, et invenies 113 m'a 12 2'a 25 tertia. Unde, quia portio data nec erat praecise 4 signa et 10 gra nec praecise 4 signa et 11 gra, ideo nec erit sinus primus nec secundus praecise sinus portionis datae. Unde quaere differentiam unius aequationis ad alteram, subtrahendo minorem de maiori, quo facto remanebit unum minutum et 42, quod est differentia ambarum aequationum.
    Et quia istud est sinus illius gradus, cum quo ultra gradus portionis datae secundo intrasti, ideo huius parvi sinus tantam oportet partem invenire, quanta pars de uno gradu sunt illa 20 m'a quae fuerunt in portione data primo ultra gradus. Cum igitur totus iste parvus sinus est sinus correspondens uni gradui praedicto, et cum 20 minuta sunt pars unius gradus vel 60 minutorum, sicut se habet unus gradus vel 60 minuta ad 20 minuta, sic sinus ille parvus se debet habere ad quandam partem sinus, quae mihi est adhuc ignota. -- Per dicta igitur supra, 60 m'a unius gradus erunt primum, et 20 m'a secundum, et sinus praedictus 3'm; duc ergo secundum in tertium et productum divide per primum, et exibit quartum, quod est quaesitum. Reduc igitur sinum illum primum ad 2'a totum, et erunt 102; quae multiplices per 20 m'a, et exibunt 3'a scilicet 2040; quibus divisis per 60 m'a exibunt 34 s'a solum, et haec est pars proportionalis ad totum sinum parvum secundum proportionem 20 minutorum ad unum gradum. Et haec est illa pars proportionalis, de qua auctor loquitur; quam addas ad aequationem sinus primo inventam, si minor fuerit prima quam secunda, <vel subtrahas si maior>. Et constat quod prima est maior: tot igitur secunda, 34, de aequatione prima demas, et remanebit sinus praecisus portionis datae, et erit 114 m'a 20 2'a et 25 tertia.
    (Ap100) Eodem modo oportet facere de declinatione; sed consulo quod, cum quaesieris declinationem, semper intres ad tabulam Almeonis (BA21), quae poni solet in fine vel circa finem tabularum omnium. -- Item nota quod, cum intras tabulas sive ad sinum sive ad declinationem, si cum portione minore quam 3 signa, semper primus introitus erit minor secundo, et si cum maiori intres usque ad 6 signa, erit e converso.
    (Ap101) Si vero sinum eius volueris versum (62-63): docet invenire cuiuslibet portionis sinum versum. Et facit duo, quia primo (62) docet invenire sinum versum cuiuslibet portionis minoris quam 90, et secundo (63) maioris, cum dicit Si autem fuerint plures 90.
    (Ap102) Dicit igitur (62) quod, si volueris sinum versum portionis in qua sunt gradus pauciores 90, tunc eos de 90 subtrahe, et residui simile in lineis numeri (BA11) quaere, et sinum eius vel declinationem suscipe cum aequatione minutorum, aequando scilicet pro minutis quae forte sunt cum argumento ultra gradus, quod fit sicut prius docebatur (:61); et eundem sinum inventum per aequationem, intrando tabulas illas si necesse sit, de 150 minutis, id est de toto sinu recto, minue; et quod remanserit erit sinus quaesitus versus portionis datae. Cum enim subtraxeris portionem datam de 90 gradibus, cum residuo sicut prius operaberis, nec oportet iterum repetere. -- Et addit quod consimiliter faciendum esset, si declinationem quaereres.
    (Ap103) Si autem plures fuerint 90 (63): docet invenire sinum <versum> portionis cuiuslibet maioris 90 gradibus. Et dicit breviter quod, si argumentum vel portio sit maior 90 gradibus, tunc ab eo vel ea demit 90, scilicet totam unam 4'am, pro ea accipiens totum sinum rectum. Deinde cum residuo portionis operare sicut in capitulo ante proximo, et sinum quem inveneris adde sinui toti, scilicet 150, et quod resultat post additionem erit sinus versus argumenti dati. Hic operare ut in capitulo priori immediate, in nullo varians modum operandi.
    (Ap104) Cum autem cuiuslibet sinus volueris scire circuli portionem (64-66): et hic docet conversam capitulorum praecedentium. Et facit 2: primo enim (64-65) docet invenire portionem sinus minoris toto sinu recto, et secundo (66) maioris, ibi Si vero sinus fuerit plus 150. -- Adhuc docet primo (64) invenire portionem sinus recti, et secundo (65) versi, cum dicit Si autem portionem circuli sinus versi.
    (Ap105) Exponatur prima pars (64) in ponendo exemplum operis. Cum cuiuslibet sinus volueris scire circuli portionem, sinus dico recti, puta istius sinus recti 114 minutorum 20 secundorum et 26 tertiorum, eius, scilicet totius huius sinus, similem, si poteris, vel minorem eo, propiorem tamen, in tabula sinus (BA11.Sin) quaere: -- quia "si ad portionem sinus facis et non invenies eundem, accipe minorem" hic +totum+ debet suppleri, quia textus est truncatus -- quaere ergo minorem, propiorem tamen, et erit in tabula quinta scilicet 113 m'a 12 2'a 25 3'a; et quod in directo eius fuerit in lineis numeri versus sinistram sume, scilicet 4 signa et 11 gradus, et erit portio circuli ipsius sinus, scilicet ibi inventi et non propositi. Tunc eundem sinum minorem inventum, minorem scilicet sinu dato, de maiori, scilicet sinu dato, minue, id est subtrahe, et residuum, quod est 1 minutum 8 2'a et 1 tertium, quod vocatur "differentia primi introitus et sinus dati", per 60 multiplica, reducendo illud residuum prius ad 3'a 4081; et iterum multiplices per 60, et exibunt post multiplicationem 244860, quae sunt 4'a; quod dividas per differentiam huius primi introitus et numeri maioris immediate sibi in tabula, quod est unum minutum et 42 2'a, reducendo etiam ista ad 102 2'a, et quod exierit, scilicet ultimo, quod est 40 m'a praeter aliquas fractiones, de quibus non cures, portioni circuli in lineis numeri inventae, scilicet ad primum introitum, quae erat 4 signa et 11 gradus, <+adde+, et habebis 4 signa +11 gradus> 40 m'a+, quod erit propositum ab initio inquirendum.
    Et vel facilius illud fiat: ponas sinum datum in pulvere, et sub eo duos sinus inventos in tabula, quorum unus maior est semper et alter minor, ita quod minor ponatur immediate sub sinu dato, et maior sub illo minori. Uterque igitur extremorum maior erit medio, ita quod excessus sinus dati supra minorem inventorum in tabula <**>, et ideo excessus secundus erit primum, et excessus primus secundum, et 60 minuta 3'm, quia excessus secundus est totum quiddam, cui correspondet unus gra vel 60 m'a. Cum ergo excessus primus est pars illius, cui haec 60 m'a correspondent, debes invenire partem illorum 60 minutorum, quae sic se habebit ad 60 m'a sicut prima differentia vel primus excessus ad secundum: duc ergo secundum in tertium et divide per primum locum.
    (Ap106) Si autem portionem sinus versi (65): cum iam docuit sinus recti invenire portionem, hic docet sinus versi portionem invenire, sic: totus sinus propositus de 150 dematur, et residui quaere portionem sicut modo dicebatur; qua inventa, eam de 90 gradibus subtrahas, et residuum est quod quaerebas, scilicet portio sinus versi dati; et patet per praecedentia.
    (Ap107) Si vero sinus fuerit plus 150 (66): postquam iam docuit invenire portionem sinus cuiuslibet minoris quam 150, hic docet sinus maioris quam 150 m'orum invenire, et faciliter, quia ab eo toto sinu proposito demas 150, qui est totus sinus rectus, et pro eo accipias portionem suam, quae semper est 90 gradus; deinde residui totius sinus quaeras portionem sicut docebatur in prima parte capituli, et ad portionem 90 gra prius acceptam eam addens habebis intentum.

(Ap108) Cum latitudinem cuiusque regionis (67-126): cum auctor iam determinavit de modo inveniendi declinationem cuiuslibet gradus, et etiam de sinibus, quia utriusque est idem modus operandi, ideo hic consequenter determinat de latitudine regionis, quae per declinationem inveniri habet. -- Vel continuetur sic magis: prius determinavit de sinibus et declinationibus; hic determinat de hiis quae per sinus et declinationes inveniuntur. -- Et facit duo, quia primo (67-71) de eis quae per declinationem inveniuntur, et secundo (72-126) de hiis quae per sinum; 2'm facit ibi Cum elevationes signorum.
    Circa primum facit duo, quia primo (67-69) quod dictum est; et secundo (70-71) quaedam, quae supposuit in inventione latitudinis, declarat et invenire docet, ibi Cum altitudinem solis. -- Adhuc primo (67-68) docet invenire latitudinem regionis directe, et secundo (69) indirecte, cum dicit Si autem hoc idem per stellas. -- Primo igitur docet intentum per solem et solis declinationem, et facit 2: primo enim (67) docet hoc, sole existente in ariete vel in libra, et secundo (68) ipso existente in quocumque alio puncto, ibi Si autem sol extra haec duo loca.
    (Ap109) Primo notandum est quod latitudo regionis non est nisi distantia zenith capitis vel medii regionis vel loci cuiuslibet ab aequinoctiali, vel distantia medii regionis vel loci cuiuslibet a loco qui est sub aequinoctiali. Unde, quia inter zenith regionis et horizontem in omnem partem est una 4'a caeli, scilicet 90 gradus, et quia elevatio aequinoctialis ab horizonte cum distantia, quae est inter aequinoctialem et zenith, faciunt necessario 90 gradus, ideo, subtractis tot gradibus de 90, ad quot gradus aequinoctialis in aliqua regione elevatur supra horizontem, semper remanet distantia quae est inter aequinoctialem et zenith, quae est latitudo regionis eiusdem. Sed quia aequinoctialis per se non percipitur sensu aliquo, dicimus ipsum ad tantum elevari in regione aliqua, ad quantum sol elevatur in meridie cum est in aequinoctiali, scilicet in ariete vel in libra. Invenire igitur altitudinem solis in meridie, quando sol est in ariete vel libra, est invenire elevationem aequinoctialis in eadem regione.
    (Ap110) Hiis praemissis dicit auctor (67) quod, cum latitudinem cuiusque regionis volueris invenire, altitudinem solis, dum fuerit altior in media die, id est in meridie, quaere: in meridie enim maxime in toto die elevatur. Quam altitudinem, si sol fuerit in initio arietis vel librae, a 90 debes subducere, id est subtrahere, et residuum scias fore latitudinem regionis de qua quaeris. -- Esto ergo quod tu in aliqua regione inveneris in meridie, cum sol est in ariete vel in libra, solem elevari ad 42 gradus, sicut est Parisius fere. Tunc illos 42 gradus de 90 minuas, et residuum, scilicet 48, erunt latitudo regionis illius: tanta enim est distantia zenith villae Parisiensis ab aequinoctiali. -- Quomodo autem sciemus quando sol est in initio arietis vel alibi, in sequentibus dicetur, quando venitur ad aequationes planetarum.
    (Ap111) Si autem sol extra haec duo (68): docet invenire latitudinem regionis, sole existente in quocumque <loco> alio ab initio arietis vel librae. Dicit igitur quod, si sol sit extra haec duo loca, quae sunt initium arietis vel librae, scias declinationem gradus in quo fuerit sol, et haec scio per praehabita; sed consulo quod declinationem accipias in tabula Almeonis (BA21). Quam, declinationem scilicet, de altitudine solis meridiana diei praesentis tunc minue, si declinatio fuerit septentrionalis, vel eandem declinationem altitudini solis meridianae adiunge, si declinatio illa sit meridiana; et quod post augmentum vel diminutionem provenerit, scias esse altitudinem arietis -- et per consequens, supple, aequinoctialis -- in illa regione. Quam, sicut prius dictum est, subtrahendo a 90 invenies latitudinem regionis, quae, scilicet latitudo regionis, est elongatio eius, scilicet regionis, a loco lineae aequinoctialis, id est a loco qui est sub linea aequinoctiali. Vel sic: quae, scilicet latitudo regionis, est elongatio, id est distantia, "zenith" supple, eius, scilicet regionis, a loco lineae aequinoctialis, id est a loco caeli ubi est aequinoctialis.

(Fig.: A,79ra)

(Ap112) Esto ergo quod sol sit elevatus in meridie in regione aliqua, puta Parisius vel alibi. Sit ergo regio illa A, cuius zenith est B; sit autem elevatio solis in meridie, cum sol est in ariete, C. Cum ergo haec est elevatio arietis vel aequinoctialis, si subtrahatur GC, quod est elevatio aequinoctialis, de 90 gradibus, qui sunt GB, remanebit arcus CB, qui est distantia inter zenith et aequinoctialem; et haec est latitudo regionis. Et est hoc exemplum partis primae capituli (:67).
    Exemplum autem secundae partis (:68): sit sol elevatus ab horizonte ad 50, et sit elevatio illa arcus GH; et sit sol illo die in 20'o gra arietis, cuius gradus declinatio est septentrionalis, et est 8 graduum; declinatio autem haec sit arcus CH. Quo de GH dempto, quod est solis altitudo in meridie, remanet arcus GC, quod est altitudo arietis; quo sicut prius de toto arcu GB <dempto>, remanet arcus CB, quod est latitudo regionis. -- Item sit sol elevatus ad +34+ gradus, cuius altitudinis arcus sit GI; sit autem sol in 24'o gra piscium, cuius declinatio est 3 graduum fere. Sit ergo arcus declinationis huius CI, quae est meridionalis. Cum igitur GI est altitudo solis et IC declinatio solis, declinatione, id est IC, super altitudinem solis, scilicet GI, addita resultabit GC, quod sicut prius est altitudo arietis; quo iterum ut prius de toto arcu GB dempto, remanet arcus CB, qui est distantia zenith ab aequinoctiali, quam distantiam dictabimus esse latitudinem regionis.
    (Ap113) Si autem hoc idem per stellas fixas (69): docet aliter invenire latitudinem regionis, scilicet indirecte, quia docet invenire elevationem poli supra horizontem. Unde advertendum est hic quod, cum totum caelum correspondet utrique hemisphaeriorum, semper super horizontem, dividentem unum hemisphaerium ab alio, est medietas caeli.
    Ponatur aliquis esse sub aequinoctiali: cum aequinoctialis aequaliter, id est per 90 gradus, distet ab alterutro polorum, zenith igitur huius existens in aequinoctiali aequaliter, scilicet per 90 gradus, distabit ab alterutro polorum. Cum igitur, sicut in capitulo praecedenti (:Ap109) dixi, zenith aequaliter distat, scilicet per 90, ab horizonte habitantis, igitur sub aequinoctiali in horizonte erunt poli ambo, et per consequens neutrius aliqua est elevatio: +conferuntur igitur forte+ zenith esse in aequinoctiali et polorum utrumque esse in horizonte. -- Ex quo satis rationabiliter sequitur quod existentis sub polo horizon est aequinoctialis.
    Pari ratione ex istis patet quod ad maximam poli elevationem sequitur similiter maximam esse latitudinem regionis, et ad nullam latitudinem regionis nullam esse poli elevationem: quia habitantis sub polo horizon est aequinoctialis; zenith igitur eius in polo est. Sed zenith ab horizonte maxima est elevatio, quia ad 90 gradus; item, cum aequinoctialis est in horizonte, inter zenith et aequinoctialem sunt 90 gradus, quod est latitudo regionis; ad maximam igitur elevationem poli maxima sequitur regionis latitudo. Item, cum sub aequinoctiali habitans zenith habet in aequinoctiali et polos in horizonte, nec est regionis latitudo aliqua nec poli aliqua elevatio; ex quo sequitur quod quantum, alicui puta eunti versus septentrionem, elongatur zenith ab aequinoctiali, tantum sibi polus septentrionalis elevatur et meridionalis deprimitur. -- Ex hiis omnibus colligitur quod, quanta est latitudo regionis alicuius, tanta est in eadem poli altitudo. -- Ex hoc etiam consequenter sequitur quod, quanta est elevatio aequinoctialis in regione aliqua, tanta est elongatio poli septentrionalis a zenith.
    (Ap114) Auctor igitur (69), volens docere invenire latitudinem regionis, docet invenire altitudinem poli. Et ideo bene dictum est quod auctor hic docet invenire latitudinem regionis, et hoc indirecte, quia latitudinem intendens docet poli altitudinem invenire; et hoc sic dicens: Si volueris per stellas fixas invenire hoc idem, scilicet latitudinem regionis, et hoc indirecte vel ex consequenti, tunc considera de nocte aliquam stellarum fixarum, quae non occidet in illa regione, sicut est omnis stella cuius elongatio a polo minor est quam poli altitudo in illa regione: quarum enim elongatio a polo maior est poli altitudine in aliqua regione, illae necessario ultra horizontem aliquando descendent, et tales dicuntur occidentes in illa regione. Stellae igitur alicuius non occidentis altitudinem maximam per instrumentum aliquod capias, scilicet cum maxime accessit ad zenith tuum; deinde maximam approximationem eius ad terram accipias, signans utriusque elevationis graduum numerum; quorum numerorum simul iunctorum medium est numerus graduum inter polum et horizontem. Et haec est poli elevatio, et eiusdem regionis zenith ab aequinoctiali elongatio, vel eiusdem regionis elongatio a loco lineae qui est sub aequinoctiali: in quantum enim regio aliqua, sicut dicit etiam auctor, distat ab aequinoctiali linea, in tantum polus septentrionalis in ea elevatur et polus meridianus in eadem deprimitur, vel e converso.
    (Ap115) Vides ergo in figura subscripta, quae sit stella in regione occidens et quae non. -- Ad quod notandum quod totum caelum supra utrosque polos tamquam immobiles volvitur, ita quod quodlibet punctum caeli describit circulum quendam in motu caeli, cuius circuli polorum alteruter est centrum. Et dico "alteruter", quia omnium circulorum, descriptorum inter aequinoctialem et polum septentrionalem, polus septentrionalis est centrum proprius quam meridionalis, et e converso; circulus autem aequinoctialis indifferenter respicit utrumque. Stella igitur quaelibet describit circulum motus sui circa polum.

(Fig.: A,80ra)

Sit igitur horizon circulus ABC, cuius centrum est zenith, quod est D; polus autem E. Circa E igitur totum caelum volvitur; et per consequens stellae fixae, scilicet G et F, describunt circa E circulos sui motus, quia F describit FLNM et G describit GHIK. Constat autem quod stella G in regione, cuius zenith est D, occidit, quia elongatio eius a polo maior est elevatione poli ab horizonte: linea enim GE est maior EO de tota OI linea; G enim ab H in K occultatur. Sic igitur imaginandum est stellam occidere. -- Stella autem non occidens est, puta, F, quia longitudo eius a polo minor est elevatione poli ab horizonte: FE enim vel ME vel LE minor est linea quam EO; circulus autem motus sui, scilicet F, est FLM.
    Per hanc igitur stellam elevationem poli E ab horizonte AOB sic invenies: maximam eius altitudinem ab horizonte accipias, puta quando in ascendendo versus zenith lineam ODC, quae est meridianus, tetigerit; et sit elevatio sua tunc 60 graduum. Deinde observetur, quando post 12 horas eandem lineam tetigerit versus horizontem, id est cum maxime +versus polum+ descenderit, et sit altitudo eius accepta 20 graduum. Coniunge tunc minorem eius acceptam altitudinem cum maiori, et collectum partire in duo media, et medietas, scilicet 40 gradus, erit altitudo poli et linea EO.
    Causa autem, quare ex mediatione utriusque altitudinis simul resultet poli altitudo, esse potest quia hoc facere est addere medietatem differentiae utriusque altitudinis supra minorem; et ideo, cum utriusque altitudinis differentia tota est diameter FN, accipere medietatem utriusque altitudinis est addere EN supra NO; quo facto necessario resultat EO, quod est poli altitudo.

(Ap116) Cum altitudinem solis etc. (70-71): ostendit quaedam prius supposita, quorum primum (70) est acceptio altitudinis solis in meridie, et secundum (71) inventio altitudinis arietis vel aequinoctialis. Primum ergo docet primo et secundum secundo, Scias etiam quod si minueris.
    (Ap117) Docet primo (70) invenire altitudinem solis in meridie etiam sine instrumento per hunc modum. Scias, dicit ipse, declinationem gradus in quo fuerit sol illo die, et eam, si sit septentrionalis, de latitudine regionis illius minuas; si vero declinatio illa meridiana fuerit, eandem declinationem eidem latitudini regionis addas; et id quod post additionem vel diminutionem fuerit, de 90 gradibus minue, et residuum est altitudo solis in die illo, ad quem gradum solis et eius declinationem accepisti, et hoc in meridie.

(Fig.: A,80rb)

Verbi gratia, sit latitudo regionis tuae arcus BC 35 graduum; erit igitur per praehabita elevatio arietis vel aequinoctialis in eadem regione arcus BF 55 graduum.
    Sit etiam sol in ultimo gradu tauri in illa die, in qua altitudinem solis meridianam quaeris. Declinationem ergo ultimi gradus tauri quaeras, et erit 20 graduum et 15 minutorum, scilicet arcus BD. Quam scilicet declinationem, quia est septentrionalis, minuas de latitudine regionis, quae est arcus BC 48 graduum: remanet pars latitudinis, quae est arcus DC, scilicet 27 gra et 45 m'a. Quam si minueris de 90 gradibus, scilicet de toto arcu FC, remanet arcus FD, qui est altitudo solis meridiana, scilicet 62 gra et 15 m'a. Et scias quod arcus BC est meridianus. Sic igitur fiat si declinatio solis fuerit septentrionalis. -- Si vero declinatio solis sit meridionalis, 20 graduum et 15 minutorum, scilicet cum sit in ultimo gradu scorpii -- et erit ista declinatio arcus AB -- tunc eam super latitudinem regionis, scilicet super arcum BC, addas, et resultat arcus AC 68 graduum et 15 minutorum; quem de toto arcu FE subtrahens, remanebit arcus FA 21 graduum et 45 minutorum, qui est solis altitudo in meridie diei illius ad quem gradum solis et eius declinationem accepisti.
    (Ap118) Scias etiam quod si minueris (71): docet hic invenire altitudinem arietis vel aequinoctialis in regione qualibet per latitudinem regionis notam: quia, si minueris latitudinem regionis de 90, scilicet arcum BC, remanebit arcus BF, quae est aequinoctialis elevatio in regione latitudinis acceptae.

(Ap119) Cum elevationes signorum in directo circulo (72-126): postquam auctor docuit per declinationem principaliter invenire latitudinem regionis, hic docet per sinus invenire ascensiones signorum. Et facit duo: primo enim (72-94) docet invenire ascensiones signorum tam in circulo directo quam in obliquo; et quia ascensiones sunt partes aequinoctialis partibus zodiaci conterminales, ideo secundo (95) docet partes istas inter se convertere, ibi Cum autem volueris reducere gradus etc. -- Primo adhuc (72-78b) docet invenire ascensiones signorum in circulo directo, et secundo (79-94) in obliquo, ibi Si autem elevationes signorum in qualibet regione. -- Adhuc docet hoc primo (72-77), sicut dixi, per sinus portionum datarum, fundando se super demonstrationem quandam geometricam duorum processuum, et secundo (78a-b) docet idem faciliter per tabulas, ibi Cum hoc idem per tabulas (78b).
    (Ap120) Circa capitulum primum advertendum est quid est ascensio signi, et quis circulus rectus sit et quis obliquus, ut sciatur quid sit signi ascensio in circulo directo vel obliquo. -- Ascensio signi est pars aequinoctialis, contermina vel correspondens parti datae de ipso zodiaco delatae motu primi mobilis supra vel ultra circulum aliquem obliquum vel rectum. -- Circulus rectus est omnis circulus, in caelo existens vel quoad nos in caelum proiectus, aequinoctialem in duo media dividens ad angulos rectos, sicut meridianus cuiuslibet et horizon habitantium sub aequinoctiali: uterque enim dividit aequinoctialem in 2 media ad angulos rectos, cum hic per zenith capitum et per utrumque polorum transit, huius autem centrum zenith est in aequinoctiali. -- Circulus autem obliquus est omnis circulus alius aequinoctialem intersecans, sicut zodiacus et horizon climatum.
    Ex hiis manifestum est, quid est ascensio signi in circulo directo: quia pars aequinoctialis delata supra horizontem rectum vel ultra meridianum cum aliqua portione zodiaci sibi contermina et correspondente, sicut est pars aequinoctialis elevata cum toto ariete, qui est pars zodiaci, sicut videbitur in figura. -- Ascensio autem in circulo obliquo est pars aequinoctialis supra horizontem obliquum delata cum aliqua portione zodiaci sibi conterminali.

(Ap121) Auctor igitur hic (72-77) docens de ascensionibus signorum in circulo directo, docere vult quantum de aequinoctiali oritur in sphaera recta vel circulo recto cum quacumque parte zodiaci data. Et facit auctor duo: primo enim (72-75a) docet invenire ascensionem portionis alicuius determinatae zodiaci, et secundo (75b-77) per illam docet invenire ascensiones partium zodiaci aliarum, ibi Minue ex ea ascensionem arietis. -- Adhuc primo (72-73) praemittit circuli recti et obliqui diversas condiciones, et secundo (74-75a) de intento prosequitur, cum dicit Accipies declinationem totam. -- Primo adhuc (72) praemittit condiciones circuli directi, et secundo (73) obliqui, ibi In horizonte autem.
    (Ap122) Et primo advertendum est quod, quia duplex est circulus directus iam in proposito, scilicet horizon rectus et meridianus, horizontis recti condiciones duae sunt, scilicet (72): eius nullam esse latitudinem, et apud eum noctes et dies sibi invicem semper esse aequales. Prima condicio patet per dicta in capitulo de latitudine regionis (:Ap113). Et ex prima sequitur condicio 2'a: cum enim zenith non separatur ab aequinoctiali, nulla erit latitudo regionis; et per consequens, cum aequinoctialis semper uniformiter vadat per zenith, semper ibidem horizontem intersecat ad orientem et occidentem: cum hoc facit aequalitatem noctium et dierum, semper erit ibi aequinoctium. -- Meridianus autem habet condicionem unam, quia in ipso ascensiones arcuum eorundem zodiaci apud omnes regiones sunt aequales. Hanc etiam condicionem habet horizon rectus; unde rectus est, sed non in quantum horizon.
    (Ap123) Dicit igitur auctor primo (72): Cum volueris invenire elevationes signorum in circulo directo, sive ortus signorum in loco lineae aequinoctialis -- et exponatur: in circulo directo, id est in meridiano, sive ortus signorum, quod idem est quod elevatio vel ascensio eorum, in loco lineae aequinoctialis, id est in loco sub linea aequinoctialis, cuius loci horizon est rectus, qui, scilicet locus sub aequinoctiali, caret latitudine -- haec est eius prima condicio -- apud quem, locum scilicet, dies noctesque sibi semper sunt aequales -- haec est secunda eius condicio -- quae, scilicet ascensiones, apud omnes regiones sunt eaedem in circulo directo: quantum enim cum toto ariete transeunte ultra meridianum Parisiensem transit de aequinoctiali a puncto contactus sui cum aequinoctiali, tantum etiam transit de eodem aequinoctiali cum tanta portione zodiaci ultra meridianum civitatis quantumcumque a Parisius, in omnem et in quamcumque partem distantis.
    (Ap124) In horizonte autem (73): haec est condicio horizontis obliqui vel circuli obliqui, qui est horizon climatum, scilicet quod ascensiones earundem partium zodiaci super horizontem obliquum delatae sunt apud diversos diversae. Unde dicit quod, "ascensiones" supple, in horizonte cuiusque regionis, id est in horizontibus regionum diversarum, fiunt diversae propter <diversas> latitudines earum, scilicet regionum, quia ad maiorem latitudinem sequitur maior horizontis obliquatio et ad minorem minor. -- Et ideo contingit signa diversimode oriri et occidere in horizontibus diversis: in horizonte enim maioris latitudinis quaedam in ortu suo plus ponunt temporis quam in circulo directo; et de tanto opposita eorum, respondendo singula singulis, minus ponunt de tempore in horizonte eodem quam in circulo directo, et e converso. -- Et ideo dicit auctor quod in quantum quaedam, scilicet signa, propter obliquitatem horizontis regionis oriuntur velocius ortu suo, id est quam in ortu suo, in loco lineae aequinoctialis, id est in loco qui est sub aequinoctiali vel, supple, in meridiano, in tantum eorum opposita tardius oriuntur, scilicet in horizonte obliquo quam in recto vel meridiano. Et e converso dicit etiam auctor: in quantum quaedam tardius occidunt, supple, in horizonte obliquo quam in recto vel in meridiano, in tantum eorum opposita citius cadunt, id est occidunt. Elevationes vero, sicut dicit auctor, duorum oppositorum, id est ortus eorum, vel occasus eorum in loco lineae aequinoctialis, id est in loco qui est sub aequinoctiali, et in circulo directo, id est meridiano, cuiusque regionis sunt eaedem, id est aequales.
    Et notandum quod illud signum "tardius" dicitur oriri et occidere, cum quo, a principio ortus sui vel occasus usque ad ortus sui vel occasus completionem, plus oritur de aequinoctiali vel occidit quam 30, sicut fit cum cancro leone virgine libra scorpione et sagittario. "Citius" autem oritur, cum quo minus quam 30 gradus oritur de aequinoctiali, sicut faciunt signa hiis opposita.
    (Ap125) Et ad evidentiam subsequentium in capitulo de ascensionibus in circulo obliquo, et etiam dictorum hic, notandum est quod, de quanto cum aliquo signo plus oritur de aequinoctiali in circulo recto quam in obliquo, de tanto scilicet cum signo sibi opposito oritur minus in circulo recto quam in obliquo de aequinoctiali, et e converso. -- Verbi gratia, quia cum ariete in 7'o climate oritur supra horizontem de aequinoctiali 14 gra et 33 m'a, in circulo recto autem cum eodem oriuntur de aequinoctiali 27 gra et 53 m'a -- et ita in circulo directo plus oritur de aequinoctiali ad 13 gradus cum ariete quam in circulo obliquo -- et ideo e converso cum libra plus oritur de aequinoctiali in circulo obliquo quam in recto, quia in obliquo oriuntur de aequinoctiali 41 gra et 7 m'a, in recto autem 27 gra et 53 m'a. Subtracta autem elevatione ista, scilicet circuli recti, de elevatione circuli obliqui, remanent 13 gradus sicut prius; et iste est excessus elevationis in circulo obliquo supra alium in circulo directo, sicut prius erat e converso, nisi quod prius supererant 20 m'a et hic 14, de quo non est cura, quia utrumque est minus 30 minutis.
    (Ap126) Accipies declinationem totam (74-75a): prosequitur de modo inveniendi elevationes signorum in circulo directo. Et est haec littera tota suspensiva, dependens a littera prima (72:), sic: Cum elevationes signorum in circulo directo scire volueris -- et respondet haec littera (74:): Accipies declinationem totam. Dicit igitur quod, si velis scire elevationes signorum in circulo directo, accipies totam declinationem solis, quae secundum Ptolomaeum est 23 graduum et 51 minutorum, secundum Almeonem autem 23 gra et 33 m'orum; quam veriorem esse dicit, quia illam, scilicet Almeonis, novit experimento et sic causaliter et 'propter quid', aliam autem, scilicet Ptolomaei, rumore et fama et simili 'quia' tantum. Quaere igitur declinationis huius secundum Almeonem sinum, et vocabitur primus. Deinde declinationem illius de 90 minue, et quaere sinum residui, et vocabitur sinus secundus. Deinde declinationem gradus, cuius ascensionem quaeris, accipias, et illius quaere sinum, et erit sinus tertius. Postea declinationem illam gradus de 90 minue, et residui quaere sinum, et vocabitur 4'us. Quibus sinibus inventis, duc secundum in tertium et productum divide per primum, et quod exierit multiplices per 150, et productum divide per sinum 4'm, et sinus exeuntis quaeras circuli portionem; quae erit illud quod cum gradu proposito elevatur in circulo directo de aequinoctiali.
    (Ap127) Hoc totum se fundat super demonstratione quadam geometrica, sic: sit tota declinatio solis EB, cuius sinus est BF, pro quo accipitur linea AC, cum sint aequales. Declinatione autem ista de 90 dempta, scilicet de tota 4'a EI, remanet IB, cuius sinus est linea AB, qui est secundus. Deinde sit quod totius arietis, qui est linea CH, ascensionem quaeras; ergo totius arietis quaeris declinationem, quae est arcus EG, cuius sinus est linea GO, pro qua aequalis sibi sumatur linea DC, et vocatur sinus tertius. Deinde declinationem istam parvam, scilicet EG, de 90 gradibus, scilicet de tota 4'a EI, demas, et residui, scilicet arcus huius IG, sinus est linea DG. -- Hic igitur erit considerare duos triangulos, scilicet ABC maiorem et DHC minorem. Cum igitur <manifestum sit> angulos eorum sibi esse invicem aequales, latera eorum sibi invicem erunt proportionalia; sicut igitur se habet CA primum ad AB secundum, sic CD <tertium> ad DH 4'm. Duc ergo AB in CD et productum divide per AC, et exibit DH, quod est pars 4'i sinus, scilicet sinus DG. -- Tunc ulterius arguitur: sicut se habet DG ad DH, sic se habet CE sinus totus ad partem sui. Duc ergo CE in DH et productum divide per DG, et exibit quidam sinus, pars CE sinus totius; cuius quaeras portionem circuli, et illa erit pars aequinoctialis quae cum toto ariete CH oritur, <id est,> transit ultra meridianum, quod quaerebatur.

(Fig.: A,81va)

(Ap128) Licet haec autem imaginatio consueta est, est tamen impropria, quia hoc modo accipitur principium arietis declinare ab aequinoctiali: cum enim CH ponitur esse totus aries, elevatus ultra meridianum CI, cum primum transit principium eius et postea finis, cum finis arietis est in meridiano cum puncto +O+, cum in puncto C etiam aequinoctialis intersecat meridionalem circulum, evidens est finem arietis esse in aequinoctiali et principium declinare, cum tamen in rei veritate e converso est verum. -- Ad habendum imaginationem veram hac eadem demonstratione utaris ad demonstrandum propositum; sed, facta demonstratione, pro lineis acceptis in demonstratione ipsa alias accipias aequales eisdem, quia pro CHB accipias PDK, quae sunt aequales, quia sunt semidiametri circulorum eiusdem quantitatis; et pro AB, QP; et pro AC et DC accipe QK et QS; et pro CH, PD. Et habebitur imaginatio vera: iam enim caput arietis, ab aequinoctiali non declinans, cum portione sua aequinoctialis ultra meridianum transivit; et iam finis suus, ut oportet, ab aequinoctiali declinat; et est portio aequinoctialis elevata vel transiens cum ariete PC.
    (Ap129) Quantitatem autem sinuum imaginatorum per has lineas sic invenies, ponendo totam operationem in exemplo: accipe secundum auctorem totam declinationem solis secundum Almeonem (BA21) quae est 23 gra et 33 m'a et 30 2'a; ad quos gradus et minuta quaere sinum, 59 m'a 57 2'a et unum tertium, quia aequabis bis intrando pro minutis; et iste sinus vocatur primum, et est iste sinus linea <BF vel> QK. Deinde istam declinationem de 90 subtrahas, et remanebit arcus IB, qui est 66 graduum et 26 minutorum et 30 secundorum; cuius quaeras sinum, et erit 137 m'a 29 s'a et 12 tertia, qui est sinus residui declinationis de 90, <quem> vocat secundum, et est sinus iste linea AB vel PQ. -- Deinde, si velis scire quantum cum toto ariete elevatur de aequinoctiali, sicut etiam infra est exemplificatum, tunc in tabula declinationis secundum Almeonem accipe declinationem totius arietis, et est 11 gra 31 m'a 36 2'a; tot igitur graduum et fractionum sinum quaeras, et erit 29 m'a 59 2'a et unum tertium; et est iste sinus declinationis gradus, id est totius declinationis arietis, qui vocetur tertium, et est signatus per lineam QS vel CD. Deinde declinationem istam de 90 subtrahas, et residui, scilicet 78 graduum 28 m'orum et 29 s'orum, quaeras sinum, et erit 146 m'a 58 2'a et 10 tertia; et iste erit sinus 4'us, et vocabitur "sinus residui declinationis arietis de 90", et designatur per lineam DG vel PC'.
    Et quia sinus istos debes per invicem multiplicare et dividere, ideo omnes reducas ad idem genus fractionum, scilicet ad tertia; et erit sinus primus in tertiis 215821, et sinus secundus 494952, et sinus tertius 107941, et sinus quartus 529090. -- Duc ergo secundum in tertium, et exibunt in sextis 53425613832, quae dividas per primum, et exibunt in tertiis 247546, quia oportet unum addere pro 204397 sextis. Hoc autem, quod iam exivit post divisionem, est quaedam parallela DHG; quod multiplices per centumquinquaginta, quod est linea CE vel PV, et exibunt in quartis 37131900; quod dividas per 4'm sinum, et exibunt 70 m'a; et remanent 95600 quarta, quae redigas ad 5'a, tot 5736000, quae iterum dividas per 4'm sicut prius, et exibunt 10 s'a; et remanent 445100 5'a, quae redacta ad sexta et divisa iterum sicut prius per 4'm faciunt 50 tertia. Et ita invenisti sinum 70 minutorum 10 s'orum et 50 tertiorum; cuius invenias circuli portionem, quae erit 27 gra 53 m'a et 50 2'a. Et istud praecisius est operatum quam tabula habet: tabula enim non habet secunda. Tantus ergo arcus oritur vel transit cum toto ariete ultra meridianum.
    (Ap130) Si autem velis facere ad totum taurum (75a-b), tunc oporteret quaerere sinum declinationis ultimi gradus tauri, et ille tunc fieret tertius sinus, sicut sinus declinationis ultimi gradus arietis modo erat tertius. Deinde, declinatione illa de 90 gradibus subtracta, residui quaerere deberes sinum, et ille esset 4'us. Primus autem et secundus sinus idem semper debent esse. Si ergo duceres secundum in tertium et productum divideres per primum, exiret quiddam, quod si iterum multiplicares per 150 et productum divideres per sinum 4'm, exiret quidam sinus, cuius si quaereres portionem, illa esset arcus aequinoctialis elevatus cum toto tauro et ariete.
    De quo toto arcu si subtraheres elevationem arietis (75b), remaneret arcus aequinoctialis correspondens tauro per se.
    (Ap131) Si etiam (76) subtraheres elevationem arietis et tauri de 90 gradibus, remaneret elevatio geminorum, quia semper cum 4'a zodiaci, quae est inter puncta 2 cardinalia, oritur 4'a aequinoctialis in circulo directo.
    (Ap132) Item (77), quanta est elevatio arietis, tanta est elevatio piscium, virginis et librae; et quanta est elevatio tauri, tanta est elevatio aquarii, leonis atque scorpionis; quanta est etiam elevatio geminorum, tanta est elevatio capricorni, sagittarii et cancri; et ita ad componendum tabulas ascensionum in circulo directo non oporteret quaerere nisi ascensiones ad gradus singulos trium signorum tantum, scilicet arietis, tauri et geminorum.
    (Ap133) Et est etiam tabula (78a-b): docet idem per tabulam, et facit duo: primo enim (78a) proponit quod intendit, et patet; et secundo (78b), ibi Cum hoc idem, prosequitur, dicens: Cum volueris per tabulam ad hoc factam invenire eadem, scilicet ascensiones gradus alicuius zodiaci, intra cum tot gradibus, quot sunt ab ariete usque ad gradum ultimum portionis zodiaci, cuius velis ascensiones quaerere: intra, dico, ad tabulas ascensionum in circulo directo (BB11). Intra igitur cum 30 gradibus, id est cum toto ariete, quaerendo in latere sinistro tabulae tot gradus; et e directo eorum, sub signo cuius velis ascensiones scire, puta sub ariete, quod inveneris accipe in gradibus et minutis; et hoc est quod cum tot gradibus et tribus signis elevatur de aequinoctiali, quia tabula incipit a capricorno. Ab illo igitur quod ibi inveneris sub ariete e directo 30 graduum, quod scilicet est 117 gradus et 53 m'a, subtrahas ascensiones ultimi gradus praecedentis signi, scilicet 90 gradus, et remanent ascensiones totius arietis, 27 gra et 53 m'a.
    Si velis etiam ascensiones totius tauri et arietis, accipe e directo 30 graduum in latere sinistro tabulae stantium sub tauro quod inveneris de ascensionibus, scilicet 147 gra 47 m'a, et hoc est quod a principio capricorni elevatur de aequinoctiali; a quo demas 90 gradus pro ascensionibus signorum 3 ante arietem, et remanent ascensiones tauri et arietis, scilicet 57 gra et 47 m'a. -- Si etiam <velis> ascensiones solius tauri, tunc ab eo, quod inveneris e directo ultimi gradus sub tauro, subtrahe id quod est e directo ultimi gradus sub ariete, et erunt in ascensione tauri 23 gra et 54 m'a. -- Si etiam velis scire, quantum cum parte signi elevatur de aequinoctiali, puta cum 4 gradibus geminorum, accipe ascensiones e directo 4 graduum sub geminis, et ab eis subtrahe ascensiones e directo ultimi gradus signi praecedentis inventas; et quod remanet est arcus aequinoctialis cum tot gradibus zodiaci elevatus de circulo aequationis dierum <**> nihil cures modo, sed hoc scies in eclipsibus.

(Ap134) Si autem elevationes in qualibet regione (79-111): docet invenire ascensiones in circulo signorum obliquo, qui est horizon climatum; et primo (79-97) absolute, secundo autem (98-111) ut comparantur ad quantitatem diei tantae per eos, cum dicit Cum portionem circuli directi. -- Adhuc docet primo (79-95) invenire gradus ascensionum, qui sunt gradus aequinoctialis, per gradus aequales, qui sunt gradus zodiaci, nulla ascensionum supposita; et secundo (96-97), quadam supposita, docet +alia+ invenire, ibi Si vero reducere. -- Primo adhuc (79-94) docet per gradus aequales invenire gradus ascensionum, et secundo (95) e converso, ibi Cum autem volueris scire; et primo (79-88) sine tabulis, et secundo (89-94) cum tabulis, cum dicit Cum autem scire volueris. -- Primo duo facit, quia primo (79-84) docet hoc, demonstrando per sinus, et secundo (85a-88) per umbram arietis, Est etiam aliud capitulum.
    (Ap135) Sententia capituli (79) est, ut dicit auctor: si elevationes signorum in qualibet regione, id est in horizonte cuiuslibet regionis, climatum supple, volueris invenire, accipe sinum latitudinis regionis, et erit primus; et deinde latitudinem illam demas de 90, et residui quaere sinum, qui erit secundus. Deinde accipe declinationem gradus, cuius velis habere ascensiones, et illius declinationis quaeras sinum, et erit tertius. Postea illam declinationem de 90 subtrahens, residui quaeras sinum, qui erit 4'us. Quibus inventis, multiplica primum per tertium et productum divide per secundum, et exibit quiddam, quod multiplices per 150, et productum divide per sinum 4'm, et exibit quidam sinus, cuius invenias circuli portionem; et portio inventa est differentia quae est inter ascensionem gradus dati in circulo directo et ascensionem eiusdem in circulo obliquo.
    Et ideo (82) si portionem iam inventam subtraxeris de ascensione eiusdem gradus in circulo directo, quod remanet erit ascensio eiusdem gradus in circulo obliquo; et si istam portionem eandem hic inventam supra ascensionem gradus dati in circulo directo addideris, resultabit ascensio gradus oppositi gradui dato. Et ideo, si ad arietem totum operabaris, scilicet cum declinatione 30 graduum, tunc portio iam ultimo inventa per hoc capitulum erit portio arietis, id est differentia ascensionis arietis in circulo directo et ascensionis eiusdem arietis in circulo obliquo: portionem igitur istam (82) demas de ascensionibus arietis in circulo directo, et quod remanet erit portio aequinoctialis quae cum toto ariete vel piscibus elevatur in circulo obliquo. Si etiam eandem portionem arietis inventam per hoc capitulum addideris supra elevationem arietis in directo circulo, resultabit portio <aequinoctialis> quae cum tota libra vel virgine elevatur.
    (Ap136) Similiter (80) quaeras per hoc capitulum portionem tauri, et eam de ascensione tauri in circulo directo demas (83), et residuum erit ascensio tauri et aquarii in circulo obliquo; et si eandem portionem tauri, inventam hic per hoc capitulum, supra ascensiones tauri in circulo directo addideris, resultabit elevatio scorpii et leonis in circulo obliquo.
    (Ap137) Similiter (81) per hoc capitulum quaeras portionem geminorum, et ea de ascensione geminorum in circulo directo dempta (84), residuum erit ascensio geminorum et capricorni in circulo obliquo; et eadem portione supra ascensionem geminorum in circulo directo addita, resultat ascensio sagittarii et cancri in circulo obliquo.
    (Ap138) Demonstratur autem hoc negotium communiter sic: sit colurus solsititiorum circulus ABCD; polus autem meridianus sit C, septentrionalis autem A; colurus autem aequinoctiorum sit linea AC, aequinoctialis autem DB; latitudo regionis sit arcus AE, cuius sinus est linea EF; residuum latitudinis de 90 sit arcus BE, cuius sinus est linea EG vel FK; declinatio arietis arcus BH, cuius sinus est linea HL vel IK; residuum declinationis gradus de 90 sit arcus AH, cuius sinus est linea IH parallela aequinoctiali, transiens per gradum zodiaci scilicet ultimum arietis, cuius ascensiones quaeruntur.

(Fig.: A,83vb)

Hic igitur sunt duo trianguli, quorum primus est KFE maior, secundus KIM minor, quorum anguli sibi invicem sunt aequales: quae igitur proportio KF ad FE, eadem est KI ad IM. Duc ergo FE in KI et productum divide per KF, et exibit IM, qui est pars paralleli IH, qui est sinus 4'us. Sicut igitur IH se habet ad IM, sic totus sinus rectus, scilicet KB, quod est 4'a aequinoctialis, se habet ad quandam partem sui, quam quaerimus. Ergo IH erit primum, quod tum proponebatur esse 4'm, et IM erit 2'm, KB 3'm; haec tria mihi nota sunt. Duc ergo KB in IM et productum divide per IH, et exibit quiddam, et est sinus cuiusdam portionis aequinoctialis; huius sinus quaeras circuli portionem, quae portio est differentia quae est inter ascensiones arietis in circulo directo et ascensiones eiusdem in circulo obliquo.
    (Ap139) Esto igitur (79) quod tu velis scire, quantum cum toto ariete elevatur de aequinoctiali in circulo obliquo apud Parisius. Accipe igitur latitudinem regionis ibidem, scilicet 48 gra et 13, cuius invenias sinum, aequando pro duobus introitibus ut supra, et invenies 111 m'a 50 2'a et 57 3'a. Deinde dictam latitudinem de 90 minue, et residui, scilicet 41 graduum et 47 minutorum, quaere sinum, et erit 99 m'a 56 2'a 41 tertia, et erit iste secundus, prior autem primus; et est primus linea FE, secundus autem GE vel FK. -- Deinde, cum ascensiones totius arietis velis, accipe declinationem totius arietis, quae est, ut in priori capitulo ad circulum directum dicebatur, 11 gradus 31 m'a et 36 2'a, cuius sinum etiam quaeras ut supra, et erit sicut prius 29 m'a 59 2'a et unum tertium; et iste sinus erit tertius, et est iste sinus linea KI. Postea istam declinationem de 90 minue, et residui, quod est 78 gra 28 m'a et 24 s'a, quaere sinum, qui erit, sicut et supra ad circulum directum, 146 m'a 58 2'a 10 3'a; et iste sinus erit 4'us, qui designatur per lineam parallelam aequinoctiali, quae est linea IH, quae est sinus residui declinationis gradus.
    Cum igitur isti sinus in se invicem multiplicari et per invicem dividi debent, ideo omnes in easdem fractiones reducas, et erit primus in tertiis 402657, et secundus 359801, et tertius 107941, et 4'us 529090. Duc igitur primum in tertium, et exibunt in sextis 43463199237; quibus divisis per sinum secundum exibunt in tertiis 120798, quia sexta remanentia sunt plus quam medietas divisoris; quibus multiplicatis per 150, quod est linea KB, exibunt in 4'is 18119700; quibus divisis per sinum 4'm exibunt in minutis 34 et remanent 130640, quae sunt 4'a; quibus reductis ad 5'a et divisis per 4'm sicut prius, exibunt 14; et remanent 431140, quibus iterum reductis ad sexta et divisis iterum per 4'm sicut prius, exibunt 49 tertia, quia pro sextis remanentibus oportet accipere unum. Sinus igitur inventus est <34 m'a> 14 2'a et 49 tertia. Cuius invenias circuli portionem, et erit 13 gradus 11 m'a 55 2'a 17 3'a, et haec portio est differentia duarum ascensionum arietis, in circulo scilicet directo et obliquo.
    (Ap140) Hanc igitur portionem demas, sicut dicit canon (82), de ascensione arietis in circulo directo, scilicet de 27 gradibus 53 minutis et 50 secundis, et remanent 14 gradus 41 m'a et 55 2'a et 43 3'a, et haec est elevatio vel ascensio arietis et piscium in circulo obliquo. -- Si etiam portionem inventam, quae est differentia duarum ascensionum, supra ascensionem arietis in circulo directo addideris, exibit ascensio librae et virginis in circulo obliquo, scilicet 41 gra 5 m'a 45 2'a et 17 3'a. Nec credas quod est haec elevatio virginis et librae, sed virginis per se et librae per se: sicut enim supra (:Ap125) dicebatur, de quanto elevatio <alicuius> in circulo obliquo minor est elevatione eiusdem in circulo directo, de tanto est elevatio signi oppositi maior in obliquo quam in recto. Cum igitur elevatio arietis et librae eadem est in circulo directo, de quanto elevatio arietis minor est in obliquo quam in recto, de tanto maior est elevatio librae in obliquo quam in recto.
    (Ap141) Si autem operatus fuisses cum declinatione totius tauri, consimiliter oporteret facere cum portione exeunte (83), quia demendo eam de elevatione tauri in circulo directo haberes eius, scilicet tauri, et etiam aquarii, elevationem in circulo obliquo; et si eam adderes, haberes elevationem oppositorum in circulo obliquo, scilicet scorpionis et leonis. -- Et eodem modo (84) cum portione geminorum oporteret facere.
    Si autem tabula in minutis cum hac operatione non concordat penitus, hoc est quia factum est ad Parisius, tabula autem ad 7'm clima (BG17) est supra medium eius; item et quia tabulae climatum compositae videntur esse super declinationem solis secundum Ptolomaeum (:Cb74), sed ego operatus sum cum declinatione solis secundum Almeonem, quae verior est, secundum quod dicit canon (:Ap126, cf. Cb74).

(Ap142) Est etiam aliud capitulum (85a-88): docet invenire elevationes signorum per umbram arietis. Et primo (85a) proponit quod intendit, et secundo (85b-88) prosequitur, cum dicit Cum ergo ascensiones. -- Sententia primae partis (85a) patet de se.
    In parte exsecutiva (85b-88) duo facit: primo enim (85b-87) docet ascensiones invenire in circulo obliquo graduum divisim, ita quod cuiuslibet per se, et secundo signi totius simul, cum dicit in proximo capitulo Si autem volueris elevationem totius arietis.
    (Ap143) Et notandum est hic primo de compositione tabulae umbrae (BC21), quia res erecta orthogonaliter super planum facit umbram infinitam, id est ad sensum non terminatam, sole existente in horizonte. Item, sole existente in zenith, umbra rei erectae nulla est. Existente autem sole inter horizontem et zenith, ad sensum proicit res umbram maiorem vel minorem, et tanto minorem quanto plus ascendit sol: ita quod, cum sol fuerit in altitudine 45 graduum, quod est in medio inter horizontem et zenith, tantae protensionis est umbra rei, quantae altitudinis res fuerit super planum; et sol cum ascenderit, minoratur rei umbra.
    (Ap144) Et quia res quaelibet secundum mathematicos prima sui divisione in 12 dividitur, rem quamlibet erectam voluerunt dividere in 12, sive maior esset sive minor, et partem duodecimam cuiuslibet rei vocabant "punctum", quantamcumque contingeret rem esse. Umbram etiam rei per puncta rei mensurabant, hoc modo quod, quot extensiones tales sunt in quantitate extensionis umbrae rei, quantae extensionis est pars rei 12'a, cuius est umbra, umbram illam dixerunt esse tot punctorum. Ut si res erecta in longitudine habet 12 pedes, punctum rei oportet vocare extensionem unius pedis; quot igitur pedes in umbra rei continget invenire, tot punctorum dicetur umbra rei esse. Cum enim sol est in medio inter zenith et horizontem, tunc, quantae longitudinis est res, tantae extensionis est umbra; ita quod, si 12 pedes fuerint in altitudine rei erectae, 12 pedes erunt in extensione umbrae.
    (Ap145) Quot igitur partes tales sunt in umbra, quanta est pars duodecima rei erectae, per altitudinem solis in quolibet puncto caeli sic invenitur: quia, sole elevato supra horizontem ad unum gradum, e directo unius gradus accipe in tabula umbrae quantitatem <umbrae> cuiuslibet rei erectae, et est 687 punctorum et 26 minutorum; et notatum hic minutum est sexagesima pars unius puncti, id est sexagesima pars tantae extensionis quanta est extensio unius partis duodecimae rei erectae. Si igitur res erecta fuerit 12 pedum, umbra eius, sole existente supra horizontem ad unum gradum, est 687 pedum; si etiam sit elevatus ad 2 gradus, tunc puncta umbrae e directo duorum graduum invenientur, scilicet 343 puncta et 39 minuta, et sic de aliis.
    (Ap146) Unde tabula sic est composita, quia compositor (122) accepit sinum altitudinis solis: puta, si altitudo solis sit arcus AB, horizon vero AF, tunc sinus altitudinis solis est linea GB; et istum sinum vocabat compositor primum. Deinde accepit residuum altitudinis solis de 90, scilicet arcum CB -- C enim est zenith -- et illius sinum vocabat 2'm, scilicet lineam BH. Deinde accepit puncta rei erectae semper esse 12: est enim res erecta linea ED, umbra autem rei EF, cuius quantitas est mihi ignota.

(Fig.: A,85rb)

Sunt igitur in ista figuratione 2 trianguli, quorum unius GB est unum latus, GF secundum, et BF basis; alterius autem trianguli latus primum est DE, EF secundum, et DF basis. Est autem linea BDF radius solis. Isti igitur trianguli quia sunt aequianguli, latera eorum erunt proportionalia: quae igitur est proportio GB ad GF, eadem proportio ED ad EF. Et ideo compositor multiplicabat sinum residui altitudinis, qui est linea GF, quae est aequalis lineae BH, per 12 puncta, id est per lineam ED, et productum dividebat per sinum altitudinis, qui est linea GB, et semper exivit linea EF, quae est umbra rei.
    (Ap147) Si velis igitur corrigere tabulam umbrae (122; BC21), accipe sinum altitudinis unius gradus, intrando ad tabulas sinus (BA11) cum uno gradu, et invenies sinum in tertiis 9425, et iste est primus sinus. Deinde accipe sinum residui, scilicet intrando easdem tabulas cum 2 signis et 29 gradibus, et invenies in tertiis 529920, et iste est sinus secundus; quem multiplices per puncta 12, quae sunt status rei cuiuslibet, et exibunt in tertiis 6479040, quia denominator non crescit per integra, puncta autem sunt integra. Deinde haec tertia per primum, scilicet per sinum altitudinis solis ad unum gradum, qui primo acceptus est in tertiis, divide, et exibunt 687 puncta umbrae rei. Deinde tertia remanentia, ad 4'a redacta, per eundem divisorem dividas, et exibunt minuta puncti imperfecti, scilicet 26 fere, et istud invenitur e directo unius gradus. Sole igitur elevato ad unum gradum, sic se habet altitudo rei erectae ad umbram suam, sicut se habent 12 ad 687 et 26 sexagesimas unius. -- Eodem modo, si velis, cum altitudine solis ad 2 gradus probes eandem tabulam: per sinum enim 2 signorum et 28 graduum, qui est sinus duorum graduum de 90, multiplices 12, id est puncta status rei, et productum divide per sinum duorum graduum, et exibunt 343 puncta et 39 m'a fere, quae posita sunt in tabula e directo duorum graduum elevationis solis. Haec igitur est compositio tabulae umbrae.
    (Ap148) Secundo hic advertendum est, quid est dictu cum dicimus "umbram arietis". Umbra autem arietis, vel umbra initii arietis, est umbra quam facit res quaelibet, cum sol est ad tantum elevatus de die, quantum elevatur aequinoctialis in aliqua regione. Verbi gratia, quia in 7'o climate circa Parisius est aequinoctialis elevatus ad 41 gradus et 47 m'a, umbra igitur arietis circa Parisius est umbra quam facit res, <sole> elevato ad 41 gra et 47 m'a. Quam umbram in tabula umbrae invenies bis intrando: verbi gratia, intra primo cum 41 gradibus, et invenies 13 puncta et 48 m'a; deinde pro minutis intra secundo ad 42 gradus, et invenies 13 puncta et 20 m'a. Erunt ergo 60 minuta unius gradus primum; et 47 minuta, pro quibus secundo intrasti, erunt secundum; et differentia horum duorum introituum, quae est 28 minuta, erit tertium. Duc ergo per regulam communem secundum in tertium et productum divide per primum, et exibunt 21 m'a et 56 2'a; quae de prima aequatione, quia maior est, subtrahens habebis umbram arietis, scilicet 13 puncta 26 m'a et 4 2'a.
    (Ap149) Tertio est hic notandum de compositione tabulae diversitatis differentiae ascensionum universae terrae (BC11). Et est sciendum quod, cum ad latitudinem regionis minorem sequitur maior altitudo arietis, quia ad nullam maxima; et e converso, cum ad latitudinem maiorem sequitur altitudo arietis minor, quia ad maximam nulla sequitur; igitur, cum ad parvam altitudinem arietis sequitur magna umbra, ergo, a primo ad ultimum, ad magnam latitudinem sequitur magna umbra arietis et ad parvam parva: quia, quanto sol est altior, tanto umbra est minor, et e converso.
    (Ap150) Compositor igitur tabulae huius, confusionem devitans et quodam novae inventionis usus compendio, ad locum, ubi aries vel aequinoctialis elevatur ad 45 gradus, accepit differentias ascensionum in circulo obliquo et in circulo directo: accepit, inquam, ad omnes gradus unius 4'ae; hoc est dictu, quia accepit, de quanto cum primo gradu arietis elevatur minus de aequinoctiali in circulo obliquo quam in recto, et similiter de quanto minus elevatur de aequinoctiali ad duos gradus arietis in circulo obliquo quam in recto, et sic usque ad finem geminorum, per doctrinam capituli praecedentis. -- (Ap151) Et illius differentiae sinum divisit per umbram arietis in illa regione, quae est 12 puncta, et numerum quotiens posuit e directo tot graduum, quot graduum accepit differentiam ascensionum. Et ita fecit ad 90 gradus, et ideo tabula non excedit 90 gradus: inventis enim ascensionibus 90 graduum, inveniuntur ascensiones aliarum trium 4'arum per modum qui docebatur in capitulo praecedenti. Et ita fecit compositor istam tabulam ad inveniendum differentiam ascensionum singulorum graduum ad locum ubi aries elevatur ad 45 gradus.
    (Ap152) Valet tamen ista tabula in omni regione per hunc modum: quia ad maiorem latitudinem regionis sequitur maior ascensionum differentia et ad minorem minor; item ad maiorem latitudinem regionis sequitur minor altitudo arietis, et e converso, ut dictum est; et ideo ad maiorem vel minorem altitudinem arietis sequitur maior vel minor ascensionum differentia, quia ad maiorem minor et e converso ad minorem maior. Quanto igitur umbra arietis in aliqua regione maior est 12 punctis, de tanto, per prius dicta, altitudo arietis est minor 45 gradibus; et per consequens de tanto maiorantur differentiae ascensionum in illa regione ultra differentias ascensionum loci, in quo altitudo arietis est 45 graduum. Et de quanto umbra arietis in aliqua regione minor est 12 punctis, de tanto altitudo arietis maior est 45 gradibus; et per consequens de tanto minorantur differentiae ascensionum differentiis ascensionum loci illius, ubi aries elevabatur ad 45 gradus.
    (Ap153) Et ut ostendatur haec tabula communis esse ad omnes regiones, accipe differentiam ascensionis primi gradus arietis in circulo directo et ascensionis eiusdem in circulo obliquo, et illius sinum per umbram arietis in illa regione, ad quam vis, divide, et exibit numerus quotiens idem qui est positus e directo primi illius unius gradus in tabula ista; et sic de aliis. Numerus igitur positus in tabula est multiplex, ad quamlibet umbram, sed non est idem denominator +multiplicans sui+ ad umbram quamlibet.
    (Ap154) Hiis praemissis dicit canon (85b-87) quod, si ascensiones uniuscuiusque gradus vel signi volueris invenire in regione qualibet, tunc umbram initii arietis, id est umbram quam facit res erecta, sole existente in initio arietis et irradiante supra rem erectam, in hoc quod in directo unius gradus inveneris in tabula differentiae ascensionum universae terrae (BC11), multiplica, quia illud semper est multiplex ad umbram, sicut dictum est; et summae provenientis, quia est sinus quidam, portionem circuli quaeras, quae erit differentia primi gradus arietis, id est, de quanto minus elevatur de aequinoctiali cum primo gradu arietis in circulo obliquo quam in directo. Et similiter eandem umbram multiplica in id quod est in directo 2 graduum in eadem tabula, et invenies eorum differentiam eodem modo; et sic facias in omnibus gradibus usque ad 180, si velis, supple, facere tabulam ad 6 signa tantum.
    (Ap155) Postquam autem (86) differentias ascensionum omnium graduum infra 180 inveneras, minue differentiam primi gradus arietis iam inventam de elevatione primi gradus arietis in circulo directo, et remanebit ascensio primi gradus arietis et ultimi gradus piscium in circulo obliquo; et eandem differentiam adde elevationi primi gradus arietis in circulo directo, et habebis elevationem ultimi gradus virginis et primi gradus librae.
    (Ap156) Si vero (87) velis facere tabulam (BD*) ad totum circulum, minue elevationes primi gradus arietis de 360 gradibus, et remanebunt ascensiones quae sunt ab initio arietis usque ad finem 29'i gradus piscium in eadem regione; et adde ascensiones, quae sunt ab initio arietis usque ad <finem> primi gradus librae, supra 180 gradus, et habebis ascensiones quae sunt ab initio arietis usque in finem primi gradus librae; minue etiam ascensiones primi gradus librae de 180 gradibus, et remanebunt ascensiones ab initio arietis usque in finem 29'i gradus virginis. -- Deinde etiam minues differentiam ascensionum in circulo directo et obliquo ad duos gradus arietis de elevatione duorum graduum arietis in circulo directo, et remanebit ascensio duorum graduum arietis in circulo obliquo; adde etiam eandem differentiam supra ascensiones duorum graduum arietis in circulo directo, et habebis ascensiones duorum graduum librae in circulo obliquo. Minue etiam ascensionem istam duorum graduum arietis in circulo obliquo de 360 gradibus, et remanebunt ascensiones signorum quae sunt ab initio arietis usque ad finem 28'i gradus piscium; et adde ascensiones duorum graduum librae in circulo obliquo supra 180, et habebis ascensiones signorum quae sunt ab initio arietis usque in finem secundi gradus librae. Minue etiam elevationes duorum graduum librae in circulo obliquo de 180, et remanebunt elevationes quae sunt ab initio arietis usque in finem 28'i gradus virginis.
    Per hunc modum facies per omnes gradus circuli et compones tabulas ascensionum ad quemcumque locum in quo sciveris altitudinem arietis vel umbram eius.
    (Ap157) Verbi gratia, umbra arietis circa Parisius est 13 punctorum et 26 m'orum et 4 s'orum, quam reduces ad 48364 secunda. Deinde, quia per dicta illud, quod ponitur in tabula diversitatis differentiae ascensionum in universa terra (BC11), est multiplex ad umbram quamlibet, ideo (85b) umbram istam, scilicet 48364 secundorum, multiplica per illud quod e directo unius gradus inveneris in illa tabula, reducendo totum ad 3'a, tot scilicet 318, et exibunt post multiplicationem in quintis 15379752; quibus reductis ad fractiones diversi generis, exibunt unum minutum 11 2'a et 12 3'a, quae sunt sinus cuiusdam portionis, quam quaeras.
    Et erit sic operandum, quia modum istum non prius vidisti: quia huius sinus dati non invenies simile nec minus in tabula (BA11), quanta igitur portio est sinus iste datus de sinu posito e directo unius gradus arietis, qui est sinus minimus totius tabulae sinus, tantam portionem oportet invenire de uno gradu. Sicut ergo sinus ille in tabula se habet ad sinum datum, sic unus gradus vel 60 m'a se habent ad quandam partem sui: duc igitur 60 m'a <unius> gradus in sinum datum, et exibunt 256320 4'a; et istum divide per sinum inventum in tabula, redactum ad tertia tot 4425, et exibunt in fine 27 m'a et fere 12 2'a. Et istud est differentia quae est inter ascensiones primi gradus arietis in circulo directo et obliquo, quia de tanto arcu aequinoctialis minus elevatur cum primo gradu arietis in circulo obliquo quam in directo circulo.
    Hanc igitur (86) differentiam subtrahas de ascensionibus primi gradus arietis in circulo directo, scilicet de 55 minutis, et remanent 27 m'a et 48 2'a -- sed tabula accipit praecise 28 m'a -- et haec est ascensio primi gradus arietis in circulo obliquo circa Parisius; et istud idem invenies e directo primi gradus arietis ad tabulas ascensionum septimi climatis (BG17). -- Eodem modo (87) multiplica eandem umbram arietis in illud quod est e directo duorum graduum in tabula diversitatis differentiae ascensionum et cetera, et sinus exeuntis quaeras portionem; quam minuas de ascensionibus duorum graduum arietis in circulo directo, et remanebit ascensio duorum graduum arietis in circulo obliquo; et sic de aliis gradibus. -- Si autem (86,87) differentias istas addideris supra elevationes primi gradus arietis in circulo directo, et supra elevationes graduum duorum, reddendo singulam singulis, habebis elevationes primi gradus librae et etiam duorum. Reliqua pars tabulae per iam dicta pertractetur, sicut dictum est prius.
    (Ap158) Si autem volueris elevationem totius arietis (88): docet auctor invenire ascensiones cuiuslibet signi integri in circulo obliquo. Et est sententia capituli breviter talis: si velis elevationem totius arietis, puta in 7'o climate, tunc differentiam arietis, inventam vel inveniendam per umbram arietis in 7'o climate et per tabulam diversitatis differentiae ascensionum in universa terra, minue de elevatione totius arietis in circulo directo, et remanebit elevatio totius arietis in circulo obliquo. Et adde eandem differentiam, eidem scilicet elevationi totius arietis in circulo directo, et habebis elevationem librae in circulo obliquo eiusdem regionis, scilicet 7'i climatis. -- Et eodem modo in aliis, quia accipies per umbram arietis in tabula diversitatis ascensionum, et cetera, differentiam ascensionum arietis et tauri, et eam ab ascensionibus eorundem in circulo directo minuas, et eisdem eandem addas; et habebis ascensiones arietis et tauri minuendo, et oppositorum, scilicet librae et scorpionis, addendo.
    Et similiter facies cum tribus signis, scilicet ariete tauro et geminis, quia subtrahendo eorum differentiam ab ascensionibus eorum in circulo directo habebis eorum ascensionem in circulo obliquo, et addendo eandem eisdem habebis ascensionem trium eis oppositorum. Quanta etiam est ascensio arietis, tanta est piscium; et quanta tauri et geminorum, tanta est aquarii et capricorni; et quanta est librae ascensio, tanta est virginis; et quanta est ascensio scorpii et sagittarii, tanta est etiam leonis et cancri. Et ita solum necesse est differentias ad unam quartam circuli invenire ad habendum ascensiones totius circuli; et ideo tabula diversitatis differentiae ascensionum protenditur ad 90 gradus.

(Ap159) Cum autem scire volueris ascensionem (89-94): docet auctor hic invenire ascensionem cuiuslibet gradus et cuiuslibet portionis zodiaci in circulo obliquo per tabulam (BD*). Et quia sententia capituli plana est, sit haec forma operandi: accipe gradum quem velis: et per "gradum" hic intellego portionem quae est ab initio arietis usque ad gradum determinatum. Considera igitur, in quo signo et quotus illius signi sit gradus ultimus portionis datae, cuius velis ascensionem invenire; et quotus ille gradus fuerit a principio signi, e directo tot graduum in sinistro latere tabulae, sub illo signo cuius est gradus ultimus portionis datae, quod inveneris accipe; et illud est quod elevatur de aequinoctiali cum gradibus portionis datae. Et innuit auctor istum canonem proprium esse tabulae elevationum signorum in circulo obliquo ad civitatem Cremonam (BD20). -- Si igitur in portione data praecise sunt gradus, iam facile est invenire, quantum cum ea de aequinoctiali elevatur.
    (Ap160) Si vero (90) in portione tua ultra gradus sint minuta -- verbi gratia, sit portio data 99 gradus cum 40 minutis -- tunc intra tabulas civitatis Cremonae, vel septimi climatis, cum 9 gradibus primo; et e directo eorum sub cancro, quia 90 gradus valent 3 signa, 9 autem gradus sunt cancri, accipe elevationem scriptam, scilicet ad 7'm clima (BG17), et est 70 gra et 57 m'a, et illud ponas extra in pulvere. Deinde intra pro minutis portionis datae ad decem, et e directo eorum, etiam sub cancro, accipe quod inveneris, scilicet 72 gra et 8 m'a. Quo facto, differentiam utrarumque ascensionum accipies, subtrahendo scilicet unam ab alia, et est differentia earum in minutis 71; quibus multiplicatis per minuta portionis, scilicet per 40, exibunt 2840 2'a; quibus divisis per 60 m'a unius gradus exibunt 47 m'a, praeter 20 2'a, de quibus nihil cures. -- Hanc igitur partem proportionalem addas ascensioni primae -- semper enim addes primae -- et resultabunt 71 gradus et 44 m'a: tantum igitur de aequinoctiali est elevatum supra horizontem circa medium septimi climatis cum 99 gradibus et 40 minutis, incipiendo ab ariete.
    Quod sic imaginandum est quod, quando inter arietem, existentem supra horizontem, et ipsum horizontem fuerit portio 99 graduum et 40 minutorum, tunc portio aequinoctialis 71 graduum et 44 minutorum est inter punctum contactus zodiaci cum aequinoctiali -- quod punctum dicitur initium vel caput arietis -- et ipsum horizontem, computando ab ariete versus orientem secundum successionem signorum.
    (Ap161) Si autem volueris scire elevationes 5 graduum (91-92): esto quod velis scire, quantum de aequinoctiali elevatur cum 9 gradibus solummodo ipsius cancri, ubicumque inceptis, puta cum 9 ultimis gradibus cancri. Tunc, sicut dicit canon, accipe ascensiones quae sunt e directo gradus qui immediate praecedit primum illorum novem graduum. Cum ergo primus istorum 9 est 22'us gradus eiusdem cancri, accipe e directo gradus praecedentis, scilicet e directo 21'i, ascensiones scriptas, scilicet 85 gra 52 m'a, et eas de ascensionibus ultimi gradus eorundem 9, qui est signi eiusdem, scilicet cancri, subtrahe, et remanebunt 11 gradus 55 m'a; et tantum de aequinoctiali elevatur cum 9 ultimis gradibus cancri.
    Quod sic imaginandum est quod, fine cancri existente in horizonte ad orientem, portio aequinoctialis, intercidens inter horizontem et punctum sui correspondens principio 22'i gradus cancri, est 11 gra et 55 minutorum.
    (Ap162) Si etiam (92) cum istis gradibus essent minuta, oporteret aequare pro illis, sed vide quomodo: si cum illis 9 gradibus sint 40 m'a, pro illis minutis accipe de ascensione, quae debetur soli vicesimo primo gradui cancri, tantam partem, quanta pars sunt 40 m'a de uno gradu vel de 60 minutis. Ascensionem autem illius gradus 21'i sic invenies, quia ascensiones, quae sunt e directo 20'i gradus cancri, subtrahes de ascensionibus quae sunt e directo 21, et remanet ascensio illius vicesimi primi, scilicet unus gradus et 19 m'a, quod valet 79 m'a. Haec ergo minuta per 40 minuta portionis multiplica, et exibunt 3160 2'a; quibus divisis per 60 minuta unius gradus exibunt fere 53 minuta, quibus ad ascensiones cum 9 gradibus acceptas additis, habebis 12 gra et 48 m'a, quae sunt ascensiones 9 graduum et 40 minutorum ad finem cancri.
    (Ap163) Si etiam scire libuerit (93): esto quod velis scire, quot sunt elevationes, id est, quanta pars aequinoctialis debetur parti alicui zodiaci interiacenti inter quaecumque duo puncta sui, puta parti quae est inter finem decimi gradus cancri et principium decimi gradus leonis -- sic enim intellegendus est passus iste canonis -- tunc ascensiones e directo decimi gradus cancri minues de ascensionibus, quae sunt e directo decimi gradus leonis, et remanebunt ascensiones graduum mediorum, scilicet inter finem decimi gradus cancri et principium decimi gradus leonis, scilicet 39 gradus et 12 m'a.
    Et addere potes quod, subtrahendo ascensiones quae sunt e directo decimi gradus cancri de ascensionibus quae sunt e directo undecimi gradus leonis, habebuntur ascensiones quae sunt a fine noni cancri usque in finem decimi leonis; et quod, subtrahendo ascensiones 9'i gradus cancri de ascensionibus decimi gradus leonis, exibunt ascensiones quae sunt a principio noni gradus cancri usque in principium decimi gradus leonis.
    (Ap164) Si vero id quod est in directo primi gradus (94): quia esto quod tu velis scire, quanta sit portio aequinoctialis, quae debetur portioni zodiaci quae est inter decimum gradum piscium et vicesimum arietis, secundum successionem signorum eundo, non ab ariete ad pisces, sed e converso a piscibus ad arietem. Intra igitur cum 10 gradibus piscium, et e directo ascensiones invenies, scilicet 350 gra 32 m'a. Deinde in eadem tabula e directo vicesimi gradus arietis accipe ascensus, scilicet 9 gra et 28 m'a. Cum ergo elevationes piscium debent de elevationibus arietis subtrahi, tunc supra ascensiones arietis iam acceptas addas 360 gradus, qui sunt totus circulus, et erunt in toto 369 gradus et 28 m'a, a quibus iam demas ascensiones repertas in piscibus; et remanebunt 18 gra et 56 m'a. Tantum enim de aequinoctiali correspondet in 7'o climate portioni quae est inter finem decimi gradus piscium et principium vicesimi gradus arietis. -- Si autem vice versa velles elevationes portionis quae est inter 20'm gradum arietis et decimum piscium, ascensiones vel elevationes 20'mi gradus arietis de ascensionibus decimi gradus piscium oporteret subtrahere, et residuum esset quaesitum.
    (Ap165) Et notandum quod subtrahere ascensiones, quae sunt a principio arietis usque ad decimum gradum piscium, ab ascensionibus, quae sunt a principio arietis usque ad vicesimum gradum arietis, et ab ascensionibus totius circuli, scilicet 360 graduum, est addere ascensiones 20 graduum ultimorum piscium supra ascensiones 20 graduum arietis.

(Fig.: A,88va)

Sit enim AB arcus mihi notus, et ACD similiter mihi notus, et DA mihi ignotus, et per consequens DB arcus erit mihi ignotus. Si igitur ACD subtrahatur de toto, ACDA, remanens arcus DA mihi notus erit, et per consequens arcus DAB, addendo arcum BA super DA. Sint igitur ascensiones, quae sunt a decimo gradu piscium ad arietis principium, designatae per arcum DA; ascensiones autem, quae sunt a principio arietis usque ad vicesimum gradum eiusdem, sint designatae per arcum AB; ascensiones autem, quae sunt a principio arietis usque ad decimum gradum piscium, designentur per arcum ABCD. Constat autem quod, ad sciendum arcum DAB quantus sit, non scietur per subtractionem arcus AB de arcu ABCD: sic enim remaneret arcus BCD; nec per subtractionem arcus AB de toto circulo: sic enim remaneret arcus BCDA; quorum neuter quaeritur. Oportet ergo arcui AB totum circulum addere <**>, et hoc est idem ac si arcum ABCD de toto circulo demerem et residuo, scilicet arcui DA, arcum AB superadderem. Et ideo, ad habendum arcum DAB, totum circulum oportet arcui AB addere et a toto arcum ABCD demere; et hoc facere est addere arcum AB super arcum DA.

(Ap166) Cum autem volueris reducere (95): haec est doctrina conversa doctrinae capituli praecedentis, saltim quantum ad primam partem capituli: docet enim auctor per gradus ascensionum invenire gradus zodiaci, qui dicuntur gradus aequales. Docet ergo auctor hic per tabulas (BD*) invenire, quantum de zodiaco oritur cum aliqua portione aequinoctialis data. Et hoc est reducere gradus ascensionum in gradus aequales: gradus enim ascensionum sunt gradus aequinoctialis, gradus autem aequales gradus zodiaci vel, magis proprie, eclipticae.
    (Ap167) Sententia autem capituli est: cum volueris reducere gradus ascensionum, id est gradus aequinoctialis datos, in gradus aequales, qui sunt zodiaci, considera, cuius signi sint illi gradus reducendi: puta, sint 8 gradus, et sint gradus illi tauri. Tunc super gradus illos addas omnes ascensiones, quae ponuntur in tabula e directo ultimi gradus praecedentis signi, scilicet arietis; et simile aggregato, scilicet 22 gradibus et 33 minutis, quaere in eisdem tabulis inter gradus ascensionum, vel quaere minus, propinquius tamen, et invenies (BG17) sub tauro 22 gra et 32 m'a; quos et quae de gradibus prius habitis et minutis subtrahas, et gradus e directo numeri inventi, versus dextram in prima linea stantes, accipias, et sunt 14, qui sunt gradus zodiaci vel aequales de tauro. -- Et deinde, quia remansit unum minutum post subtractionem graduum et minutorum, inventorum inter ascensiones, de 22 gra et 33 minutis, ideo oportet invenire, quanta portio zodiaci correspondet illi uni minuto aequinoctialis. Quod sic invenitur, sicut aequando per sinum invenitur portio circuli: quia multiplicabis illud unum minutum per 60 m'a gradus, et exibunt 60 2'a; et productum divides per differentiam numeri, ad quem intrasti, et numeri in proxima linea sequenti positi, quae differentia est 34 m'a, et exibit unum minutum et, si velis, 26 2'a; quibus additis supra 14 gradus zodiaci prius acceptos, habebis portionem zodiaci correspondentem 8 gradibus tauri de aequinoctiali. Et hoc est quod dicit canon.
    Sed ponamus alium casum, quem canon innuit, in quo non oportet intrare tabulas nisi semel: quia esto quod portio aequinoctialis sit 8 gra et 33 m'a, et sit haec portio tauri. Super istud igitur addas, sicut dicit canon, id quod est e directo ultimi gradus signi praecedentis, scilicet arietis, et habebis 23 gra et 6 m'a; cuius numeri simile in eisdem tabulis quaere, et invenies praecise sub tauro 23 gra et 6 m'a; et e directo eorum in prima linea tabulae invenies 15 gradus, et illi sunt gradus aequales, correspondentes portioni aequinoctialis primo propositae, scilicet 8 gradibus et 33 m'is.

(Ap168) Si vero reducere volueris (96-97): postquam auctor docuit per gradus aequales invenire gradus ascensionum, nulla ascensionum supposita, docet hic consequenter, ascensione totius signi supposita, ascensiones alicuius partis determinatae illius signi zodiaci invenire. Et primo (96) facit hoc, et secundo (97) docet huius conversam, cum dicit Si autem volueris convertere.
    (Ap169) Primo (96) dicit sic: Si volueris reducere gradus aequales in gradus ascensionum, id est si volueris invenire gradus aequinoctialis correspondentes gradibus zodiaci datis, si velis hoc per numerum calculando, scilicet absque tabula, tunc gradus quot velis, scilicet aequales, multiplica in gradus elevationum signi eiusdem, totius supple; et collectum divide per 30, qui sunt gradus aequales cuiuslibet signi, et exibunt gradus ascensionum. Et si post divisionem remanserit aliquid dividendum, multiplices illud per 60, et productum divide ut prius per 30, et exibunt minuta; quibus ad gradus prius exeuntes additis, habebis ascensiones graduum propositorum, et minutorum, si cum gradibus aequalibus fuerint minuta.
    Sint gradus aequales 20 gradus tauri et 20 m'a; quod reducatur ad m'a, et erunt 1220. Istud ergo multiplices per ascensionem totius tauri in minutis acceptam, quae sunt 1121, et exibunt in secundis 1367620; quae dividas per 30 gradus aequales, et exibunt secunda sicut prius, scilicet tot 45587; de decem autem remanentibus nihil cures, sed tot secunda, quot iam exiverunt, sunt ascensio graduum quaesitorum, 20 scilicet tauri. Haec ergo ad gradus et minuta reducas, dividendo per 60, et exibunt in fine 12 gra et 39 m'a et 47 2'a; et haec sunt portio aequinoctialis quae elevatur ad 7'm clima cum 20 gradibus et 20 minutis tauri.
    (Ap170) Sed tamen, si intraretur ad tabulas septimi climatis cum 20 gradibus tauri et 20 minutis, solum haberes 11 gradus et 58 m'a et 20 secunda, ita quod erratum est in operando per capitulum istud fere ad 40 minuta in proposito. Causa autem erroris est quia in isto capitulo supponitur quod, quanta est ascensio unius gradus signi alicuius, tanta sit et cuiuslibet alterius gradus illius signi; quod manifeste falsum est, quia ascensio primi gradus tauri est 33 m'a, ascensio autem ultimi gradus eiusdem est 43 m'a.
    Quod autem aequalitas ascensionum singulorum graduum hic supponatur, patet, quia vult quod gradus aequales signi dati multiplicentur per ascensiones totius signi illius, et quod productum per 30 gradus aequales dividatur. Quasi auctor sic argueret: sicut se habent 30 gradus aequales signi ad gradus datos, sic ascensiones totius signi illius ad quandam partem sui; quae argumentatio non tenet nisi in proportione uniformi partium utrorumque totorum adinvicem. -- Esto enim quod haec tria, scilicet A,B,C, valeant sex: tria igitur est unum totum et sex aliud sibi correspondens. Si igitur A valet unum, B duo, et C 3, non valet sic arguere: "sicut se habet totum, ABC, ad duo, scilicet AB, sic sex se habent ad quandam partem sui; sed ABC habet se ad 2, scilicet AB, in proportione sexquialtera; ergo sex se habebunt ad partem sui correspondentem, AB, in proportione sexquialtera". Haec argumentatio concludit oppositum posito, quia concludit quod "sicut 6 correspondent 3, scilicet ABC, sic 4 duobus, scilicet AB", cum tamen positum est A et B valere 3, quia A unum et B duo; argumentatio autem supponit quodlibet illorum trium, scilicet A,B,C, valere duo. Et ita consimiliter est in proposito.
    Haec eadem est causa quare, in operando de sinibus per kardagas vel e converso, non provenit idem operando cum tabulis et sine tabulis. Et istud nota diligenter, quia hic latet hamus, etiam magnis.
    (Ap171) Si autem volueris convertere (97): docet e converso ascensioni datae invenire gradus aequales correspondentes. Dicit sic: Multiplica gradus ascensionis datae in 30, qui sunt gradus aequales, et productum divide per ascensiones totius signi illius, cuius sunt gradus ascensionum accepti, et exibunt gradus aequales; quod vero dividendum remanserit, multiplices per 60, et productum divide ut prius per ascensiones totius signi, et exibunt minuta; quibus ad gradus prius exeuntes superadditis, habebis gradus aequales cum minutis, qui et quae gradibus ascensionum primo propositis correspondent.
    Sint gradus ascensionum 12 et 40 m'a tauri; quae redacta ad 760 m'a multiplices per 30, et exibunt 22800 m'a; quibus divisis per ascensionem totius tauri, ad minuta redactam, scilicet 1121, exibunt 20 gradus. Deinde minuta residua, scilicet 390, ad secunda reducas, scilicet tot 23400, et divide ut prius, et exibunt 21 m'a; quibus ad gradus prius exeuntes additis, habebis gradus aequales qui debentur elevationi primo datae, scilicet 12 gra et 40 minutis.
    Si etiam ad tantam ascensionem velles quaerere gradus aequales per tabulas, a iam habito utique discordares; cuius causa tibi iam proximo est ostensa, sicut credo, sine praeiudicio melius imaginantis.

(Ap172) Cum portionem circuli directi (98-111): docet inventionem ascensionum, vel determinat de ascensionibus signorum ut comparantur ad quantitatem diei ex eis +tantam+. Et facit duo, quia primo (98-101) docet per ascensiones signorum invenire quantitatem arcus diurni et nocturni, et secundo (102-111) ex arcu diurno invento docet invenire horas diei cuiuslibet et noctis, ibi Ut autem invenias. -- Primo (98) docet invenire arcum diei vel diurnum sine tabulis per ascensiones signorum, et secundo (99-101) cum tabulis, cum dicit Si vero volueris idem per tabulas.
    (Ap173) Dico autem ad evidentiam capituli quod arcus diurnus est portio aequinoctialis transiens supra horizontem ab ortu solis ad eius occasum; nocturnus autem est portio aequinoctialis transiens supra horizontem ab occasu solis usque ad eius iterato ortum. -- Qui arcus sic imaginabuntur, quia arcus diurnus est portio aequinoctialis, cadens inter punctum contactus sui cum horizonte ad orientem et punctum contactus sui cum horizonte ad occidentem, quando centrum solis est in horizonte ex parte orientis: portio, dico, secundum successionem signorum computata ab oriente ad occidentem per angulum terrae. Arcus autem nocturnus est portio aequinoctialis residua, scilicet quae est inter punctum contactus sui cum horizonte ad orientem et punctum contactus sui cum horizonte ad occidentem, in hora quando centrum solis est in horizonte ex parte occidentis: portio, dico, contra successionem signorum computata ab occidente in orientem, per angulum terrae etiam transiens. Unde, licet isti arcus sibi ipsis nunc sunt maiores, nunc minores, arcus tamen zodiaci de die transeuntes vel de nocte sibi et inter se semper sunt aequales, quia semper 6 signa sunt supra hemisphaerium nostrum et cuiuslibet alterius regionis, et 6 alia infra. -- Et nota quod auctor hic appellat aequinoctialem "circulum directum".
    (Ap174) Dicit igitur sic (98): Cum volueris portionem circuli directi, id est aequinoctialis, diei, id est in die elevatam, invenire, tunc quaere elevationes signorum quae sunt a gradu solis usque in oppositum eiusdem, id est, quaere partem aequinoctialis correspondentem parti zodiaci quae est inter gradum, in quo sol est illo die, et gradum gradui solis oppositum; quas, scilicet elevationes, sic invenies, quia accipies elevationes graduum, qui sunt a gradu solis usque ad finem signi illius in quo sol fuerit illo die; et hoc facias, supple, sine tabulis, per doctrinam illius capituli Si vero reducere volueris. Et accipe similiter omnes elevationes graduum qui sunt a principio signi, in quo est gradus oppositus gradui solis, usque ad gradum oppositum gradui solis; quod etiam facies per doctrinam eiusdem capituli Si vero reducere volueris. Quibus elevationibus ad prius extractos additis, adiungas ascensiones omnium signorum, existentium scilicet inter signum, in quo est gradus solis, et inter signum in quo est gradus oppositus gradui solis; et habebis portionem circuli directi, portionem dico transeuntem in die, et haec portio dicitur arcus diurnus.
    Quia istud capitulum supponit quod volens operari secundum ipsum praesciet elevationes cuiuslibet signi totalis; item supponit ex praecedenti capitulo, scilicet illo Si vero reducere volueris, quod gradus signi cuiuslibet de zodiaco aequales habent ascensiones; quorum duorum primum est difficile, et secundum ex toto per praehabita falsum et impossibile; ideo de operando secundum capitulum istud videtur desistendum. Existente tamen primo, et dato et concesso secundo, aliquo modo grosso saltim arcus diurnus poterit inveniri.
    (Ap175) Si vero volueris idem per tabulas (99): haec doctrina est praecisae veritatis. Et nota quod auctor vocat gradum illum "nadir solis", qui est oppositus gradui solis. Et generaliter per "nadir" intellegere debes omnem punctum directe oppositum cuicumque puncto dato: puta, primus gradus librae est nadir primi gradus arietis et e converso, et secundus gradus librae est nadir secundi gradus arietis et e converso.
    Hoc praeintellecto dicit auctor quod, si volueris idem, scilicet arcum diurnum, invenire per tabulas (BD*), tunc minues ascensiones gradus solis, id est, illius gradus in quo sol est, ab ascensionibus nadir eius, scilicet solis vel gradus solis; et illud quod remanserit est portio circuli diei, id est, est portio aequinoctialis in die transiens supra horizontem. Illud enim, quod ibi remanet, est arcus aequinoctialis qui est inter punctum sui, quod oritur cum gradu solis, et punctum sui quod occidit cum nadir solis: portio, dico, computata secundum successionem signorum.
    (Ap176) Si autem ascensiones (100): dicit, cautelam dando, quod, cum ascensiones gradus solis ad habendum arcum diei ab ascensionibus nadir gradus solis debeant minui, si contingat ascensiones gradus solis maiores esse ascensionibus nadir gradus solis, tunc ascensionibus minoribus 360 gradus addi debent et a toto subtrahi quod debet, sicut etiam prius dicebatur in illo capitulo Cum autem scire volueris ascensionem, in fine.
    (Ap177) Et si volueris portionem etc. (101): docet invenire arcum nocturnum faciliter, hoc modo, dicens: Si volueris portionem circuli directi, id est aequinoctialis, de nocte transeuntis, tunc minue portionem arcus diurni de 360, id est de toto aequinoctiali, et remanebit arcus nocturnus et de nocte transiens supra horizontem.
    Ponatur igitur sol esse in gradu ultimo geminorum: ideo accipias elevationes quae sunt e directo illius ultimi gradus geminorum (99), et sunt 60 gradus et 32 m'a. Deinde accipias elevationes quae sunt e directo ultimi gradus sagittarii, qui est nadir ultimi gradus geminorum, qui est gradus solis, et invenies ibi 299 gra et 28 m'a; de quibus priores subtrahens, habebis in residuo scilicet 238 gradus et 56 m'a, qui sunt in arcu diurno. Tot enim gradus oportet in die illo, quo sol est in ultimo gradu geminorum, elevari supra horizontem ab ortu solis usque ad eius occasum de aequinoctiali. Quem arcum si de toto circulo, scilicet de 360 gradibus, subtraxeris (101), remanebit arcus nocturnus, scilicet 121 gradus et 4 m'a, quia, cum totus aequinoctialis in die et nocte elevatur, quicquid de die non elevatur, necessario de nocte elevabitur, et e converso.

(Ap178) Ut autem invenias (102-11): docet ex portione diei vel noctis inventa horas diei et noctis invenire.
    Et hic est advertendum quod hora diei vel noctis est duplex, scilicet aequalis et inaequalis. -- Hora aequalis est spatium temporis, quo 15 gradus de aequinoctiali oriuntur. Et ideo, cum de die aliquando plus, aliquando minus oritur de aequinoctiali, ideo contingit horas aequales aliquando plures esse in die, aliquando pauciores, et de nocte similiter. Sed semper sunt tales horae 24 in die et nocte coniunctim, quia, si totus aequinoctialis per 15 dividatur, exibunt 24 praecise. -- Hora autem inaequalis est pars diei duodecima, sive longa fuerit sive brevis, et de nocte similiter. Et ideo, quia dies aliquando est brevior, aliquando est longior, ideo est necessarium horam inaequalem diei aliquando esse longioris durationis et aliquando brevioris.
    (Ap179) Et quanto hora inaequalis diei longior est quam spatium elevationis 15 graduum de aequinoctiali, tanto hora inaequalis noctis sequentis diem illum est brevior quam spatium temporis in elevatione 15 graduum, et e converso, quia hora inaequalis diei et hora inaequalis noctis coniuncti valent semper 30 gradus. -- Cuius ratio est quia, cum totus aequinoctialis elevatur die et nocte, si dividatur per 12, quae sunt numerus horarum inaequalium tam diei quam noctis, semper exibunt 30 gradus: 30 igitur gradus aequinoctialis orientur in una hora inaequali diei et in una noctis, quae coniunctim acceptae sunt 12'a pars diei et noctis simul, sicut 30 gradus sunt pars 12'a totius aequinoctialis.
    (Ap180) Facit autem auctor hic (102-11) duo: primo enim (102-08,111) docet invenire horas diei tam aequales quam inaequales, et secundo (109-10) docet eas in invicem convertere, ibi Et si volueris. -- Primo (102-06) docet hoc per tabulas ex arcu diei invento, et secundo (107-08,111) ex arcu diei invento per altitudinem solis, ibi Si autem volueris scire. -- Primo adhuc (102-04) docet invenire horas diei et noctis inaequales, et secundo (105-06) aequales, cum dicit Si vero velis.
    (Ap181) Et quia horae inaequales sunt semper 12, tam in die quam in nocte, ideo docet invenire partes horarum inaequalium, id est, quantum aequinoctialis oritur in hora inaequali cuiuslibet diei vel noctis. Dicit igitur sic (102): ad hoc ut tu invenias numerum partium horarum diurnarum, id est ad hoc ut invenias numerum graduum et minutorum in aliqua hora diei, scilicet inaequali, divide portionem diurnam circuli, scilicet aequinoctialis, per 12, et exibit numerus partium horarum illius diei.
    (Ap182) Si autem (103) volueris partes horarum noctis eiusdem, scilicet diei, scire, tunc partes horarum diei minues de 30, et remanebunt partes horarum noctis; cuius causa visa est. Vel (104) portionem circuli nocturnam dividas per 12, sicut fecisti in die.
    (Ap183) Esto quod portio diei per artem prius traditam sit 238 graduum et 56 minutorum. Quae si dividatur per 12, sicut praecipit canon (102), exibunt 19 gra et 54 m'a et 40 s'a; et tantum elevatur de aequinoctiali in qualibet parte diei duodecima. -- Et hii gradus et haec minuta vocantur "numerus partium horarum inaequalium diei"; et bene dicitur "inaequalium", quia partes istae quorumlibet duorum dierum anni sunt inaequales, hic plures et ibi pauciores.
    Si autem velis partes horarum inaequalium noctis, duobus modis hoc dixit canon (103-04) posse fieri. Primo modo, subtrahendo numerum partium horarum diei de 30 gradibus, et in proposito manebunt 10 gradus et 5 m'a et 20 secunda; vel alio modo, dividendo arcum noctis, qui erat inventus 121 gra et 4 m'a, per 12, et exibunt 10 gra et 5 m'a et 20 secunda.
    (Ap184) Divides autem arcum diurnum vel nocturnum per 12 hoc modo faciliter: primo enim dividas numerum graduum per 12, et exibunt gradus; postea gradus, si qui remanserint, reducas ad minuta, et eis minutis, si qua sunt cum arcu dato, addens dividas sicut prius per 12, et exibunt minuta; minuta etiam, si qua remanserint dividenda, reducta ad secunda iterum sicut prius per 12 divide, et exibunt secunda. Et quod ex hiis gradibus, minutis atque secundis collectum fuerit, est numerus partium horarum diei inaequalium, si arcum diurnum divisisti, vel noctis, si arcum nocturnum divisisti.
    (Ap185) Si etiam velis partes horarum cuiuslibet diei faciliter sine divisione arcus diurni, videas gradum, in quo sol est illo die, et e directo illius sub signo, in quo est sol, accipe in tabulis ascensionum in circulo obliquo (BD*) quod scriptum est statim post ascensiones signi in linea versus dextram, quae linea intitulatur "partes horarum". -- Verbi gratia, ponatur quod sol sit in ultimo gradu geminorum, sicut in praecedentibus operationibus suppositum fuit. Accipe ergo quod inveneris in tabulis e directo ultimi gradus geminorum in linea quae intitulatur "partes horarum" (BG17.Pph), et invenies ibi 19 gradus et 54 m'a: tantum etiam habuimus iam supra, dividendo arcum diurnum per 12, et cum hoc habuimus 40 secunda, de quibus auctor tabulae non curavit. Et haec est dies longior in anno, et nox eius brevior.
    Si etiam partes horarum diei per hunc modum inventas de 30 gradibus minueris, remanebunt partes horarum noctis.
    (Ap186) Si vero volueris invenire (105): auctor docet hic breviter invenire horas diei aequales, dicens: dividas portionem circuli diei per 15, et exibit numerus horarum diei aequalium. -- Cuius ratio est quia hora aequalis est per prius dicta (:Ap178) spatium temporis, quo 15 gradus aequinoctialis oriuntur; et ideo, facta divisione arcus diei per 15, exibit numerus ostendens quotiens 15 gradus aequinoctialis de die elevantur, et tot dicentur horae aequales in die illo.
    (Ap187) Quas, sicut auctor dicit (106), si de 24 minueris, remanebunt horae aequales noctis. -- Cuius ratio est quia in die et nocte coniunctim sunt 24 horae aequales, sicut et inaequales, licet inaequales sunt semper 12 tam in nocte quam in die; quanto igitur plures fuerint de horis aequalibus quam 12, tanto pauciores erunt in nocte quam 12. -- Et addit auctor: si portionem noctis per 15 diviseris, exibunt etiam horae aequales noctis.
    Verbi gratia, sit arcus diurnus sicut prius (:Ap177) 238 et 56 m'a. Tu igitur (105) dividas hoc totum per 15, redigendo totum ad idem genus, scilicet ad tot minuta 14336 prius, et exibunt 956 minuta; quae dividas per 60, quia tot sunt minuta unius horae, et exibunt 15 horae, et cum hoc 56 minuta, ita quod non deficiunt nisi 4 minuta de 16 horis, quae sunt quasi in die praeaccepto. Quas horas si de 24 minueris (106), remanebunt horae noctis aequales, scilicet 8 et 4 m'a. -- Et computabis modo diem ab eo tempore, quo sol est in horizonte oriens, usque ad tempus quo sol fuerit in horizonte occidens; et nox erit hic ab eo tempore, quo sol fuerit in horizonte occidens, usque dum fuerit iterato in horizonte oriens.

(Ap188) Si autem volueris scire (107-08,111,121): docet invenire horas diei, tam aequales quam inaequales, solum ex arcu diurno per altitudinem solis invento. Et primo (107-08,111) docet ex altitudine solis invenire horas diei, et secundo (121) docet huius conversam, cum dicit Cum qualibet hora diei. -- Et primo (107-08) docet hoc, sole existente in ariete vel in libra, et secundo generaliter, sole ubicumque in zodiaco existente, in capitulo proximo (111), cum dicit Si autem hoc idem aliter, quod debet proximo post istud poni et legi, sicut mihi videtur.
    (Ap189) Sententia capituli (107-08) stat in isto: si volueris scire horas diei transactas, vel, supple, residuas, per altitudinem solis acceptam, per aliquod instrumentum supple, tunc invenias sinum altitudinis solis, in hora scilicet considerationis tuae, et ipsum multiplices per 150 m'a, et per sinum altitudinis meridianae in die illo productum divide, et exibit quidam sinus, cuius invenias portionem circuli; quae portio erit arcus elevatus de aequinoctiali ab ortu solis, si sit ante meridiem, vel elevandus, si fuerit post meridiem. Hanc igitur portionem divide per 15, et exibunt horae aequales praeteritae de die, si sit ante meridiem, vel residuae, si sit post. Et si sit probatio tua ante meridiem, subtrahe ipsas de 12, quae sunt horae aequales totius diei, sole existente in ariete vel in libra, et remanebunt horae aequales perficiendae de die; vel si fuerit post meridiem, subtrahe eas de 12, et remanebunt horae transactae de die.
    (Ap190) Si etiam (108) diviseris portionem circuli inventam per partes horarum diei illius -- quas invenies sicut dictum est in capitulo illo Ut autem invenias (:Ap178) -- exibunt tibi horae diei inaequales transactae, si consideratio tua est ante meridiem; (Ap191) si vero consideratio tua fuerit post meridiem, tot restabunt perficiendae; et tunc eas de 12 minue, et remanent horae diei praeteritae ab ortu solis.
    (Ap192) Ad ostendendum igitur istud, sit circulus horizon circulus ABC, infra quem superficies extensa visualiter in plano terrae, contingens horizontem omniquaque, sit signata per lineam diametralem DE; et sit punctum horizontis D oriens vernale et E occidens vernale. Sit autem circulus FGH zodiacus vel aequinoctialis, quod idem valet ad propositum, cum sol ponitur esse in ariete vel libra.

(Fig.: A,92vb)

Sit ergo sol elevatus in aliquo die, cum est in ariete vel libra, ad 30 gradus, ante meridiem; cuius arcus, scilicet 30, quaeras sinum (107), et erit 75 m'a praecise, qui sinus signatur per lineam FI. Altitudo autem solis meridiana fit circa Parisius, cum sol est in libra, 41 gra et 47 m'a, quae signatur per lineam KL, cuius sinus est 99 m'a 56 2'a 41 3'a. Medietas autem arcus diurni est arcus MK, scilicet 90 gradus, cuius sinus est linea KN vel NM, qui est 150 m'a. -- Tunc argue: sicut se habet KL ad FI, sic se habet MN ad quiddam sui. Duc ergo secundum in tertium, scilicet sinum altitudinis praesentis, qui est FI, 75 m'a, in sinum totum, qui est MN, scilicet sinus medietatis arcus diurni, 150 minutorum, et exibunt 11250 2'a. Et productum divide per sinum primum, scilicet per KL, qui est in tertiis 359801; et quia productum prius est in secundis, reducas ipsum ad 4'a, tot 40500000; hoc ergo dividas per KL, scilicet per 359801 3'a, et exibunt 112 m'a 33 2'a 44 tertia. Quorum quaeras circuli portionem, et erit 48 gradus 38 m'a, et haec est portio elevata ab horizonte de aequinoctiali usque ad punctum in quo est sol; et idem invenies per astrolabium, si instrumentum verax sit.
    Et hoc rationabile videtur quia, cum sol est in meridiano, semper in quocumque die inter meridianum et horizontem est medietas arcus diurni; cum ergo, sole existente in aequinoctiali, medietas arcus diurni est 90 gradus, in meridie diei illius erunt 90 gradus inter meridianum et horizontem. Quae igitur est proportio altitudinis meridianae ad 90 gradus, eadem erit altitudinis praesentis ad partem de 90.
    Hanc igitur portionem per partes horarum diei illius divide (108), scilicet per 15 gra et 4 m'a, et exibunt horae inaequales 3 et 13 m'a. Vel (105:) si eam diviseris per 15, exibunt 3 horae aequales et 15 m'a fere.
    (Ap193) Si autem hoc idem aliter (111): docet ex altitudine solis inventa horas diei invenire, sole in quocumque puncto existente, sive in aequinoctiali sive extra. -- Supponit autem auctor hanc argumentationem: "sicut se habet sinus altitudinis meridianae ad sinum altitudinis praesentis, sic sinus versus portionis mediae arcus diurni ad sinum <versum> portionis iam transactae", sic autem arguens: constituit sinum altitudinis meridianae esse primum, et sinum altitudinis praesentis secundum, et sinum versum portionis mediae arcus diurni tertium, et sinum <versum> portionis transactae 4'm. Et ideo vult canon quod secundum ducatur in tertium et productum dividatur per primum, et exibit quartum.
    Dicit igitur auctor: si aliter, supple, quam sole existente in aequinoctiali, invenire volueris hoc idem, scilicet horas diei praeteritas et cetera, tunc sinum altitudinis solis, altitudinis scilicet praesentis, in sinum versum portionis mediae <circuli> diei multiplica, et quod tibi collectum fuerit divide per sinum altitudinis diei mediae, id est meridianae, et exibit quidam sinus; quem minue de sinu verso portionis mediae arcus diurni, et sinus remanentis portionem <versam> invenias; quam portionem minuas de portione media arcus diurni, si probatio tua sit ante meridiem, et adde eam eidem, si sit post meridiem. Et quod exierit est portio circuli directi, id est aequinoctialis, elevati ab ortu solis usque ad horam praesentem; quam si diviseris per partes horarum, et cetera.
    (Ap194) Esto quod sol sit in ultimo gradu geminorum; in quo die sol elevatur in meridie ad 64 gradus large Parisius. Cuius sinum quaeras, et erit primus, scilicet 124 m'a 49 s'a et 10 tertia, id est in tertiis 485350. Sit ergo sol elevatus ante meridiem ad 50 gradus, cuius sinus est 114 m'a 54 2'a et 20 tertia, id est in tertiis 413660. Portio vero diurni arcus, sole existente in ultimo gradu geminorum, est 238 gra 56 m'a, medietatem cuius accipias, scilicet 119 gra et 28 m'a. Cuius quaeras sinum versum: et erit primo sinus totus, scilicet 150 m'a, pro 90 gradibus; deinde pro 29 gradibus et 28 minutis quaeras sinum rectum, et erit 73 m'a 47 2'a et 5 3'a, quae cum prioribus faciunt 223 m'a 47 2'a et 5 3'a, quae sunt sinus versus medietatis arcus diurni. Per quem, redactum ad tot tertia 805625, multiplica sinum secundum, qui est sinus altitudinis solis praesentis, et exibunt in sextis 333254837500; quod dividas per sinum primum, scilicet per 485350 tertia, et exibunt tertia 686628, quia unum oportet addere tertiis pro 423050 sextis. -- Tertia igitur, quae exiverunt, sunt pars sinus totius versi medietatis arcus diurni, et valet 190 m'a 43 2'a et 48 tertia. Subtrahas ergo sinum iam inventum de toto sinu verso portionis mediae arcus diurni, et remanebunt 33 m'a 3 2'a et 17 3'a, quae sunt quidam sinus; cuius invenias portionem versam.
    Et quia sinus totus, a quo iste est residuus, erat versus, constat ipsum versum esse; et ideo, quaerendo portionem suam, ipsum de toto sinu, scilicet 150, demas, sicut superius (:Ap106) docebatur, et remanebunt 116 m'a 56 2'a 43 3'a; cum quo modo intres tabulas sinus (BA11) et invenies portionem huius, scilicet 51 gra et 13 m'a large; quae cum est versa, minues eam de 90 gradibus, et remanent 38 gra et 47 m'a, quod est portio versa sinus inventi, de qua loquitur canon iste. Hanc ergo portionem de portione arcus diei media minue, et remanebunt 80 gradus et 41 m'a; quod est portio elevata ab horizonte, existens inter horizontem et punctum aequinoctialis quod oriebatur cum gradu solis. Quam si diviseris per partes horarum diei illius, quae sunt 19 gra et 54 m'a et 40 2'a -- sed dividas per 19 gra et 55 m'a, licet tabula (BG17) praecise habet 19 gra et 54 m'a -- exibunt horae diei inaequales, scilicet 4 et 3 m'a; vel eandem portionem divide per 15, et habebis horas aequales, scilicet 5 et 23 m'a fere.

(Fig.: A,93vb)

(Ap195) Sit circulus ABC horizon; ADC portio aequinoctialis quae est arcus diurnus; AEC zodiacus; altitudo solis meridiana, <sive> sinus eiusdem, linea EB; altitudo solis praesens FI; portio vero medietatis arcus diurni AD; sinus eius versus DG; linea MN horizon in planum extensus. -- Tunc argue: sicut se habet EB ad FI, sic se habebit DEG ad quiddam sui, et haec erit linea OP. Et hoc verum erit, si probare velis vel per tabulas sinuum vel per numeros. Quam lineam demas ex DG, et remanebit linea VD, quae est quidam sinus versus cuiusdam portionis, scilicet DQ; qua de toto arcu diurno, qui est AD, subtracto remanet arcus AQ elevatus ab ortu solis ad horam praesentem. Quem dividas ut praecipit canon et ut ego prius dixi.
    (Ap196) Et si volueris reducere etc. (109-10): capitulum planum est de se.

(Ap197) Si vero ascendens (112-20): postquam docuit invenire horas, docet hic ex horis invenire ascendens. Et facit duo: primo enim (112-8) docet per horas invenire ascendens, et secundo (119-20) e converso per ascendens invenire horas, cum dicit Si autem quot <horae>.
    (Ap198) Advertendum autem circa primam partem (112-18), quid sit ascendens. Est autem ascendens omne punctum cuiuscumque circuli +et quantumcumque+ in horizonte existens ascendere incipit supra horizontem. Ascendens autem, ut hic de ascendente loquimur, est gradus vel minutum, vel maior vel minor pars, zodiaci, quae in horizonte existens incipit ascendere.
    (Ap199) Et quia secundum ascendens invenitur tota figura caeli et domus duodecim, quarum primae ascendens est initium, ideo auctor primo (112-15) docet invenire ascendens, quod est initium primae domus, et secundo (116-18) docet invenire initia tam primae domus quam aliarum, et etiam domorum quantitatem in quacumque hora, cum dicit Cum autem gradum medii caeli. -- Adhuc docet primo (112) per horas invenire ascendens, et secundo (113-15) e converso per ascendens invenire horas diei vel noctis praeteritas, cum dicit Et si volueris invenire.
    (Ap200) Dicit primo (112): Si volueris per horas invenire ascendens, horas ipsas, si sint inaequales, per partes horarum diei illius multiplica, vel si fuerint aequales, per 15 multiplica; et productum super ascensiones, quae sunt ab initio signi, in quo fuerit sol, usque ad gradum eius, adde; et quia productum est numerus graduum aequinoctialis, converte illos gradus in gradus zodiaci, qui sunt aequales. Deinde illos gradus aequales numera a principio illius signi, in quo sol est, et ubi terminaverit ille numerus, ille est gradus ascendens in illa hora, id est in ultimo puncto horarum acceptarum.
    Verbi gratia, sint horae inaequales 4 et 3 m'a, vel horae aequales 5 et 23 m'a; quae, scilicet horas inaequales cum minutis suis, si multiplicaveris per partes horarum diei illius, quae sunt 19 gra et 55 m'a, ad idem genus redacta, vel horas aequales cum suis minutis ad idem genus redacta <per 15>, exibunt 80 gra et 40 m'a; et haec est portio aequinoctialis existens inter horizontem et punctum aequinoctialis quod cum zodiaco oriebatur. Huic igitur portioni addas ascensiones omnes quae sunt a principio signi, in quo est sol, ad gradum solis, quae sunt 26 gradus et 32 m'a, sole existente in ultimo gradu geminorum in illo die; et exibunt 107 gradus et 13 m'a, qui sunt gradus et m'a ascensionum. Quos et quae extendas ab initio signi, scilicet geminorum, dando cuilibet signorum suas ascensiones quamdiu habes, scilicet geminis 26 gra et 24 m'a, et cancro 37 gra et 15 m'a, et leoni 41 gradus et 6 m'a. Remanent igitur 2 gra et 20 m'a, quae quia pauciora sunt ascensione signi sequentis, scilicet virginis totius, 2 gra et 20 m'a in gradus aequales converte per illud capitulum Si autem volueris convertere (:96), et invenies 1 gra et 42 m'a zodiaci de virgine. Dic igitur quod secundus gradus virginis est ascendens; immo, minutum sequens 42 m'a secundi gradus, scilicet quadragesimum tertium minutum, virginis est ascendens in fine temporis accepti, scilicet in fine 4 horarum inaequalium et trium minutorum.
    Istud autem capitulum supponit volentem operari scire sine tabulis ascensiones cuiuslibet signi, et ideo est parum utile.
    (Ap201) Et si volueris invenire (113): docet per tabulas idem invenire, dicens: Si volueris per tabulas ascensionum (BD*) invenire idem, scilicet ascendens, ad horas praeteritas, supple, summam graduum horarum praeteritarum, id est gradus ascensionum correspondentes horis praeteritis -- multiplicando horas per partes horarum diei illius, si sint inaequales, vel per 15, si fuerint aequales -- supra ascensiones gradus solis, id est supra ascensiones inventas in tabulis ascensionum e directo gradus illius in quo sol est illo die, adde; et eius quod collectum fuerit simile vel minus in eisdem tabulis, propius tamen, quaere; et gradus aequales signi, sub quo numerum illum inveneris, vel minorem propiorem tamen, extra scribe. Et signum illud, sub quo hoc inveneris, erit illa hora ascendens, et tot gradus de illo elevati sunt illa hora, quot e directo numeri quaesiti de gradibus aequalibus invenisti.
    (Ap202) Si autem (114) quod invenisti non fuerit aequale quaesito, sed minus, subtrahe inventum de quaesito et residuum per 60 multiplica, sicut in quaerendo portionem per sinum; et productum divide per differentiam eius, quod invenisti iam, et eius numeri qui immediate sequitur; et quod exierit addas supra gradus aequales e directo primi introitus inventos, et habebitur quaesitum. Ad horam enim praeacceptam erit gradus ille ascendens, qui est minutorum illorum, vel cuius sunt illa minuta, quae sunt ultra gradus aequales inventos; et adhuc minutum illud est ascendens illius gradus, quod immediate est post minuta ultra gradus inventa.
    (Ap203) Idem facias (115) per horas noctis, scilicet addens gradus ascensionum horarum praeteritarum supra ascensiones quae inveniuntur e directo nadir solis, et simile in tabula quaerendo, sicut prius dictum est.
    (Ap204) Exemplum de primo (113-14), scilicet qualiter invenitur ascendens per horas in die. Sint enim horae praeteritae inaequales scilicet 4 et 3 m'a; quibus multiplicatis per partes horarum, quae sunt 19 gradus et 54 m'a et 40 2'a, sole existente illo die in ultimo gradu geminorum, exibunt 17272440 3'a, quae valent 79 gradus et 58 m'a praecise; et istud vocat auctor "summam graduum horarum praeteritarum". Cui summae addas ascensiones gradus solis, id est, inventas e directo ultimi geminorum (BG17), ubi et ponimus modo hoc die solem esse, et sunt 60 gradus et 32 m'a; et erunt in toto ascensiones collectae 140 gradus et 30 m'a. Quorum simile in tabulis eisdem quaeras, et non invenies; minus autem propinquius invenitur sub virgine in prima linea superius, scilicet 140 gra et 16 m'a, e directo quorum versus dextram inter gradus aequales accipe scilicet unum gradum, et est virginis. Deinde gradus hic inventos et minuta a gradibus et minutis quaesitis subtrahas, et remanebunt 14 minuta; pro quibus aeques, multiplicando ea per 60, et exibunt 840, et dividendo hoc productum per differentiam huius introitus et numeri sequentis, quae est unus gra et 24 m'a, et exibunt post divisionem 10 m'a. Quae addas supra gradum prius extractum, et habebis 1 gra et 10 m'a, quae et qui in ultimo horarum acceptarum sunt ultra horizontem elevata; et minutum undecimum illius secundi gradus virginis est ascendens, id est in horizonte, tendens iam versus superius.
    Istud autem non inveniebatur praecise per capitulum praecedens propter duo: tum quia in partibus horarum praesupposui esse 19 gra et 55 m'a praecise; tum etiam quia supponebatur quemlibet gradum virginis habere aequales ascensiones cum quolibet.
    (Ap205) Exemplum de secundo (115), scilicet qualiter de nocte invenietur ascendens. Et sit haec nox illa quae sequitur diem sole existente in ultimo gradu geminorum, cuius horarum partes sunt 10 gra 15 m'a et 20 2'a; et sint horae 3 praeteritae praecise. Multiplica ergo 3 per partes horarum illius noctis ad 2'a redactas, et exibunt 110760 2'a, quae valent 30 gra et 46 m'a praecise; et hoc est arcus aequinoctialis existens inter horizontem et punctum illud aequinoctialis, quod cum nadir solis oriebatur. Adde igitur huic omnes ascensiones quae sunt e directo nadair gradus solis, qui est ultimus sagittarii, et sunt 290 gra et 28 m'a; et habebis ascensiones in toto 330 gra et 14 m'a, quod est arcus aequinoctialis existens inter arietis principium et punctum aequinoctialis, quod iam est in horizonte cum gradu zodiaci ascendente. Quaere igitur tot ascensiones in tabulis ascensionum, et invenies sub aquario 329 gra et 39 m'a; quos et quae de gradibus et minutis quaesitis demas, et residuum, scilicet 35 m'a, per 60 multiplica, et exibunt 2100; et productum istud divide per differentiam introitus huius primi et numeri sequentis, quae differentia est 43 m'a, et exibunt 49 m'a fere; quae addas supra gradus aequales e directo primi introitus stantes, scilicet supra 4'm gradum aquarii; et erit ascendens in ultimo tertiae horae 5'us gradus et illius quinti gradus 49'm minutum, quia illud non complete est elevatum, quia accipiebatur tamen fere.
    Et nota quod, si ex additione ascensionum nadir solis supra summam graduum horarum plus 360 gradibus excreverit, 360 gradibus abiectis cum residuo operaberis. -- Et quod istae operationes verae sint, probes per astrolabium vel per aliud instrumentum, sicut feci.

(Ap206) Cum autem gradum medii caeli (116a-118): postquam auctor iam docuit invenire gradum ascendentem, qui est initium primae domus, docet consequenter invenire omnium domorum initia et quantitatem earundem in qualibet hora. Et primo (116a-b) docet hoc sine tabulis calculando, et per tabulas ascensionum tam in circulo directo quam in obliquo; et secundo (117-18) docet hoc faciliter per tabulas proprias et ad hoc factas, in proximo capitulo, cum dicit Et si hoc idem per tabulam.
    (Ap207) Ad intellectum autem capituli huius advertendum est diligenter quod totus zodiacus per colurum aequinoctiorum et solstitiorum in 4 partes aequales dividitur; item quod quaelibet 4'a in tres partes dividitur iuxta divisionem talem: accipiuntur 12 signa, et quia zodiacus in latitudine habet 12 gradus, zodiaco sic diviso quaelibet partium 12 quadrangula est, 4 habens angulos rectos, quia istae intersectiones in rectum, non oblique cadunt; et omnes partes istae 12 sunt aequales. -- Aliter autem contingit zodiacum dividi, scilicet per meridianum et horizontem, in 4 4'as aliquando aequales et aliquando inaequales, sicut dicetur; et quia quaelibet 4'a divisibilis est per 3, fiunt partes zodiaci 12, quas vocamus 12 domos. Et istae partes aliquando sunt aequales 12 signis in quantitate et figura, aliquando autem inaequales et sibi invicem et etiam signis, ut dicam.
    (Ap208) Et ideo domorum quantitatem sic imagineris: imagineris in aliquo climate coniunctionem meridiani cum zodiaco apud meridiem et septentrionem. Deinde, quia semper medietas zodiaci est supra horizontem, imaginemur coniunctionem zodiaci cum horizonte ad orientem et ad occidentem. Erit igitur pars una zodiaci inter punctum <coniunctionis> sui cum horizonte ad orientem et punctum <coniunctionis> sui cum meridiano versus meridiem; et alia abhinc et ad punctum coniunctionis suae cum horizonte ad occidentem; et tertia abhinc et ad punctum coniunctionis sui cum meridiano versus septentrionem; et 4'a inter punctum istud sui et punctum coniunctionis sui cum horizonte ad orientem. -- Constat ergo quod, cum in oriente vernali zodiacus horizonti coniungitur, quod portiones istae 4 omnes sibi invicem sunt aequales. Quanto autem pars aliqua vel punctum zodiaci septentrionalius horizonti coniungitur, tanto punctum oppositum meridionalius horizonti coniungetur; unde sequitur tunc portionem zodiaci, quae est a puncto coniunctionis sui ad orientem cum horizonte ad punctum coniunctionis sui cum meridiano, maiorem esse quam portionem quae est inter meridianum et punctum coniunctionis zodiaci cum horizonte ad occidentem; et de tanto etiam portio 4'a minor est portione tertia. Oppositum autem accidit, cum zodiacus ad orientem contingit horizontem magis meridionaliter: tunc enim 4'a prima minor est secunda, et tertia minor quam 4'a. Et de quanto 4'a prima maior est quam 90 gradus, de tanto secunda minor est quam 90 gradus, et e converso; et eodem modo est de tertia respectu 4'ae et e converso.
    (Ap209) Imagineris ergo quendam circulum transire per +zenith capitis regionis+, contingens horizontem ad orientem et occidentem in duobus punctis, in quibus zodiacus horizonti coniungitur. Dividetur igitur per hunc circulum et meridianum tam aequinoctialis quam zodiacus in 4 quartas, hoc modo: Imagineris istum circulum novum moveri versus meridianum in meridiem in una sui medietate, et versus meridianum in septentrionem in alia sui medietate opposita, super axem cuius poli sunt poli aequinoctialis vel totius mundi. Et iste circulus in motu suo imaginetur dividere primam 4'am aequinoctialis in 3 partes aequales, et per consequens dividet 4'am tertiam in 3 partes. Deinde imaginetur iste circulus supra eosdem polos moveri in una sui medietate versus occidentem a puncto contactus meridiani, et in alia sui medietate opposita a puncto contactus septentrionali versus orientem ad initium quartae primae; et imagineris eum in motu suo similiter dividere 4'am secundam et 4'am aequinoctialis, in 3 partes aequales quamlibet. Erit igitur aequinoctialis divisus in 12 partes, quarum semper duae oppositae sunt aequales. Constat autem et zodiacum ad divisionem aequinoctialis in partes totidem divisum esse; quas vocamus 12 domos. -- Quantitates igitur domorum eo modo, quo modo dictum est, oportet ut credo imaginari.
    (Ap210) Ordo autem earum sic accipiatur: nam tres partes zodiaci, quae sunt inter punctum contactus sui cum horizonte orientale et punctum contactus sui cum meridiano septentrionale, sunt 3 primae domus, ita quod ascendens est initium primae domus; et sunt primae, quia consequenter post ascendens istae oriuntur. -- Tres autem partes, quae sunt inter punctum coniunctionis zodiaci cum meridiano ad septentrionem et punctum coniunctionis sui cum horizonte occidentale, sunt 3 domus, scilicet 4'a, quinta et 6'a, ita quod initium 4'ae domus est punctum zodiaci quod est in meridiano, et hoc dicitur "angulus terrae". -- Tres vero partes zodiaci, quae sunt inter punctum coniunctionis sui cum horizonte occidentale et punctum coniunctionis sui cum meridiano versus meridiem, sunt 3 domus, scilicet septima, octava et nona, ita quod initium domus septimae est nadir ascendentis iam descendens. -- Sed partes 4'ae residuae, scilicet quae est inter meridianum et ascendens, sunt 3 domus ultimae, scilicet decima, undecima et duodecima, ita quod initium decimae est in meridiano, et hoc est vel dicitur "angulus medii caeli". -- Et haec dicta sint sine praeiudicio verius imaginantis.
    (Ap211) Esto quod quantitatem 12 domorum singillatim in aliqua hora velis invenire. Ponatur ergo primo sententia capituli (116a): Cum gradum medii caeli, qui, supple, est initium 10'ae domus, et reliquarum domorum, gradum supple initiativum, volueris invenire, tunc ascensiones quae sunt ab initio arietis in gradum ascendentem per circulum obliquum, id est, omnes ascensiones quae sunt e directo gradus ascendentis in tabulis ascensionum ad circulum obliquum (BD*), extende ab initio capricorni per ascensiones circuli directi, id est, quaeras in tabulis ascensionum in circulo directo, quae incipiunt a capricorno (BB11); et gradus e directo earum scriptus de gradibus aequalibus est gradus medii caeli, id est, est principium domus 10'ae. -- Adde etiam super easdem ascensiones, scilicet inventas in tabulis ascensionum ad circulum obliquum e directo gradus ascendentis, partes horarum ascendentis duplicatas, id est, numerum duplum ad partes horarum quae sunt e directo gradus ascendentis, et habebis ascensiones gradus undecimae domus, id est, habebis ascensiones illius gradus zodiaci qui est initium undecimae domus. Quas ascensiones reducas in gradus aequales in circulum directum, id est, ad circulum directum sicut prius; et gradus aequalis qui provenerit, scilicet e directo inventus, est gradus, initiativus supple, undecimae domus. -- Adde quoque easdem partes horarum duplicatas sicut prius super ascensiones undecimae domus, id est, supra ascensiones per quas invenisti initium undecimae domus; per quas, scilicet ascensiones aggregatas, reducendo in gradus aequales, intrando, supple, cum eis ad easdem tabulas circuli directi, invenies gradum aequalem e directo earum 12'ae domus, supple initiativum. -- Si vero addideris easdem partes horarum duplicatas supra ascensiones 12'ae domus, id est, supra ascensiones per quas invenisti gradum aequalem initiativum 12'ae domus, habebis ascensiones gradus ascendentis; per quas necessario invenies gradum aequalem ascendentem, intrando scilicet cum eisdem ascensionibus ad circulum directum: gradus enim e directo earum stans est ascendens, qui est initium domus primae. -- Et ita oportet domos tres ultimas primo invenire.
    Ut autem (116b) invenias gradum secundae domus, id est, qui est initium secundae domus, quia initium primae, supple, habes per gradum ascendentem, partes horarum duplicatas de 60, supple gradibus, minue, et illud quod remanserit supra ascensiones gradus ascendentis adde, et invenies per aggregationem ascensiones secundae domus, id est, illius gradus zodiaci qui est initium secundae domus; et gradus aequales qui sibi, id est tot ascensionibus, debentur, erunt secundae domus: quasi dicat, gradus e directo tot ascensionum inventus in tabulis circuli directi est initium secundae domus. -- Adiunge quoque idem residuum de 60, scilicet post subtractionem partium horarum duplicatarum, supra ascensiones secundae domus, id est, supra ascensiones per quas invenisti initium secundae domus, et habebis ascensiones tertiae domus, id est, habebis ascensiones illius gradus qui erit initium tertiae domus; per quas invenies gradus aequales tertiae domus, id est, per quas intrando ad easdem tabulas circuli directi invenies gradum aequalem e directo earum, qui erit initium tertiae domus. Et ita invenisti 6 domos, scilicet 3 ultimos et 3 primos.
    Inventis autem hiis 6 mansionibus, id est domibus, reliquarum domorum, id est aliarum 6, notitia habebitur leviter, id est faciliter: est enim nadir 10'ae domus gradus, initiativus supple, 4'ae domus, quia utriusque principium est in meridiano; et nadir 11'ae, principium supple, 5'ae; et nadir 12'ae principium 6'ae, et nadir primae initium 7'ae, et nadir 2'ae initium 8'ae, et nadir tertiae initium 9'ae.
    (Ap212) Causa autem horum sic habeatur sine praeiudicio. Unde credo primo quod tabula elevationum signorum in circulo directo incipit a capricorno, cum tabulae elevationum signorum in circulo obliquo incipiunt ab ariete, propter faciliorem domorum inventionem, vel propter compositionem magis tabularum domorum: si enim capricornus ponatur in medio caeli et ita initium decimae domus, aries semper erit ascendens et initium domus primae; et generaliter, ad quot gradus gradus ascendens distat a principio arietis, ad tot gradus distat gradus medii caeli a principio capricorni, loquendo de gradibus aequinoctialis; et ideo rationabiliter propter ascensiones gradus ascendentis inventas in tabula circuli obliqui invenitur gradus medii caeli in tabula circuli directi.
    (Ap213) Quare autem ex additione partium horarum duplicatarum inveniuntur ascensiones gradus, qui est initium undecimae domus et 12'ae, est quia, cum domus sunt 12 et horae inaequales 24, 4 horae inaequales valebunt tot gradus aequinoctialis quot debentur duabus domibus, quarum una se habet ad aliam sicut hora inaequalis diei ad horam inaequalem noctis illius gradus ascendentis; et ideo, ad habendum initium domus 11'ae, id est quantitatem domus 10'ae, ex consequenti addimus duplum partium horarum supra ascensiones primi gradus domus decimae; et consimiliter est de domo 12'a.
    (Ap214) Sed quia domus prima sic se habet ad domum aliquam ultimarum iam dictarum, sicut duae horae inaequales noctis ad 2 <horas diei> gradus ascendentis, ideo, ad inveniendum initium domus secundae, id est quantitatem domus primae, addimus tot ascensiones quot sunt in duabus horis inaequalibus noctis, quae sunt residuum partium horarum diei duplicatarum de 60 gradibus: 60 enim gradus per praecedentia capitula valent partes horarum diei duplicatas et partes horarum noctis duplicatas; et ideo, super ascensiones ascendentis addere residuum partium horarum diei duplicatarum est addere partes horarum duplicatas noctis super ascendens.
    (Ap215) Quare autem ad ascensiones inventas quaerimus semper gradum aequalem in tabula ad circulum directum, credo causam esse quia circulus motus super polos +horizontis+, intersecans horizontem, zodiacum et aequinoctialem, similis est meridiano in dividendo istos eosdem 3 circulos: quia credo quod si, primo puncto capricorni existente in meridiano, circulus iste novus cadat supra primum gradum aquarii, abscindet tantam portionem de aequinoctiali a capricorno versus arietem, quanta ascensio ponitur in tabula circuli directi e directo primi gradus sub aquario. De isto non possum dubitare.
    (Ap216) Exemplum operandi sit istud: esto quod quintus gradus aquarii sit ascendens, et 49'm minutum illius quinti, sicut supra est inventum. Ascensiones igitur inventas in tabulis circuli obliqui ad 7'm clima (BG17), scilicet 330 gra et 14 m'a, quaeras in tabulis circuli directi (BB11); et non invenies eas praecise, sed e directo secundi gradus sagittarii invenies 329 gra et 53 m'a; pro residuis autem 21 minutis habebis de gradu aequali tertio sagittarii 20 m'a. Ille igitur tertius est in medio caeli; et est initium decimae domus 21'm minutum tertii gradus sagittarii. -- Deinde super ascensiones istas, scilicet 330 gradus et 14 m'a, adde partes horarum duplicatas ascendentis, scilicet quinti gradus aquarii, quae sunt 11 gra et 11 m'a et 16 2'a: et sic oportet addere 22 gra et 22 m'a et 32 2'a supra illas ascensiones. Et simile aggregato, scilicet 352 gra et 36 m'a et 32 2'a, quaeras in tabula circuli directi, et invenies e directo 23'i gradus sagittarii 352 gra et 22 m'a; et pro 14 minutis et 32 s'is invenies de 24'o gradu aequali sagittarii 13 m'a aequando et modicum plus: ergo 24'us gradus sagittarii, immo 14'm minutum illius 24'i gradus, est initium undecimae domus. -- Deinde adde easdem partes horarum duplicatas super ascensiones ultimo acceptas, et erunt 374 gradus et 59 m'a et 4 2'a; quorum simile, demptis 360 gradibus, in tabulis ascensionum ad circulum directum sicut prius quaere, et invenies e directo tertii decimi gradus capricorni 14 gradus et 8 m'a; et pro 51 minutis et 4 secundis habebis aequando de 14'o gradu capricorni 47 m'a et plus modico. Est igitur 14'us gradus capricorni, immo 48'm minutum quarti decimi gradus capricorni, initium duodecimae domus. -- Deinde super ascensiones iam ultimo acceptas addes easdem partes horarum duplicatas, et aggregatum, scilicet 37 gradus et 21 m'a et 36 2'a, in tabulis circuli directi quaeras, et invenies e directo 4'i gradus aquarii 36 gra et 21 m'a; deinde aequando pro uno gradu et 36 2'is habebis de 5'o gradu aquarii 59 minuta fere.
    Et ita a primo ad ultimum ascendens imitatum est ad 10 m'a; quod esse potest quia tabulae non considerant nisi grosso modo minuta. Praecisius autem aequari non potest quam hic factum est, sed sufficit eundem gradum qui proponebatur invenisse; si tamen tabulae verae essent, per omnia minutum propositum primo provenisset. -- Sit igitur initium decimae domus 59'm minutum quinti gradus aquarii. Et ita a tertio sagittarii usque ad quintum aquarii inclusive habemus 3 domos, ultimas in ordine, licet primas in inventione.
    Si autem <volueris> quantitatem domus primae, secundae et tertiae, habito initio domus primae per ascendens, accipe partes horarum duplicatas et eas de 60 minuas, et remanebunt 37 gradus 37 m'a 28 2'a, et ista sunt partes horarum noctis duplicatae. Quas super ascensiones, per quas iam ultimo invenisti ascendens, superaddas et cum aggregato, quod est 74 gradus 59 m'a et 4 2'a, intra tabulas circuli directi, et invenies 74 gra et 21 m'a e directo 13 graduum aequalium sub piscibus; et habebis, aequando pro residuis 38 minutis et 4 2'is de 14'o gradu piscium, 41 minuta fere. Erit igitur initium domus secundae 41'm minutum quarti decimi gradus piscium. -- Deinde residuum de 60, scilicet partes horarum noctis duplicatas, superaddas ascensionibus iam ultimis, per quas initium domus secundae invenisti, et aggregatum, quod est 112 gradus 36 m'a et 32 2'a, in tabulis ad circulum directum quaere, et invenies 112 gradus et 12 m'a e directo 24'i gradus sub ariete; et habebis, aequando pro residuis 24 gradibus et 32 minutis, de vicesimo quinto gradu arietis 26 m'a fere. Et ideo 26'm minutum 25'i gradus arietis est initium tertiae domus.
    Inventis autem istis initiis 6 domorum, constat initium 4'ae domus esse 21'm minutum tertii gradus geminorum; et initium 5'ae domus, 14'm minutum 24'i gradus geminorum; et initium sextae, 48'm minutum 14'i gradus cancri; et initium septimae domus, 59'm minutum quinti gradus leonis; et initium octavae domus, 41'm minutum 14'i virginis; et initium nonae, 26'm minutum 25'i librae.
    (Ap217) Et si hoc idem per tabulas (117-18): docet consequenter inventionem domorum ex tabulis ad hoc factis. Unde dicit: Si hoc idem, scilicet initia 12 domorum et per consequens earum cuiuslibet quantitatem, volueris invenire per tabulas, scilicet proprias domorum, tunc considera, cuius signi sit gradus ascendens in hora accepta -- hoc enim scis per praehabita invenire -- et similem gradum in tabula aequationis domorum (BH11) quaere inter gradus aequales, qui scilicet ponuntur in sinistro latere tabulae cuilibet signo deputatae, et quinque capitula, quae in directo illius gradus sunt, accipe; quae capitula erunt 2'a, 3'a, 4'a, 5'a, 6'a domus, quia gradus ascendens est prima domus.
    (Ap218) Ad inveniendum igitur (118) reliquas domos, 6 scilicet, addenda sunt singulis istorum 6 signa: sunt enim reliquae domus, sex scilicet, nadir istarum sex in tabulis inventarum. -- Et nota quod auctor semper per "domum" in utroque istorum capitulorum de domibus intellegit "domus initium".
    (Ap219) Quod sic intellegere debes: si in tabula domorum inveneris praecise gradus, dicas quod initium domus illius est ultimum minutum ultimi gradus graduum sub domo illa inventorum. Si etiam cum gradibus minuta inveneris, quod ut plerumque contingit, tunc scias gradum illum esse initium illius domus, cuius illa minuta sunt; et si praecise velis advertere, tunc ultimum illorum minutorum <praecise> vel proprie est initium illius domus, sub cuius capitulo haec invenisti. Si etiam in gradibus nihil, sed cifram inveneris, tunc primus gradus, immo ultimum minutum illius minutorum ibi inventorum, est initium domus illius. Cuius etiam signi sint illi gradus et minuta, scies per signum quod immediatius in capitulo illo supra reperitur, sive in capite sive infra caput capituli.
    (Ap220) Verbi gratia, sit ascendens undecimus gradus tauri. Quaere igitur undecim gradus in prima linea versus sinistram tabulae secundae, quae est deputata tauro (BH11.Tau), et ille undecimus gradus est initium domus primae. Accipe ergo e directo undecim graduum in 5 capitulis versus dextram, quae deserviunt 5 domibus, scilicet secundae, 3'ae, 4'ae, 5'ae et 6'ae, et invenies in capitulo secundae domus 6 gra et 15 m'a geminorum: "gemini" enim ponuntur superius inter caput tabulae et locum ubi illi 6 gradus et 15 m'a scripta sunt. Est igitur initium secundae domus septimus gradus geminorum, et praecise vel proprie 15'm minutum septimi gradus initium secundae domus. -- Item e directo eiusdem undecimi gradus ascendentis ponuntur in capitulo tertiae domus 0 et 9 minuta et titulus "cancri", ad significandum quod initium tertiae domus est primus gradus cancri, immo 9'm minutum <praecise> vel proprie. -- Item e directo eiusdem ascendentis in capitulo 4'ae domus ponuntur 24 gradus et 3 m'a cancri: "cancer" enim ponitur supra in capite illius capituli, et nullum aliud signum immediatius eo ponitur supra illos 24 gradus et 3 m'a; est igitur initium 4'ae domus 25'us gradus cancri, immo tertium minutum <praecise> vel proprie illius 25'ti gradus. -- Et sic facias de aliis domibus duabus sequentibus.
    Et postea supra gradus primae domus, id est supra 11 gradus tauri, addas 6 signa, et habebis initium septimae domus, scilicet undecimum gradum scorpionis; et sic de aliis. Et si ex additione 6 signorum supra domum aliquam excreverint 12 signa, 12 abiectis residuum indicabit initium domus quaesitae.
    Et scias quod hoc exemplum positum est de tabulis domorum ad civitatem Toletanam (BH11), quia ad praesens alias non habui.

(Ap221) Si autem quot horae transierunt (119-20): haec est doctrina conversa illi capitulo Si vero ascendens per horas. Et quia sententia capituli plana est, ponatur in exemplo. Sit ascendens 2 gradus virginis, et sit sol in ultimo gradu geminorum. Accipe igitur omnes ascensiones, quae sunt inter gradum solis et gradum ascendentem, id est inter ultimum geminorum et secundum gradum virginis, quae sunt 81 gradus et 8 m'a; quos et quae dividas per partes horarum diei illius, scilicet per 19 gradus et 55 m'a, licet tantum non ponitur in tabula, et exibunt 4 horae inaequales et 4 m'a; quae si etiam diviseris per 15, habebis horas aequales 5 et 25 m'a.
    Esto etiam (120) quod ascendens in hora aliqua noctis illius, cum sol est in ultimo gradu geminorum, sit 5'us gradus aquarii. Tunc omnes ascensiones, quae sunt inter nadir solis, quod est ultimus gradus sagittarii, et gradum illum ascendentem, quae ascensiones scilicet sunt 30 gradus et 54 m'a, +hoc+ dividas per partes horarum illius noctis, quae sunt X gra et 5 m'a, modico plus; et exibunt horae inaequales de nocte transactae, scilicet 3 et 4 m'a. Si etiam idem per 15 diviseris, habebis horas aequales transactas de nocte, scilicet 2 et 4 m'a. -- Veritatem dictorum hic invenies per instrumentum.

(Ap222) Cum qualibet hora diei (121-26): doctrina huius capituli est conversa capituli illius Si autem volueris scire horas diei (107): ibi enim docebat auctor ex altitudine solis accepta per instrumentum invenire horas diei praeteritas et residuas, hic autem e converso ex horis inventis per iam habita invenire solis altitudinem. Et primo (121) facit hoc, secundo autem (122-26) docet per umbram invenire idem et e converso, cum dicit Si autem umbram.
    (Ap223) Sententia capituli (121) ponatur in exemplo, cum +litteraliter facile+ sit satis. Esto igitur quod, sole existente in primo gradu arietis vel librae, quod et supponit canon, in hoc die elevatur sol in meridie circa Parisius ad 41 gradus et 47 m'a; cuius quaeras sinum, et est 99 m'a 56 2'a 41 3'a, quod erit secundum in operando. Deinde ponatur horas aequales 3 praeteritas esse et 14 m'a et 33 2'a; quae multiplices per 15, et exibunt 48 gra et 38 m'a, cuius quaeras sinum, et est 112 m'a 25 2'a 25 3'a, quod erit tertium in operando. Et cum sol fuerit in meridiano, 90 gradus sunt elevati de aequinoctiali et de zodiaco simul isto die; quorum etiam quaeras sinum, qui erit sine labore 150 m'a. Tunc argue sic: quae est proportio sinus primi ad sinum secundum, eadem est proportio sinus tertii ad quendam sinum quartum ignotum, cuius portio est altitudo solis praesens: duc ergo secundum sinum in sinum tertium et productum divide per primum. Et ideo dicit auctor quod horae praeteritae, si sint aequales, multiplicentur per 15 et graduum exeuntium quaeratur sinus, qui multiplicetur per sinum altitudinis meridianae solis, et productum dividatur per 150. -- Ex ductu autem secundi in tertium proveniunt in sextis 145620459725, quibus divisis per primum, scilicet per 150 m'a, exibunt in quintis 970803065, quibus reductis ad diversas fractiones exibunt in fine 74 m'a 54 2'a et 28 3'a; quorum quaeras circuli portionem, et erit 29 gra et 58 m'a fere. Haec igitur est altitudo solis in hora data, scilicet 30 gra fere, quia minus duobus minutis ponebatur tum (:Ap192) in capitulo converso huius solem elevatum esse ad 30 gradus; et cum hiis inveniebantur 3 horae aequales, 14 m'a et 33 secunda.
    Iam autem per tot horas non invenimus eandem altitudinem praecise; etenim hoc non est possibile, nisi semper praecisissime sine omni "fere" fueris operatus, nec tertium nec quartum nec aliquam aliarum fractionum praetermittendo; quod si observaveris, nihil perdes.

(Ap224) Si autem umbram per solis altitudinem (122-26): postquam iam docuit per horas invenire solis altitudinem praesentem, docet consequenter idem et eius conversam per umbram. Et primo (122-23) sine tabulis, et secundo (125-26) cum tabulis, cum dicit Et si umbram ex altitudine. -- Et adhuc primo (122) docet per altitudinem solis umbram invenire, et secundo e converso per umbram altitudinem solis, ibi Si autem altitudinem.
    (Ap225) Sit sol (122) elevatus quacumque hora cuiuscumque diei ad 30 gradus; quorum sinum quaeras, et est 75 m'a, qui erit primus in operando. Deinde hanc altitudinem solis minue de 90, et residui, scilicet 60 graduum, quaeras sinum, et est 129 m'a 54 2'a et 14 3'a, qui in operando erit sinus secundus. Status autem rei erectae cuiuscumque, scilicet 12 puncta, sit tertium; umbra autem erit 4'm, quod quaero. Tunc arguo: sicut se habet sinus altitudinis solis ad sinum residui de 90, vel sicut se habet sinus 30 graduum ad sinum 60 graduum, sic 12 puncta status rei ad umbram rei. Et ideo dicit auctor quod, si umbram per solis altitudinem scire desideras, quaeras sinum altitudinis ipsius solis; minue quoque altitudinem de 90 et residui similiter quaere sinum, quem multiplicabis in 12; quasi dicat "duc secundum in tertium et productum divide per sinum primum, scilicet per sinum altitudinis, et cetera". Reducas ergo sinum residui altitudinis de 90 ad tertia, et erunt 467654; quibus multiplicatis per 12 exibunt in tertiis iterum 5611848, quibus divisis per primum, scilicet per 15 m'a, exibunt 2'a punctorum umbrae, scilicet 74825, <**> id est in minutis 1247, quae valent 20 puncta et 47 m'a. Hoc est praecise inventum ut est in tabula (BC21).
    (Ap226) Si autem altitudinem solis (123): docet e converso per umbram invenire solis altitudinem, sic: multiplica umbram in seipsam, et producto adde 144, et numeri provenientis quaere radicem, scilicet quadratam, quae erit podismus umbrae, id est diameter quadrati provenientis ex quadrato status rei et ex quadrato umbrae; quem podismum memoriae commenda. Deinde iterum umbram extende multiplicando in 150, et summam quae provenerit per podismum umbrae divide, et sinus exeuntis quaere circuli portionem; quam si minueris de 90, remanebit altitudo solis in eadem hora, scilicet in qua accepisti rei umbram primo.
    (Ap227) Ad quod ostendendum sit linea EAL planum horizontis; et quarta altitudinis sit arcus EH; altitudo solis sit arcus EF, cuius sinus est linea FD; residuum autem altitudinis solis de 90 arcus FH, cuius sinus est FG, vel DA, quia sunt aequales; altitudo autem rei sit linea AC, cuius umbra est BC. Tunc est regula accepta ex fine primi Euclidis necessaria, quod diametri quadratum valet quadratum laterum duorum, diametrum ipsam contingentium. Quadratum igitur AB diametri valet quadratum AC et CB. Coniunge ergo quadratum AC, quod est 144 puncta, ad quadratum umbrae CB, et exibit quadratum quiddam; cuius invenias radicem, et illa erit latus quadrati provenientis ex AB. Erit igitur radix illa AB linea, et haec linea est podismus umbrae, id est basis trianguli constituti ex altitudine rei et ex rei umbra et radio solari transeunte per summitatem rei.
    Et istud vult canon dicere, cum dicit umbram in se multiplicandam esse et centum quadraginta <quattuor> sibi esse adiungenda, et radicem aggregati esse umbrae podismum. Umbra enim in se ducta facit sui quadratum, sicut 4 in se ducta faciunt quadratum de 4, scilicet 16; altitudo etiam rei, scilicet 12 puncta, faciunt 144, quae sunt etiam quadratum de 12; quorum duorum coniunctorum radix facit AB: cuiuslibet enim quadrati latus est radix eiusdem quadrati. Cum igitur AC, id est 12 puncta, mihi sunt nota, et CB similiter, scilicet umbra rei, AB erit mihi notum.

(Fig.: A,99rb)

Tunc argue: sicut se habet AB ad BC, sic se habet AF ad AD, quia trianguli FDA maioris latera sunt proportionalia lateribus trianguli ACB minoris, quia anguli eorum sunt aequales. AB igitur, scilicet podismus umbrae, est primum; BC autem, scilicet umbra rei, secundum; et AF semidiameter circuli, quae valet 150 m'a, sit tertium; et AD quartum. Multiplica ergo umbram CB per 150, scilicet per FA, et productum divide per podismum prius inventum, scilicet per AB, et exibit sinus quidam, scilicet DA vel FG, cuius portio est HF, qua de 90 gradibus subtracta remanebit portio AF, quae est altitudo solis.
    (Ap228) Ponatur in aliqua hora umbra esse 20 puncta et 47 m'a. Quorum accipias quadratum, ducendo 21 in se ipsa, ac si punctum ultimum esset perfectum, quia sic faciendo bene venietur ad aequalitatem; habebis autem in quadrato umbrae 441. Cui addas 144, quae sunt quadratum status rei, et habebis in quadratis utriusque 585 puncta.
    De quibus extrahas radicem quadratam, inveniendo primo digitum scilicet 2 sub ultima figura versus sinistram, quia illa et est ultima et est loco impari ultimo. Duc ergo digitum illum in se, et productum, scilicet 4, deleas de 5 supraposito. Deinde dupla illum digitum primum, et duplum eius, scilicet 4, pone anterius sub 8, et digitum primum, qui +iam+ subduplum, ponas sub suo duplo, scilicet sub 4. Deinde sub prima figura, scilicet sub 5, invenias quendam digitum, et erit 4, qui ductus in duplatum et etiam semel in se evacuabit totum suprapositum, praeter 9, quae dimittantur pro nihilo, quia digitus ultimo inventus, scilicet 4, non posset mutari in 5, ita quod radix ad unum augmentaretur nisi pro 50, sicut patet habenti modum extrahendi radicem. -- Et ideo dicas quod radix quadrati totius est 24, scilicet digitus ultimo inventus praepositus subduplo; quam serva.
    Deinde per 150 minuta multiplices umbram datam, scilicet 20 puncta et 47 m'a, redigendo eam primo ad minuta, et exibunt secunda scilicet 187050, quae dividas per minuta radicis, quae sunt 1440, et exibunt 129 minuta; et remanent 1290 2'a, quibus reductis ad tertia et divisis iterum per minuta radicis eiusdem, exibunt 54 2'a fere. Et haec minuta et secunda sunt sinus quidam, cuius quaeras portionem, et erit fere 60 gradus; quam portionem minuas de 90, et residuum, scilicet 30 gradus, est altitudo solis ad horam illam in qua accipiebantur puncta umbrae. Est igitur solis altitudo 30 gradus, cum in umbra rei sunt 20 puncta et 47 m'a.
    (Ap229) Ad praecise autem operandum in istis nota diligenter modum istum, quia accipies puncta umbrae cum suis minutis, et eorum, tam punctorum quam minutorum simul, quadratum hoc modo invenies: accipies enim primo puncta, et ea ducas in se ipsa absque minutis, et habebis quadratum punctorum absque minutis. Deinde etiam pro minutis, quae sunt cum punctis, addas punctis eisdem unum, et aggregati sume quadratum. Deinde de utriusque quadrati differentia tantam partem primo quadrato addas, quanta pars minuta quae sunt cum punctis sunt de 60; et quod provenerit est praecise quadratum totius umbrae.
    Verbi gratia, umbra accepta prius fuit 20 punctorum et 47 minutorum. Accipe igitur quadratum de 20 punctis, scilicet 400 puncta; item accipe quadratum 21 punctorum, quod est 441; de quorum differentia, quae est 41 puncta, partem proportionalem accipias secundum proportionem 47 de 60. -- Sicut igitur 60 se habent ad 47, sic se deberent habere 41 ad quandam partem sui quae quaeritur: 60 igitur erit primum in quaerendo istam partem, et 47 2'm et 41 tertium; duc ergo secundum in tertium et productum, scilicet 1927 m'a, divide per primum, et exibunt 32 puncta et 7 m'a; quae addas ad puncta quadrati primi, quod est minus, et erunt puncta quadrati umbrae 432, et cum hoc 7 m'a.
    De quibus extrahas radicem, et erit 24, nihilo de punctis remanente.
    (Ap230) De 7 autem minutis remanentibus sic caute operaberis: resolve ea in 2'a, scilicet tot 420. Deinde accipe digitum ultimo inventum in extractione radicis, et eum praeponas duplato, per hunc modum "44". Deinde duc primum in secundum, et productum ponas supra secundum; et deinde duc primum in se ipsum per modum quo fecisti in extractione radicis, et provenient 176; per quem numerum dividas illa 420 2'a, et exibunt 2 2'a, quae sunt addenda ad radicem. Deinde secunda remanentia resolve in 4080 tertia, et productum divide ut prius per 176, et exibunt 23 3'a, remanentibus 32 tertiis, de quibus nihil est curandum. -- Radicem igitur quadrati propositi scias esse 24 puncta duo 2'a et 23 tertia.
    Credo autem firmiter modum istum inveniendi radicem praecise cuiuslibet numeri inventum fuisse anno domini 1289, die beati Dominici.
    (Ap231) Per hanc radicem ad idem genus redactam, scilicet ad tertia, dividas <quod provenerat> ex ductu umbrae in centum quinquaginta, ad 4'a redactum, et exibunt 129 m'a, remanentibus tot 4'is scilicet 4625553; quibus redactis ad tot quinta 277533180, ea dividas ut prius, et exibunt 53 2'a, remanentibus adhuc quintis tot scilicet 2773601; quibus redactis ad sexta et divisis ut prius, exibunt 32 tertia, remanentibus tot sextis scilicet 523484, de quibus nihil cures. Est igitur sinus exiens in toto 129 m'a 53 2'a et 32 3'a; per quem invenias eius circuli portionem, et erit aequando 59 gra 59 m'a et 29 2'a; quibus subtractis de 90 gradibus, quod est tota 4'a altitudinis, remanet altitudo solis 30 gradus et solummodo 31 2'a. De hac aequatione non oportet dubitare, quia praecisius non fiet.
    (Ap232) Et si umbram ex altitudine etc. (125-26): hoc capitulum et sequens expositione vel exemplo non indigent.
    Et ideo transeamus ad tractatum aequationum planetarum.

------------------

(Ap233) Post motuum superioris circuli (127-260): postquam superius determinatum est de sinibus et declinationibus et de aliis sphaerae octavae, vel partibus vel ut ad sphaeram octavam attributionem habentibus, determinat auctor hic consequenter de hiis quae contingunt orbibus inferioribus septem. Et primo (127-220) facit hoc, et secundo (221-260) regreditur ad determinandum de octava sphaera et de motu eius ad verificandum motus corporum inferiorum et de locis stellarum fixarum inveniendis. Et incipit secunda pars ibi Cum motum accessionis. -- Circa primum facit duo, quoniam primo (127-213) determinat de motibus planetarum in orbibus suis, et secundo (214-20) determinat de quibusdam accidentibus, quae contingunt planetis aliis a sole propter accessum eorum ad solem vel recessum ab eodem; et incipit secunda pars ibi Cum volueris ortus vel occasus. -- Adhuc primo (127-210) determinat de motu eorum cuiuslibet 7 absolute, et secundo (211-213), secundum quod ex motuum eorum diversitate diversimode se respiciunt, ibi Cum proiectiones radiorum. -- Prima pars habet 3, quia primo (127-51) determinat de inveniendo loca planetarum omnium singillatim, et secundo (152-66) determinat de quibusdam accidentibus quae contingunt planetis in motibus suis, et tertio (167-208b) determinat de quadam passione <**> specialiter soli et lunae ex eorum coniunctione adinvicem et oppositione, quae passio dicitur eclipsis. Et incipit secunda pars ibi Cum autem scire desideras, et tertia ibi Cum autem volueris invenire. -- Circa primum facit duo: primo enim (127-38) praemittit quaedam ad declarandum subsequentia, et secundo (139-51) de intento prosequitur, cum dicit Cum cuiuslibet planetae. -- Primo ergo praemittit illa, quae sunt sibi in sequentibus necessaria, ostendens scilicet de unoquoque eorum, quid dicitur per nomen, quae in sequentibus ut nota supponit. Et facit duo: primo enim (127-29) proponit illa enumerando, et secundo (130-38) de unoquoque prosequitur, cum dicit Radices ergo solis et lunae. -- Continuam igitur dicta dicendis.
    (Ap234) Dicit sic (127-29): Post notitiam motuum superioris circuli, scilicet octavi, restat investigare cursus, id est motus, circulorum: circulorum dico septem corporum caelestium positorum infra, scilicet circulum octavum. Haec autem volentibus scire praemittitur considerandum, quae sint radices eorum, scilicet circulorum vel corporum in hiis circulis, et similiter, quis sit numerus et ratio eorum, id est illorum, annorum, secundum quos annos idem motus, scilicet istorum corporum, inveniuntur. Nec non considerandum est horam diei vel noctis, qua die vel nocte hoc opus, scilicet compositio tabularum istarum de motibus planetarum, sumpserit initium; (Ap235) considerandum quoque (128) est longitudinem et latitudinem loci illius, ad quem medii cursus eorum, scilicet planetarum, constituuntur, scilicet in tabulis istis; (Ap236) atque (129) multa alia considerandum est, quae praemittuntur necessaria huic operi, scilicet ut sciatur de unoquoque quid dicitur per nomen, ut est argumentum, et augis vel aux, et centrum, scilicet planetae, et Geusahar, et stationes, et anni collecti, et anni expansi, et cetera: id est, necessarium est scire, quid est quod dicitur per nomen singulum istorum et quorundam aliorum. Quae nos praemisimus, dicit auctor, exposita alibi, scilicet in Theorica Planetarum, ex qua hic supponimus de pluribus, quid est quod dicitur per nomen. Hic vero breviter exponenda sunt quaedam, scilicet iam enumerata, quia sunt, supple, valde necessaria huic considerationi.

(Ap237) Radices vero solis et lunae (130-38): prosequitur de singulis horum quae proposuit. Et potest haec pars in septem partes dividi secundum septem quae hic prosequitur; et incipit secunda pars (132) ibi Initium vero ipsorum annorum, tertia (133) ibi Longitudo autem loci, 4'a (134-36) ibi Argumentum vero, quinta (137a) ibi Gausahar vero planetarum, sexta (137b) ibi Planetae autem dicuntur, septima (138) ibi Anni vero collecti. -- Prima (130-31) in duas, quia primo (130) prosequitur de primo, determinans quid intellegere debemus per radices planetarum, et secundo (131) excusat vel absolvit se a determinatione secundi propositorum ab initio; et incipit secunda pars ibi Numerus autem et ratio.
    (Ap238) Dicit primo (130) quod radices solis et lunae et quinque planetarum, scilicet aliorum a sole et luna, dicuntur partes signorum in quibus hae stellae, scilicet erraticae quae planetae dicuntur, erant in initio annorum, secundum quos annos cursus, id est motus, eorum, scilicet planetarum, vel earum, id est stellarum erraticarum, quod idem est, investigantur; quae, scilicet radices, inveniuntur in capitibus tabularum annorum collectorum (C*).
    Verbi gratia, in tabula medii motus solis (CA01) superius in capite annorum collectorum Arabum scribitur nullus numerus annorum, sed tantum "radix"; et e directo eius stant 3 signa 23 gradus 41 m'a et 11 s'a, ad denotandum quod sol in initio annorum Arabum, secundum quos motus planetarum accipiuntur, per motum sui medium ad tantum arcum zodiaci lapsus erat ab ariete. -- Radix igitur planetae non est aliud nisi arcus zodiaci, qui in initio annorum Arabum erat inter principium arietis et punctum terminans lineam medii motus planetae: computando, dico, arcum istum secundum successionem signorum ab ariete. Et sicut dixi de sole, consimiliter est intellegendum de aliis planetis: radix enim cuiuslibet ponitur in capite annorum collectorum in tabula medii motus sui.
    (Ap239) Numerus autem et ratio (131): absolvit se a determinatione secundi propositorum, quia dixit supra, considerandum esse quis sit numerus et ratio annorum secundum quos motus planetarum inveniuntur: a quo se absolvit, remittens nos ad ea quae dicebantur supra. In prooemio enim (:7) dicebatur anni lunares cuiusmodi sunt: anni isti constituuntur quilibet ex 354 diebus et 5'a et 6'a unius diei: haec igitur est annorum istorum ratio. -- Numerus autem istorum etiam invenitur per determinata in distinctione prima, quae erat de annorum in annos conversione: ibi enim docebatur invenire numerum annorum Arabum, qui lunares sunt, ad omne tempus Christi vel Persarum vel Graecorum datum. Et ideo bene dicit auctor quod numerus et ratio istorum annorum, secundum quos motus planetarum inveniuntur, qui lunares anni dicuntur, superius satis est manifesta.
    (Ap240) Initium vero ipsorum (132): ostendit quando anni isti lunares, vel Arabum, quod idem est, positi sunt incipere a compositore tabularum. Dicit enim quod initium annorum, secundum quos scilicet accipiuntur hic motus planetarum, constat esse mediam diem, id est meridiem, quartae feriae quae praecessit quintam feriam, quae, scilicet quinta feria, fuit prima dies primi mensis lunaris, a qua etiam die primus annus Arabum duxit originem.
    Et hic nota quod astronomi annum lunarem, tamquam quantitatem temporis aptiorem inventioni motuum planetarum considerantes, mensuram omnium revolutionum planetarum constituunt. Verumtamen quia -- dato motum esse aeternum vel etiam, ut verius est, dato ipsum incepisse -- cum ignoretur in quibus punctis erant planetae in principio motus, per annum lunarem nullius planetae motus certus haberetur -- cum ipsi anni lunares, per primum, infiniti sint, vel per secundum, loca ipsorum in principio motus incerta sint -- ideo a quodam certo et noto puncto temporis annos lunares placuit incipere. Et quia Arabes inter alias sectas soli annum suum "annum lunarem" vocant, ideo astronomi in inveniendis planetarum motibus tempus suum cum tempore Arabum incipere voluerunt. Punctum autem primum huius temporis fuit principium feriae quintae, quae erat prima dies Arabum: in tali enim feria Machometus princeps Arabum, ut dicitur, natus fuit; et haec quinta feria in meridie feriae 4'ae ante incepit. Ad meridiem igitur illius 4'ae feriae invenerunt locum solis et aliorum planetarum, quantum scilicet distabant in illo puncto temporis ab ariete, et distantiam ipsam in tabulis posuerunt et vocaverunt "radicem". Et quia constat astronomis, quantum aliquis planeta a puncto, in quo nunc est in zodiaco, distat per motum medium anno lunari revoluto <**> et per consequens quotquotque etiam revolutis, ideo ipsi, fundati in quodam pro certo accepto numero annorum lunarium, de facili motum planetae cuiuslibet poterunt invenire.
    (Ap241) Longitudo autem loci (133): ostendit, quae sit longitudo et latitudo huius loci, supra cuius meridianum factae sunt tabulae istae. -- Est autem longitudo civitatis, ut accipitur hic "longitudo", scilicet, distantia meridiani illius loci et meridiani medii mundi, puta civitatis quae vocatur Arim. Latitudo autem per superius (:Ap114) habita est distantia zenith regionis vel loci vel civitatis ab aequinoctiali.
    Dicit igitur quod longitudo loci huius, qui Toletum dicitur, ad cuius medium diem, id est ad cuius meridiem, radices praedictae, scilicet planetarum, positae sunt in hoc libro, est spatium 4 horarum et decimae unius horae a medio mundi, id est a loco qui est in medio mundi, qui locus dicitur esse in India, civitas scilicet quae vocatur Arim; cuius, scilicet civitatis Arim, longitudo ab occidente et ab oriente est 90 graduum, quia est in medio inter Gades Herculis et Alexandri. Latitudo vero eius, scilicet civitatis Arim, nulla est, sicut dicit, eo quod haec civitas sita est sub aequinoctiali: consequentia patet ex descriptione latitudinis. Latitudo vero Toleti, id est distantia eius ab aequinoctiali circulo, est 39 graduum et 54 minutorum.
    Longitudinem Toleti esse 4 horarum et decimae unius ab Arim, intellegere oportet sic, quod ad 4 horas et ad decimam partem unius horae, id est ad 6 minuta, prius est meridies apud Arim quam apud Toletum: ita quod tantum temporis fluit interim cum sol motu caeli totius defertur a meridiano Arim, donec centraliter meridianum Toleti attingat in quolibet die; et hoc contingit interim cum caelum volvitur ad 61 gradus cum dimidio.
    (Ap242) Argumentum vero est (134a-136): notificat simul, quid est argumentum et quid centrum planetae, et quid aux, quia quodammodo simile est de argumento in sole et de centro in aliis a luna, et utrumque accipitur secundum elongationem ab auge. Et ideo primo (134a-b) notificat, quid oportet intellegere per argumentum, et secundo (135), quid per centrum, cum dicit Centrum vero in planetis, et tertio (136), quid per augem, cum dicit Aux. -- Et quia diversimode accipitur argumentum in sole et in aliis qui habent epicyclos, ideo primo notificat, quid est argumentum in sole, et secundo, quid est argumentum in aliis, ibi In luna autem.
    (Ap243) Dicit primo (134a) quod argumentum in sole est distantia eius ab auge sua, id est, arcus excentrici solis, vel zodiaci magis, cadens inter punctum ad quod elevata est aux solis -- quod est 28'us gradus geminorum -- et lineam medii motus solis.
    (Ap244) In luna autem (134b): dicit quod in luna et in ceteris planetis, supple habentibus epicyclum, est, argumentum supple, distantia eorum a summitate epicyclorum, vel ab augibus suis, quod idem est. -- Sicut igitur in sole argumentum erat arcus distentus ab auge excentrici sui ad lineam medii motus solis, sic argumentum in planetis habentibus epicyclum est arcus protensus ab auge epicycli ad medium planetae, secundum motum planetae in epicyclo.
    (Ap245) Centrum vero (135): notificat, quid est centrum in planetis, dicens quod ipsum est distantia centrorum epicyclorum suorum ab augibus suis, id est ab augibus suorum deferentium. Et hoc est verum de Venere, Mercurio et tribus superioribus. In luna vero consimilis arcus, scilicet distantia centri epicycli ab auge sui deferentis, vocatur longitudo duplex. Est enim arcus ille in luna duplex ad arcum interceptum inter lineam medii motus solis et centrum epicycli lunae, sicut apparet ex secundo capitulo Theoricae Planetarum.
    (Ap246) Aux autem planetae (136): notificat quid est aux, dicens quod aux planetae vocatur punctum ubi excentricus circulus eius, vel epicyclus, supple, <magis> recedit a centro terrae: id est, punctum aliquod deferentis, vel epicycli, <quod magis> distat a centro terrae.
    Et quod necessarium sit aliquod tale punctum esse in deferente excentrico, vel epicyclo, patet ex eo quod, cum circulus excentricus ex principio Theoricae habet centrum extra centrum terrae, constat centrum illius deferentis elevatum esse in aliquam partem a centro terrae, et per consequens totum circulum in una sui parte magis appropinquare ad firmamentum, et ex consequenti magis elongari a centro terrae. Punctum autem illud "aux" dicitur. Quod punctum invenitur per lineam ductam a centro terrae per centrum excentrici ad circumferentiam deferentis: punctum enim illud excentrici, in quo haec linea attingit circumferentiam, vocatur aux. Et bene "aux": ab "augeo" enim aux dicitur; linea enim ducta ad circumferentiam in punctum, quod aux dicitur, aucta est super omnes lineas quae a centro terrae ad circumferentiam deferentis duci possunt.
    (Ap247) Gausahar (137a): notificat quintum principaliter intentorum, dicens quod Gausahar planetarum, quae alio nomine vocantur "caput" et "cauda draconis", vocantur intersectiones quae fiunt a circulis excentricis eorum et circulo solis.
    Quos ita imagineris, quia, licet omnes orbes sint pervii luminis et diaphani, planeta tamen determinatus est ad moveri semper in eadem parte excentrici et totius orbis. Et linea illa circularis, quam describit planeta in motu suo in ipso orbe, vocatur "deferens" planetae. Hoc autem est duobus modis, quia in planetis habentibus epicyclum deferens iste est linea circularis totius orbis quam describit, vel super quam semper fertur, centrum epicycli planetae; in sole autem, qui non habet epicyclum, deferens est linea circularis orbis sui, super quam currit centrum, id est medium punctale, corporis solaris; et haec linea vocatur "deferens solis". Et haec non est ecliptica, sicut quibusdam videtur; sed linea circularis, quae media est zodiaci, qui pars est caeli stellati huic lineae circulari orbis solis correspondens, et cui haec subiecta est directe, dicitur ecliptica. Est autem haec linea, quae est ecliptica, media 24 graduum latitudinis zodiaci.
    (Ap248) Tunc ad propositum dico quod, licet deferens planetae cuiuslibet a deferente vel a via solis multum distent, tamen, si essent densitatis alicuius, ut videri possent, pars aliqua punctalis deferentium corporum infra solem positorum partem aliquam deferentis solis impediret, quominus videretur; et similiter pars aliqua deferentis solis partem aliquam deferentium trium superiorum corporum impediret ab aspectu meo. Unde, quamquam isti circuli non videantur nec se sic quantum ad aspectum nostrum intersecant, tamen sic ordinati sunt ut, si lineae ab oculo meo vel a centro terrae ducerentur ad omnem partem deferentis lunae sursum, necessario aliqua illarum attingeret deferentem solis in aliqua sui parte; et in hiis punctis deferens lunae et deferens solis se dicuntur intersecare, scilicet in puncto deferentis lunae et deferentis solis ubi haec linea a centro terrae exiens utrosque contingit. Et quia intersecantes se in hoc puncto intersecant se similiter in puncto opposito -- ut si deferens lunae intersecat deferentem solis in primo gradu tauri in una hora -- intersecabit etiam eum in puncto opposito, puta in primo gradu scorpionis. Et sicut dictum est de luna respectu solis, sic est de Venere et Mercurio respectu solis et de sole respectu trium superiorum. -- Intersectiones autem istae vocantur "Geusahar", quod est idem quod "draco"; et nomine usitato vocantur "caput" et "cauda". Et haec de isto sufficiant: haec enim proprie locum habent in Theorica Planetarum.
    (Ap249) Planetae autem (137b): notificat, quid dicitur per nomen stationis, dicens quod planetae dicuntur in duobus locis epicyclorum suorum stare, scilicet in initio retrogradationis suae et in initio directionis suae. Sed punctum epicycli, ubi incipiunt retrogradari, dicitur "statio prima"; et ubi incipiunt dirigi, dicitur "statio 2'a".
    (Ap250) Et hic notandum est quod, cum diameter epicycli est in eadem superficie cum diametro deferentis, vel ut semper vel ut plerumque, ideo contingit quod, si lineae duae exeuntes a centro terrae contingant epicyclum ex utraque parte, fere in recta linea videbuntur eum contingere. Planeta igitur, transiens per partes epicycli, ad haec duo loca veniens videtur stare in caelo, cum tamen ibi moveatur sicut alibi; ita quod, si planeta aliquis tardi motus de nocte videatur iuxta stellam aliquam fixam, una vel pluribus noctibus transactis iuxta eandem invenietur, vel parum vel nihil orientalior quam prius, nisi quantum motus est motu centri epicycli; et in hiis punctis duobus existens dicitur "stare". Et ideo haec duo loca dicuntur "stationes".
    Et ut scias, quae est statio prima et quae secunda, videas quando planeta dicitur retrogradari et quando dirigi, vel quando dicitur esse retrogradus et quando directus. Est autem planeta directus, quando movetur motu immediato in epicyclo suo in orientem, sicut movetur centrum deferentis. Et hoc est quando sunt in superiori parte epicyclorum suorum, praeter lunam: tunc enim vadunt motu duplici in eandem partem. -- Sed tunc dicuntur retrogradi planetae, quando planetae in epicyclo moventur in occidentem, et centrum sicut semper in orientem. Et hoc est quando sunt in inferiori parte sui epicycli, nisi in luna. -- Et punctum epicycli, in quo planeta existens incepit ire versus orientem, haec est statio secunda, <--> iam finita retrogradatione incipit dirigi. Et hoc est punctum contactus epicycli cum linea contingente ipsum ad occidentem, cum est supra terram, vel ad orientem, cum est sub terra; linea, dico, exeunte a centro terrae. Et punctum aliud contactus est statio prima. Et haec de isto ad praesens sufficiant.
    (Ap251) Anni vero collecti (138): notificat, quid oportet intellegere per annos collectos et expansos, dicens quod anni collecti dicuntur, "collecti" supple, eo quod triginta colligantur ad constitutionem unius lineae; et isti anni scribuntur in prima linea tabulae primae medii motus cuiuslibet planetae, et crescunt semper per 30. Anni vero expansi dicuntur quia simplices extendantur, addendo unum supra numerum praecedentem; et isti scribuntur in prima linea secundae tabulae medii <motus> planetarum; crescunt enim per unum. Et semper e directo eorum stat motus planetae, id est, arcus existens inter lineam medii motus planetae, accepti in aliqua hora, et lineam medii motus eiusdem, lapsis 30 annis vel uno.
    Et tunc recapitulat, continuando etiam dicta dicendis, et patet de se.

(Fig.: A,103v)

(Ap252) Et si placeat, videas in figura subscripta omnes arcus et puncta, de quibus iam locutus est auctor. Sit circulus ABCD zodiacus seu ecliptica, sub quo currit sol semper, et eius centrum est E, quod etiam est centrum terrae; et sit arietis principium C. Deinde sit circulus FGH deferens solis, cuius aux est G et centrum I. Si igitur sol ponatur esse in puncto F circuli sui, tunc arcus GF erit argumentum solis, vel arcus BO. Deinde sit circulus QLS deferens lunae vel alterius planetae: erit igitur aux eius punctum L, in cuius circuli circumferentia movetur centrum epicycli. Centrum igitur planetae alicuius habentium epicyclum, praeter lunam, erit arcus KL, et idem in luna est longitudo duplex.
    Manifestum est igitur circulum QLS, qui est excentricus deferens planetae alterius a sole, intersecare circulum QGS, qui est deferens solis, in duobus punctis oppositis, quae sunt Q et S. Haec igitur sunt puncta quae vocantur ab auctore Geusahar, in quibus vel prope fiunt omnes eclipses. -- Item sit parvus circulus <--> VZX epicyclus planetae: constat ergo punctum Z esse augem epicycli, et punctum V stationem primam et X secundam, in omnibus praeter lunam; et vocatur punctum V "statio prima", quia planeta recedens ab auge prius venit ad V quam ad X, qui vadunt ab occidente in orientem superius; et luna per oppositum. -- Quis autem sit medius motus alicuius, infra habet dici.

(Ap253) Cum cuiuslibet planetae medium cursum (139-51): praemissis necessariis ad motus planetarum inveniendos, prosequitur de eorum inventione. Et facit duo, quoniam primo (139-40) dat artem generalem ad inveniendum motum cuiuslibet medium, et secundo (141-51) docet specialiter locum certum cuiuslibet invenire per motum medium inventum. Et incipit secunda pars ibi Si autem certum locum solis.
    (Ap254) In capitulo primo (139-40) facit auctor duo: primo enim (139) docet invenire motum medium cuiuslibet planetae ad civitatem Toletanam, ad cuius meridianum factae sunt tabulae istae, et secundo (140) dat artem utendi eodem modo ad inveniendum medium motum cuiuslibet ad quamcumque aliam civitatem. Et incipit secunda pars ibi Si autem ad alterius etc.
    (Ap255) Et quia prima pars capituli (139) nulla expositione indiget -- nisi quod tempus tuum, ad quod vis scire motum alicuius medium, in tempus Arabum oportet convertere et cum tot annis intrare tabulas, sicut dicit auctor -- ideo transibo hic sicco pede. Si enim ad annos Arabum 688 perfectos et ad 8 menses praecise intraveris tabulas solis ad medium motum (CA01), invenies 5 signa 11 gradus 37 m'a 46 2'a; et si cum eodem tempore intraveris tabulas medii motus lunae (CA11), invenies etiam 5 signa 8 gradus 47 m'a et 47 2'a, et istud est ad Toletum.
    (Ap256) Si autem ad alterius etc. (140): docet qualiter modo inveniendi medium motum planetae ad civitatem Toleti uti possumus ad quamcumque aliam civitatem. Et dicit quod longitudo accipienda est, quae longitudo est inter civitatem Toletanam et civitatem illam, ad quam medios motus planetarum intendis invenire, et videndum est, quot horarum sit illa longitudo, id est, quot horas transierunt interim, cum planeta raptu firmamenti movetur a meridiano unius illorum locorum ad meridianum alterius. Et tunc planetae illius, de quo intendis, medius motus in tot horis inveniendus est. Et tunc, si villa illa, ad quam motum planetae quaeris, fuerit orientalior quam Toletum, motum planetae in tot horis inventum oportet subtrahere a medio motu toto ad Toletum invento; vel si villa illa fuerit occidentalior, tunc motus longitudinis inventus addendus est medio motui prius invento; et quod post additionem vel subtractionem fuerit, erit medius motus planetae ad civitatem illam, ad quam motum planetae quaerebas, ad diem vel horam datam.
    Et ponit auctor exemplum de Cremona, quae orientalior est quam Toletum ad 20 gradus, ita quod inter meridianum Cremonae et Toleti sunt 20 gradus caeli; per quot gradus planeta motu caeli vadit in una hora et 3'a parte unius, id est in 20 minutis horae. Et ideo dicit auctor quod motus planetae in una hora et 20 minutis subtrahendus est a motu toto ad Toletum invento, et habebitur medius motus planetae istius ad Cremonam, quae est in Italia.
    (Ap257) Et nos ponemus exemplum de villa Parisiensi. Parisius distat a Toleto in orientem per undecim gradus cum dimidio. Cum ergo per superius dicta (:Ap186) 15 gradus faciunt unam horam aequalem, unus gradus valebit quintam decimam partem unius horae, scilicet 4 minuta; interim igitur, cum planeta movetur motu caeli a meridiano Parisiensi, usque dum venerit ad meridianum Toleti, transibunt de tempore 46 m'a unius horae. Motum ergo planetae, de quo quaeris, in tanto tempore quaeras, et motum illum de motu illius planetae ad Toletum invento minue. -- Puta, sol per medium motum in 46 minutis movetur ad unum minutum sui excentrici et ad 53 2'a et 28 3'a, et luna ad 25 m'a sui excentrici et 14 2'a et 56 3'a; quibus ab aliis sui generis subtractis, erit medius motus solis Parisius ad horam supra datam 5 signa 11 gradus 35 m'a et 46 s'a; de tertiis autem non est opus, nisi, si velis, unum pro illis ponas ad 2'a, cum excedant 30. Medius autem motus lunae erit Parisius ad eandem horam 5 signa 8 gradus 22 m'a et 32 2'a; de 4 autem tertiis non est cura.
    (Ap258) Causa autem, quare motum planetae in tempore longitudinis oportet demere de motu planetae invento ad Toletum apud civitatem ad orientem sitam a Toleto, est haec, quia planeta delatus ab oriente in occidentem prius attingit meridianum civitatis orientalioris quam occidentalioris; et quia planeta, interim cum movetur motu isto caeli, movetur etiam motu proprio in oppositum, ideo planeta, cum movetur a meridiano unius villae ad meridianum alterius motu caeli, aliquantulum etiam movetur motu proprio. Motus igitur medius planetae inventus ad Toletum est distantia lineae medii motus ab ariete in illa hora accepta, id est in fine octavi mensis; et cum mensis ille prius finitur Parisius quam Toleti, quia sol vel alius planeta prius venit ad meridianum Parisiensem, ideo minor est eius motus et minor distantia eius ab ariete, cum ille octavus mensis finitur Parisius, quam cum finitur Toleti. In oppositum est de villa sita ad occidentem a Toleto, quia quodlibet punctum temporis prius est Toleti quam ad villam occidentaliorem; et ideo, cum motus planetae inventus est ad Toletum ad aliquam horam, si ad eandem horam velis habere motum eius ad illam villam, oportet medium motum invenire, ad quem movetur interim donec eadem hora fuerit ad villam illam, quae est Toleti; et illum motum oportet ad motum planetae ad Toletum inventum addere. Et haec de illo.

(Ap259) Si autem certum locum solis (141a-66): postquam docuit invenire medium motum cuiuslibet planetae, hic docet consequenter certum locum cuiuslibet invenire. Et facit duo: primo enim (141a-51) determinat de vero loco cuiuslibet inveniendo, et secundo (152-66) determinat quaedam accidentia quae contingunt planetis in motu ipsorum; et secundum facit ibi Cum autem scire desideras. -- Prima in 3, quia primo (141a-144) docet invenire certum locum solis et lunae, et secundo (145-48) trium superiorum, cum dicit Cum quemlibet trium superiorum etc., et tertio (149-51) Veneris et Mercurii, cum dicit Examinatio autem. -- Adhuc primo (141a-143) docet invenire loca solis et lunae, et secundo (144) locum Geusahar eorum, cum dicit Quaere capitis draconis. -- Adhuc primo (141a-142) docet invenire verum locum solis, et secundo (143) lunae, ibi Si certum locum lunae.

(Fig.: A,105rb)

(Ap260) Et videas primo theoriam capituli. Sit circulus ABC caelum stellatum, sive zodiacus, qui est pars eius, et sit primum punctum arietis punctum C. Item sit circulus DEF deferens solis, cuius centrum est G, recedens a centro mundi, quod est H: aux ergo deferentis solis est punctum E, quod elevatum est in 18'm gradum geminorum. Sit ergo sol motus ab ariete in deferente suo ad punctum D: erit igitur sol secundum aspectum nostrum in puncto I zodiaci, quem aspectum signat linea HI. Ad locum igitur solis inveniendum ducta est linea HA aequedistanter lineae GD, et haec linea, scilicet HA, terminat medium motum solis: cum enim sol realiter est in puncto D deferentis sui et in puncto I zodiaci per aspectum nostrum, dicitur esse in puncto A per medium motum. Arcus ergo ABC est medius motus solis, cum realiter est in puncto D.
    (Ap261) Per quem medium motum invenimus locum solis, id est isto modo, quia invenimus arcum AI per tabulas, et illum subtrahemus ab arcu toto ABC; et remanebit verus locus solis, scilicet distantia eius vera ab ariete, quae est IBC. Sed arcum AI sic invenimus, quia a toto arcu medii motus solis subtrahimus augem eius, id est distantiam augis solis ab ariete -- quae ponitur in tabulis (DA01), quia semper est eadem -- quae est arcus BC, et remanebit arcus AB, qui arcus per dicta superius (:Ap243) vocatur "argumentum". Cum quo intrabimus tabulas (EA01) et invenimus arcum AI quantus fuerit; deinde illum arcum subtrahimus a medio motu, id est a toto arcu ABC, et remanebit arcus IBC; quo habito scio punctum in quo sol in zodiaco est vel in octava sphaera. Et ille parvus arcus vocatur "aequatio argumenti". Iste autem arcus, scilicet aequatio argumenti, non semper minuitur de toto medio motu, quia, si sol distat ab ariete per medium motum ad plus quam ad 8 signa et 18 gradus, id est si argumentum solis fuerit plus quam 6 signa, tunc aequatio additur; cuius causa etiam patet, si ponatur sol esse in puncto O deferentis sui.
    Et hoc modo, per medium motum, unum motum invenimus tamquam unum proportionalium per alterum: quantus enim est arcus ABC totius zodiaci, tantus est arcus DEF deferentis, quem sol deambulaverat; quod patet, quia portio FE similis est portioni CB, et portio ED portioni BA, quia anguli portionum primarum sunt aequales, et duarum secundarum similiter. Et ideo dicit auctor in theoria motus solis quod "invenire medium motum solis est invenire quendam arcum zodiaci, qui sic se habet ad zodiacum, sicut arcus deferentis pertransitus a sole se habet ad deferentem". -- Hiis visis facile est capitulum.
    (Ap262) Et quia, sicut modo patuit, verus locus solis habetur per additionem aequationis argumenti ad medium motum solis, vel per subtractionem eiusdem ab eodem invenitur, et etiam quia haec aequatio invenitur non nisi per argumentum solis, ideo auctor duo facit in isto capitulo (141a-142), quoniam primo (141a) docet invenire argumentum solis, et secundo (141b-142) docet cum argumento operari, cum dicit Cum quo lineas numeri etc.
    (Ap263) Dicit primo (141a) quod, si certum locum solis examinare volueris vel desideras, tunc medium cursum, id est medium motum, illius, scilicet solis, quaere sicut praemonstratum est, scilicet in capitulo praecedenti proximo; eumque, scilicet illum medium motum, inventum in duobus locis praenota, quorum unum integrum reserva in tabula tua, ut non cadat a memoria, cum in fine operis ipsum oporteat resumere, ut sibi aequatio argumenti addatur vel subtrahatur; ex altero vero, id est a medio motu loco altero posito, augem solis, scilicet 2 signa 17 gradus et 50 m'a, subtrahe, si poteris, id est si maior est medius motus quam aux. Sin autem, id est, si non poteris augem de medio motu subtrahere, quia minor est medius motus quam aux, tunc eidem cursui medio, id est medio motui, 12 signa adiunge, et ex numero surgenti post additionem 12 signorum ad medium motum praedictam augem subtrahe; et tunc quod remanserit erit solis argumentum.
    Et nota quod, si medius motus fuerit praecise tantus quanta est aux, tunc, cum nihil post subtractionem remanserit, ille idem medius motus est verus locus solis, quia linea medii motus et veri eadem est, et inter eas nullus arcus cadit; arcus autem intercidens est semper differentia medii motus a vero loco. Et similiter est in opposito augis, id est cum argumentum est sex signa praecise; ita quod, quando medius motus vel fuerit praecise 2 signa 17 gradus et 50 m'a, vel etiam praecise 8 signa 17 gradus et 50 m'a, tunc verus motus cum medio coincidit.
    (Ap264) Cum quo lineas numeri (141b-142): docet ex argumento invento ad propositum operari; et primo (141b) supponendo argumentum esse praecise in gradibus, et secundo (142) si cum gradibus sint aliae fractiones, ibi Si autem cum argumento fuerint minuta.
    (Ap265) Sententia primae partis (141b) stat in hoc quod cum argumento solis iam invento intrare oportet in lineas numeri, quae scilicet intitulantur "aequationes solis" (EA01), quaerendo scilicet tot gradus et tot signa inter lineas numeri, quae ponuntur primo a sinistris tabulae cuiuslibet; et oportet aequationem argumenti e directo positam addere supra medium motum prius reservatum integrum, et hoc est verum, si argumentum, cum quo intrasti, fuerit plus sex signis; vel oportet eandem aequationem ab eodem medio motu minuere, si argumentum praedictum fuerit minus sex signis; et addendo vel subtrahendo (142:) habebitur verus locus solis in 8'a sphaera apud Toletum, si medius motus primo acceptus fuit ad Toletum, cum quo modo fuisti operatus. Cui addas motum octavae sphaerae vel subtrahas, et habebis praecise verum locum solis apud Toletum in 9'a sphaera. De isto motu dicetur postea.
    (Ap266) Si autem cum argumento (142): docet operari cum argumento invento, si cum eo fuerint fractiones. Et notandum quod auctor vult quod eodem modo opereris pro fractionibus argumenti hic, sicut dictum est in capitulo de sinibus et cetera (:Ap98). Et ideo auctor, supponens te intrasse primo semel cum gradibus argumenti praecisis, dicit quod, si cum argumento sint minuta, intrabis secundo cum eodem argumento, uno gradu sibi addito, et aequationem, quae sibi debetur, sub prima scribas, quam primam cum gradibus argumenti praecisis accepisti. Deinde utriusque aequationis differentiam consideres, cuius accipias partem proportionalem ad totam differentiam secundum proportionem minutorum argumenti ad 60.
    Et hoc fiet, si poteris, sicut supponit auctor, per denominationem, accipiendo scilicet partem differentiae totam quota pars fractiones argumenti sunt de 60 minutis; et partem illam, sicut dicit auctor, oportet primae aequationi addere vel subtrahere: addere, inquam, si minor est quam secunda, subtrahere vero, si sit maior quam secunda. -- Vel, sicut dicit, partem illam proportionalem modo consueto invenire oportet, scilicet multiplicando secundum per tertium et productum dividendo per primum, ita quod 60 fiant primum, fractiones argumenti secundum, et differentia aequationum tertium; et semper partem proportionalem oportet addere vel subtrahere aequationi primae, sicut dicebatur. Et quod post additionem vel subtractionem fuerit, est aequatio argumenti quaesita.
    Quam medio motui prius reservato addas, si argumentum fuerit plus 6 signis, vel ab eodem eandem minuas, si fuerit idem argumentum minus sex signis; et, sicut dicebatur, habebis verum locum solis in 8'a sphaera. Cui +si addideris+ motum octavae sphaerae vel subtrahes: quod quaeras in capitulo illo Cum motum accessionis (:Ap504).
    Exemplum operationis sit istud. Esto enim quod medius motus solis sit 5 signa 11 gradus et 37 m'a et 46 2'a; ab ipso igitur subtrahas augem solis, et cum residuo, scilicet cum duobus signis 23 gra 47 minutis et 46 secundis, lineas numeri (EA01) ingredere, et invenies e directo primi introitus in tertia tabula, scilicet e directo 2 signorum et 23 graduum, aequationem positam versus dexteram, scilicet unum gradum 57 m'a et 42 secunda; e directo secundi introitus ad unum gradum additum, id est e directo 24 graduum, invenies aequationem scilicet unum gradum 58 m'a et unum secundum. Quarum duarum aequationum differentia est 19 2'a, quorum pars proportionalis est 15 2'a; quam partem aequationi primae addas, quia minor est quam secunda, et erit aequatio argumenti praecise unus gra 57 m'a et 57 2'a. Quam de medio motu subtrahas, quia argumentum fuit minus sex signis, et remanebit verus motus solis 5 signa 9 gra 39 m'a et 43 2'a, in octava sphaera. Cui addas motum octavae sphaerae, qui est anno domini +1289'o+ 9 gradus 22 m'a et 20 2'a, vel anno Arabum 689'o, et erit verus motus solis in 9'a sphaera 5 signa 19 gradus 2 m'a et 3 2'a. Erit igitur sol ad tempus datum, scilicet quo invenimus medium motum eius, scilicet in 20'o gradu virginis.

(Ap267) Si certum locum lunae (143): docet consequenter invenire verum locum lunae.

(Fig.: A,106rb)

(Ap268) Ad intellectum cuius, sit circulus ADF zodiacus, cuius centrum est centrum mundi, scilicet K. Item sit circulus GHL deferens lunae, cuius centrum I describit circulum parvum, scilicet IM, circa centrum mundi, ita quod, quam cito centrum deferentis, scilicet I, perficit suum parvum circulum, tam cito etiam aux excentrici, scilicet H, totum zodiacum. Et scito quod aux excentrici et centrum excentrici in eandem partem moventur: aliter enim statim amitteret nomen augis. Epicyclus autem lunae sit aliquis de 4 signatis.
    (Ap269) Notandum igitur quod medius motus est arcus ACP: linea enim medii motus est AK, principium autem arietis punctum P. Verus autem locus lunae est punctum B, terminans lineam BK: luna enim ponitur hic in exemplo esse in longitudine media sui epicycli. Si igitur arcus AB, qui vocatur aequatio argumenti lunae, esset notus, facile esset dato medio motu verum locum invenire. Et ideo ad hoc inveniendum extrahitur argumentum lunae ex tabulis (CA21), quod est distantia lunae ab auge media sui epicycli, qui est punctum O; haec autem distantia est arcus interceptus inter O et lunam. -- Ex quo patet duo ex tabulis mihi nota esse, scilicet arcum ABP, qui est medius motus, et arcum inter O et lunam, qui est argumentum lunae. Constat igitur quod, si parvus arcus, scilicet NO, epicycli esset mihi notus, tunc arcus qui est inter N et lunam esset mihi notus, et per consequens arcus zodiaci, scilicet AB, sibi correspondens, dato quod aequatio argumenti propter descensum epicycli non variaretur. Sed quia et variatur aequatio argumenti, quae est arcus AB, et aequatio centri, quae est arcus epicycli NO, luna in eadem parte sui epicycli existente -- quod patet, quia maior est arcus EF vel QR quam AB; item maior est arcus TV quam NO -- ideo, ad habendum aequationem argumenti praecise per descensum centri epicycli ab auge, invenimus aequationem centri in tabulis (EA11), et similiter invenimus ibi cum eadem distantia descensum centri epicycli lunae ab auge, per quem descensum inveniemus, de quanto aequatio argumenti lunae maior est in alia parte deferentis ab auge quam in auge.
    (Ap270) Et ideo primo invenimus medium motum lunae, et sit arcus ABP; deinde ab eo subtrahimus medium motum solis, puta arcum SP, et remanet arcus AS; quo duplato habemus arcum ASC, quod est centrum lunae, scilicet quod est distantia centri epicycli lunae ab auge. Cum qua intrando tabulas inveniemus semper arcum NO quantus sit ex descensu centri epicycli lunae, qui signatur per lineam HX, quae est pars lineae HZ, quae divisa in 60 partes dicitur 60 "minuta proportionalia".
    Hiis autem inventis, scilicet aequatione centri et minutis proportionalibus, cum aequatione centri inveniemus argumentum lunae aequatum, quod est portio epicycli aequationi argumenti correspondens, scilicet arcus intercidens inter N et lunam. Quia, si centrum lunae, vel distantia centri epicycli ab auge deferentis, fuerit minor sex signis, tunc aequationem centri, scilicet arcum NO, semper superaddemus argumento lunae medio, quod est arcus inter O et lunam, et habebimus argumentum lunae aequatum, quod est arcus inter N et lunam; vel si distantia centri epicycli ab auge deferentis fuerit maior quam sex signa, ut est arcus H'GH, tunc aequatio centri, quae est arcus TV, debet subtrahi ab argumento medio, quod est arcus qui est inter T et lunam, per V transiens, et remanebit argumentum lunae aequatum, quod est arcus qui est inter V et lunam. Postea cum isto argumento aequato intrabimus tabulas et inveniemus arcum zodiaci correspondentem huic argumento aequato, et erit arcus AB vel QR vel aliquid tale.
    (Ap271) Et quia haec aequatio aliquando maior est, aliquando minor etiam, argumento lunae aequato eodem existente, propter accessum centri epicycli lunae ad terram et eiusdem ab eodem recessum -- sicut patet: minor enim est arcus CD quam AB, et AB minor quam EF, et iterum EF maior quam QR, ita quod excessus arcus EF supra arcum CD est arcus DD': arcus enim totus CDD' est aequalis arcui EF -- et ideo cum argumento aequato invenimus etiam arcum tantum, de quanto aequatio cuiuscumque argumenti lunae maior est, quando centrum epicycli est in opposito augis excentrici, quam quando est in auge: et ille excessus vocatur "diversitas diametri circuli brevis". Et ideo, cum excessus ille non est cuiuslibet aequationis supra aequationem argumenti, luna existente in auge, sed solum excessus aequationis argumenti, centro epicycli existente in opposito augis, supra aequationem eiusdem argumenti, centro epicycli in auge existente, ideo rationabiliter de excessu illo tantam partem accipiemus, quanta portio minuta proportionalia sunt de 60 minutis; quae minuta, sicut dictum est, significant quantitatem descensus centri epicycli ab auge. Et partem illam proportionalem illius excessus aequationum addimus ad aequationem primo inventam, quae supposuit centrum epicycli lunae esse in auge deferentis; et pars illa proportionalis est excessus AB vel QR, vel aliquorum talium, supra CD; et sic inveniemus, post additionem factam, aequationem argumenti examinatam, scilicet praecise arcum AB vel QR vel aliquid tale.
    Cum igitur iam est mihi notus totus medius motus, scilicet arcus ABP, et similiter aequatio argumenti, dempta aequatione de medio motu remanebit verus motus lunae, scilicet arcus BCP. Vel, cum est mihi notus totus medius motus, scilicet PQR, et si aequatio argumenti est mihi nota, scilicet QR, ideo, aequatione argumenti etiam de medio motu subtracta, remanet verus motus, scilicet arcus PAQ. Si autem luna esset in alia parte epicycli sui, iam aequationem argumenti medio motui adderemus. -- Et haec ad intellectum capituli sufficiant.
    (Ap272) Sententia capituli (143) est quod, si velis certum locum lunae invenire, tunc accipe eius medium motum, sicut in sole dictum est (:Ap253; CA11), et scribe ipsum in pulvere. Deinde etiam accipe medium argumentum lunae in tabulis (CA21), intrando cum eodem tempore tabulas medii argumenti lunae, cum quo tabulas medii motus lunae intras. Deinde medium motum solis de medio motu lunae subtrahe, si poteris; sin autem, medio motui 12 signa adiungens, a toto subtrahe; et semper residuum dupla, et duplatum est centrum lunae vel longitudo duplex. Cum quo tabulas aequationis lunae (EA11) in lineis numeri intra, et e directo accipe de aequatione centri et minutis proportionalibus, et quodlibet horum per se seorsum scribe in pulvere, aequando pro minutis centri sicut consuevisti. Considera ergo centrum lunae: quod si fuerit plus sex signis, tunc eandem aequationem centri de argumento medio minue, vel eandem eidem adde, si centrum lunae fuerit minus sex signis; et sic aequabis argumentum idem, quod vocabitur "argumentum lunae aequatum". Deinde, reservatis minutis proportionalibus, cum argumento aequato easdem tabulas in lineis numeri intra, et e directo eius accipe de aequatione argumenti et de diversitate diametri circuli brevis, aequando etiam ad quodlibet pro minutis argumenti. Deinde de diversitate diametri tantam portionem addas aequationi argumenti, quanta portio de 60 sunt illa minuta proportionalia quae primo cum centro accepisti, et habebis aequationem argumenti examinatam. Quam addas medio motui lunae prius ex tabulis sumpto: addas, inquam, si argumentum aequatum fuerit plus sex signis, vel eandem ab eodem minuas, si argumentum aequatum fuerit minus quam sex signa; et quod exierit erit certissimus locus lunae, computando ab ariete, in 8'a sphaera, sicut prius dictum est de sole.
    (Ap273) Verbi gratia, sit medius motus ille qui supra, scilicet 5 signa 8 gradus 47 m'a et 47 2'a +Parisius+ (:Ap255), ad 688 annos et 8 menses Arabum. Cum eodem igitur tempore intra tabulas medii argumenti lunae (CA21), et invenies 10 signa 26 gra 33 m'a et 46 2'a, quod est distantia corporis lunaris centraliter ab auge media sui epicycli. -- Et appellatur hic generaliter "signum" duodecima pars epicycli. -- Quo facto demas medium motum solis ad idem tempus de medio motu lunae; et quia medius motus lunae minor est sibi, addas 12 signa, et de aggregato medium motum solis minuas; et residuum, scilicet 11 signa 27 gradus 10 m'a et 7 s'a, quae sunt distantia centri epicycli lunae a linea medii motus solis, dupletur, et proveniunt 11 signa 24 gradus 20 m'a et 14 2'a, abiectis 12 signis. Quod totum est distantia centri epicycli lunae ab auge sui excentrici -- sol enim semper vel est cum centro epicycli et cum auge, vel oppositus utrisque, vel medius inter utrumque, secundum medium motum -- et haec distantia centri epicycli lunae ab auge vocatur "centrum lunae" vel "longitudo duplex".
    Cum quo lineas numeri (EA11) intrans, invenies aequando de minutis proportionalibus nihil, et de aequatione centri 50 m'a et 18 2'a, quod est arcus epicycli cadens inter duas auges epicycli. Quem de argumento medio invento primo subtrahas, quia centrum lunae est plus sex signis, et remanet argumentum lunae verum et aequatum, scilicet 10 signa 25 gradus 43 m'a 28 2'a; quod est arcus cadens inter augem veram epicycli et medium lunae. Cum quo easdem lineas numeri ingredere, et e directo aequando accipias de aequatione argumenti lunae et de diversitate diametri circuli brevis; et invenies de aequatione argumenti 2 gradus 37 m'a et 51 2'a; item de diversitate diametri invenies unum gradum 19 m'a et 33 s'a. De quibus tantam partem ad aequationem argumenti oporteret addere, quanta pars de 60 essent minuta proportionalia cum centro lunae accepta; unde, quia nihil invenisti de minutis, nihil huius diversitatis diametri aequationi argumenti addas, sed, diversitate ipsa abiecta, aequationem argumenti iam inventam pro aequatione examinata habeas. -- Unde notandum hic ex dictis quod, cum per centrum nihil inveneris in minutis proportionalibus, non est intrandum ad diversitatem diametri cum argumento aequato, sed aequationem inventam aequando teneas pro aequatione examinata. -- Hanc ergo aequationem oportet addere medio motui primo invento, quia argumentum lunae aequatum fuit plus sex signis, cuius ratio ostenditur inferius (:?); et invenies verum locum lunae, scilicet 5 signa 11 gradus 25 m'a 38 2'a, in 8'a sphaera. Adde igitur sibi motum octavae sphaerae, scilicet 9 gradus 22 m'a et 20 s'a, et erit verus locus lunae in 9'a sphaera ab ariete 5 signa 20 gradus 47 m'a et 58 s'a ad +Parisius+.

(Ap274) Quaere capitis draconis (144): docet in isto capitulo invenire verum locum capitis draconis, quod alio nomine vocatur Geusahar.
    (Ap275) Ad intellectum huius capituli resumas illud quod de Geusahar dictum est in primo capitulo motuum planetarum, quod est Post motuum superioris circuli (:Ap248).
    Deinde sciendum est quod intersectiones, quas facit excentricus solis cum excentrico lunae, moventur ab oriente in occidentem. Quod videre potes ex eo quod, cum excentricus <solis> est immobilis, secundum motum excentrici lunae oportet istas intersectiones loca sua mutare; cum igitur excentricus lunae per dicta movetur in occidentem ab oriente, necesse erit, cum centrum excentrici lunae movetur, et intersectiones illas moveri in eandem partem, ita quod quaelibet pars excentrici lunae successive fiat cum aliqua nova parte excentrici solis. -- Quod non esset necessarium, nisi centrum deferentis lunae mutaret locum: quia, dato quod deferens lunae moveatur, centro manente ac si centrum sit polus motus deferentis, sequitur necessario quod, in quibuscumque duobus punctis oppositis deferens lunae intersecat deferentem solis, in eisdem semper eum intersecabit, ita quod quodlibet punctum deferentis lunae erit cum eisdem duobus punctis deferentis solis; et ita non contingit intersectiones mutari. Et ita causa mutationis locorum istarum intersectionum est motus centri deferentis lunae. -- Cum igitur centrum istud movetur ab oriente in occidentem, movebuntur et istae intersectiones modo consimili: rationabile enim est, cum ad moveri centri sequitur mutatio locorum intersectionum, quod ad moveri centri in hanc partem sequatur mutatio intersectionum in eandem partem. -- Et quod centrum deferentis movetur in eandem partem cum auge, scilicet in occidentem, patet: alias enim aux, quae ponitur moveri, non moveretur, sed mutaretur sicut est videre de Mercurio.
    (Ap276) Item nota quod istarum intersectionum una vocatur caput draconis et alia cauda; et vocatur "caput" illa, in qua cum centrum epicycli fuerit, eam dimittens incipit ire versus septentrionem; et opposita "cauda" vocatur. -- Item nota quod in eclipsibus luminarium necessaria est consideratio motus istarum intersectionum, quia in eis vel prope eclipses contingunt; sed, licet ita fiant eclipses in cauda sicut in capite, de motu tamen capitis solum inquiritur, quia, dato loco capitis, statim scitur locus caudae, quia locus caudae semper est nadir loci capitis. Et quia caput movetur, sicut et cauda, ab oriente in occidentem contra successionem signorum -- quia exiens arietem intrat pisces, et post pisces intrat aquarium, et sic deinceps -- ideo accipitur medius motus capitis secundum distantiam eius ab ariete, contra successionem signorum computando ab ariete, vel a capite ad arietem computando secundum successionem signorum, quod idem est. -- Verum autem motum capitis dicimus distantiam eius ab ariete secundum successionem signorum.
    (Ap277) Quibus visis, dicit canon (144) breviter quod, si velis locum capitis, draconis supple, tunc quaere medium motum eius sicut in sole, intrando scilicet cum tempore Arabum ad tabulas medii motus capitis (CA31); et medium <motum> ibi inventum de 12 signis subtrahas, et residuum est verus locus vel verus motus capitis, qui incipit ab ariete, sicut in motibus etiam omnium planetarum.
    Esto igitur quod locum capitis velis invenire ad idem tempus, ad quod locum solis et lunae invenisti, scilicet ad 688 annos et 8 menses Arabum. Tunc intra tabulas medii motus capitis cum isto tempore, sicut collegisti medium motum solis et lunae medium motum capitis colligendo, et invenies 6 signa 26 gradus 49 m'a 32 secunda ad Parisius. Et haec signa et hos gradus cum suis fractionibus numerabis a fine piscium eundo per aquarium, et terminabitur iste arcus circa principium 4'i gradus virginis. Subtrahe ergo hunc medium motum de 12 signis, et remanet verus motus capitis, scilicet 5 signa 3 gradus 10 m'a 28 2'a; et ita locus capitis in octava sphaera est circa principium quarti gradus virginis. Cui addas motum octavae sphaerae, quem loco solis et lunae addidisti, et erit locus verus capitis ab ariete 5 signa 12 gradus 32 m'a 48 2'a in nona sphaera.

(Ap278) Cum quemlibet trium superiorum (145-48): docet consequenter invenire loca trium superiorum planetarum, scilicet Saturni, Iovis et Martis simul.

(Fig.: A,109r)

(Ap279) Ad intellectum autem capituli praemittatur etiam hic theoria motus istorum trium corporum. Sit igitur circulus ABC orbis signorum sive zodiacus, cuius centrum, scilicet D, sit centrum terrae. Item sit circulus EFG deferens cuiuscumque istorum, et eius centrum est H. Deinde circulus FIL sit aequans cuiuslibet horum, et eius centrum K. Epicyclus autem cuiuslibet istorum sit circulus descriptus in diversis partibus deferentis super centra E,F,G,L.
    Hiis visis, notandum quod quilibet istorum planetarum tam cito circuit suum epicyclum, quam cito sol per medium motum, cum fuerit cum eo, dimittens eum iterum redit ad eum, toto zodiaco deambulato et cum hoc, arcu illo deambulato, secundum quem motum est interim centrum epicycli planetae; ita quod semper, quando sol per medium motum fuerit planetae alicui istorum coniunctus, semper est planeta in auge media sui epicycli.
    (Ap280) Et ideo recessum planetae ab auge media sui epicycli, qui vocatur argumentum planetae medium, invenimus per medios motus, scilicet solis et cuiusque istorum: quia subtrahemus medium motum cuiusque istorum, tamquam tardioris, a medio motu solis, et remanet distantia inter lineam medii motus solis et lineam medii motus planetae; quae distantia per dicta est tot graduum zodiaci, quot graduum epicycli est distantia planetae ab auge media epicycli sui; et ita invenimus argumentum medium planetae. Movetur autem quilibet istorum in epicyclo suo superius ab occidente in orientem, et inferius e converso.
    (Ap281) Ex tabulis igitur (C*) medius motus planetae erit mihi notus, qui est ex dictis in Theorica arcus ABC, quia terminatur per "lineam exeuntem a centro terrae, aequedistantem lineae exeunti a centro aequantis per centrum epicycli". Item, subtrahendo istum medium motum de medio motu solis tamquam velocioris, remanet arcus zodiaci argumento planetae proportionalis. Et ita duo sunt mihi nota, scilicet medius motus et argumentum. Sit autem argumentum illud arcus NOP epicycli F; cum ergo planeta sit in puncto P, verus locus planetae erit in puncto Q zodiaci. Patet igitur ex iam habitis quod, cum ex tabulis arcus ABC est notus mihi, si arcus AQ esset mihi notus, de facili haberem arcum QBC, qui quaesitus est: est enim verus motus eius vel locus ad tantum arcum distans ab ariete. Arcus autem ille AQ duos habet arcus partiales, scilicet AR, qui vocatur "aequatio centri in zodiaco", et RQ, qui vocatur "aequatio argumenti".
    (Ap282) Et quia istae aequationes secundum descensum planetae ab auge deferentis maiorantur, ideo, subtrahendo augem planetae in secunda significatione, quod est arcus BC, de medio motu planetae, qui ponitur esse arcus ABC, invenimus recessum planetae ab auge deferentis, qui est arcus AB, qui vocatur "centrum medium planetae". Cum quo intrando tabulas (EA*) invenimus aequationem centri, quae est arcus AR zodiaci; quem in ista medietate caeli subtrahemus ab arcu AB centro medio, et remanet centrum verum, quod est arcus RB, quod est distantia veri loci epicycli ab auge deferentis. Et quia, quantum crescit arcus zodiaci AR propter descensum epicycli, tantum etiam crescit arcus epicycli MN -- qui etiam vocatur "aequatio centri" sicut arcus AR, sed arcus AR vocatur "aequatio centri in zodiaco", MN vero vocatur "aequatio centri in epicyclo": semper enim proportionaliter tantus est arcus MN epicycli, quantus est AR zodiaci -- et ideo, inveniendo unum illorum in tabula, invenimus alium. Et semper, quando subtrahimus aequationem centri in zodiaco de centro medio ad habendum centrum verum, addimus aequationem centri in epicyclo super argumentum medium ad habendum argumentum verum, et e converso. Cum ergo iam in proposito ad habendum centrum verum subtrahitur aequatio centri de centro medio, oportet tunc aequationem centri in epicyclo, scilicet arcum MN, addere supra argumentum medium NOP ad habendum argumentum verum, scilicet MNOP. -- Deinde cum centro vero intramus tabulas pro minutis proportionalibus, sicut in luna fecimus; et erit linea IS, quae est pars lineae IT, quae scilicet IS divisa in 60 partes dicitur esse 60 minuta proportionalia. Et si<militer **> linea scilicet ST divisa in 60 partes valet 60 minuta proportionalia.
    Deinde intramus tabulas cum argumento vero et inveniemus aequationem argumenti, scilicet arcum QR, et similiter diversitatem diametri, scilicet excessum aequationis argumenti, centro epicycli existente in longitudine media aequantis, supra aequationem argumenti, centro epicycli existente in auge, sicut iam in proposito; vel inveniremus excessum aequationum argumenti, centro epicycli existente in opposito augis, super aequationes argumenti, centro epicycli existente in longitudine media deferentis, dato quod epicyclus ultra longitudinem mediam deferentis descendisset. Deinde de illa diversitate vel de illo excessu partem proportionalem accipiemus secundum proportionem minutorum proportionalium prius acceptorum ad 60; et partem illam addemus super aequationem argumenti acceptam, si centrum epicycli ultra longitudinem mediam descenderit, vel eandem ab eadem minuemus, si centrum epicycli nondum longitudinem mediam attingerit. Ex quo concludere potes quod, si centrum fuerit in auge, totam illam diversitatem aequationi inventae subtrahes; si in opposito augis, totam aequationi inventae addes; et si in longitudine media praecise, aequatio inventa est quae quaeritur, quia tabulae supponunt centrum epicycli esse in longitudine media aequantis. Et quid hoc sit dictu, dici habet super Theoricam.
    (Ap283) Et cum sic aequaveris aequationem argumenti per subtractionem et additionem diversitatis diametri, videas argumentum planetae aequatum si est plus sex signis, quia sic oportet eam de motu medio minui; si autem argumentum aequatum minus fuerit sex signis, tunc eam oportet ad medium motum addi. Et quia iste arcus qui est aequatio argumenti, et aequatio centri in zodiaco, sunt semper arcus unus continuus, ideo videas, si ad habendum centrum verum aequationem centri subtraxisti vel addidisti centro medio: quia, si aequationem argumenti medio motui addidisti, et aequationem centri centro medio, sic eandem aequationem centri medio motui etiam addas; si etiam aequationem centri a centro medio minuisti, et iam oportet aequationem argumenti minuere a medio motu, tunc utramque coniunctam a medio motu demas. Si vero aequationem centri a centro medio minuisti, et iam aequationem argumenti oportet medio motui addere, vel e converso, tunc statim unam aequationem de altera minuas, non curando quam de qua, et residuum, cuius fuerit tituli, considera: quia, si sit pars illius aequationis quae deberet subtrahi, tunc ipsum a medio motu demas; si vero fuerit pars illius aequationis quae deberet addi, tunc ipsum addas. Et semper quod exierit erit verus locus planetae in octava sphaera.
    Constat autem in figura proposita quod aequatio argumenti, scilicet arcus QK, debet a medio motu subtrahi, quia aequatum argumentum plus est sex signis. Item constat quod aequatio centri, scilicet arcus AR, ad habendum centrum verum minuebatur a centro medio: et ideo totum arcum AQ a medio motu, qui est arcus AQBC, oportet demere, et remanebit arcus QBC, verus motus planetae.
    (Ap284) Hiis visis planus est intellectus canonis (145-48). Dicit igitur quod, cum quemlibet trium superiorum planetarum placuerit adaequare visui, id est, cum placuerit aequando locum visibilem alicuius istorum in caelo invenire, medium motum cuiusvis istorum (CA41-61) quaere, quem de medio motu solis deme, et quod remanserit teneas pro argumento planetae; cuius causa dicebatur (:Ap280). Demas etiam augem planetae in secunda significatione (DA*) de medio motu planetae eiusdem, et quod remanserit erit centrum planetae, scilicet medium; quod ponas in pulvere sub argumento.
    (Ap285) Cum hoc igitur (146) centro medio intra tabulas eiusdem planetae (EA*) ad lineas numeri, et aequationem centri, quam in directo eius inveneris aequando pro minutis, extra sub centro nota. Super quam scribas "addatur", tali titulo eam intitulando, si centrum medium fuerit plus sex signis, et addes illam centro et minues eam ab argumento; si vero centrum fuerit minus sex signis, tunc scribes super aequationem centri "minuatur", intitulando eam scilicet tali titulo, et tunc eam demes de centro et addes argumento; et sic habebis utrumque, scilicet centrum et argumentum, aequatum. -- Intrabis igitur secundo lineas numeri cum eodem centro aequato, quod, supple, est recessus centri epicycli ab auge deferentis vel aequantis, et minuta proportionalia in directo eius inventa inferius in pulvere per se nota, reservando scilicet ea ad futurum opus.
    (Ap286) Intrabis etiam (147) easdem lineas numeri cum argumento aequato, et pone in pulvere quod sibi debetur, scilicet e directo eius inventum, aequando in altera longitudinum, ex aequatione argumenti et ex diversitate diametri, unumquodque per se. Accipies enim de longitudine longiori, si centrum ante aequationem eius, id est si centrum medium, fuerit ab uno gradu in 3 signa vel a 9 signis in 12 signa, id est si centrum medium fuerit tribus signis minus vel plus novem signis, quia sic est centrum epicycli supra longitudinem mediam aequantis; si vero fuerit a tribus in novem, accipies de longitudine propiori: sic enim centrum epicycli est semper infra longitudinem mediam aequantis. -- Cuius diversitatis accipies partem proportionalem secundum proportionem minutorum proportionalium prius reservatorum ad 60, et hoc facias, supple, vel per denominationem vel per multiplicationem, sicut exposuimus in sole; ibi etiam modum dedi. Quam partem, scilicet proportionalem, addes aequationi argumenti, si fuerit longitudinis propioris, id est si diversitatem diametri accepisti ad longitudinem propiorem, vel demes eandem, scilicet partem proportionalem, si fuerit, "diversitas diametri" supple, longitudinis longioris -- cuius causa patuit per prius dicta -- et remanebit aequatio argumenti examinata per diversitatem diametri epicycli. Supra quam scribas "addatur", intitulando scilicet ipsam hoc titulo, si argumentum aequatum minus fuerit sex signis; sed supra ipsam scribatur "minuatur", signando scilicet eam hoc signo, si argumentum aequatum fuerit plus sex signis.
    (Ap287) Deinde (148) hanc aequationem et aequationem centri considera, scilicet cuius signi sunt vel tituli, quia, si super utramque scribitur "addatur", id est si utraque signata est hoc signo, tunc iunge utrasque et adde illas medio motui; si vero "minuatur" super utramque scribitur, tunc utramque de medio motu planetae minue. Si vero super unam aequationem istarum scribitur "addatur", id est talis titulus, et super alteram "minuatur", id est talis titulus, tunc minorem de maiori minue, et residuum, si ibi scribitur "minuatur", minue, et si "addatur" scribitur, adde illud medio motui planetae. Et hoc erit post augmentum vel diminutionem certus locus planetae, scilicet in 8'a sphaera.
    (Ap288) Verbi gratia, quaeras ad tempus Arabum medium motum alicuius istorum trium superiorum, ad quod tempus etiam motum solis supra accepisti, scilicet ad 688 annos et 8 menses; et invenies medium motum Martis ad Parisius esse scilicet 9 signa 27 gradus 41 m'a et 10 secunda fere. Quem de medio motu solis prius ad idem tempus invento subtrahas, et remanebit argumentum medium Martis, scilicet 7 signa 13 gradus 54 m'a 36 2'a.
    (Ap289) Deinde de eodem medio <motu> Martis augem suam (DA6*) demas, et residuum erit centrum medium Martis, scilicet 5 signa 25 gradus 51 m'a 24 s'a. Cum hoc igitur centro medio tabulas Martis (EA61) ad lineas numeri intra, et accipias aequando de aequatione centri, et invenies 55 m'a et 55 2'a. Et quia centrum est minus sex signis, eam a centro medio demas et addas eandem argumento medio, et habebis utrumque aequatum, scilicet argumentum verum et centrum verum. Erit autem argumentum verum 7 signa 14 gradus 50 m'a 21 s'a, et centrum verum erit 5 signa 24 gradus 55 m'a 15 2'a. -- Deinde cum eodem centro aequato intra tabulas pro minutis proportionalibus, et invenies praecise 59 m'a.
    (Ap290) Deinde etiam cum argumento aequato easdem tabulas intra pro aequatione argumenti et diversitate diametri circuli brevis: intrabis, inquam, accipiendo diversitatem diametri ad longitudinem propiorem, quia centrum est a tribus signis in 9; et invenies aequando de aequatione argumenti 40 gradus 59 m'a et 13 2'a, et de diversitate diametri 5 gradus 55 m'a et 57 2'a. De qua partem proportionalem invenies secundum proportionem minutorum proportionalium ad 60, et erunt 5 gradus 50 m'a et unum s'm; quae addas aequationi argumenti inventae, quia diversitatem diametri ad longitudinem propiorem accepisti, et habebis aequationem argumenti examinatam, scilicet 46 gradus 49 m'a 14 2'a; super quam scribas "minuatur". Deinde, quia supra aequationem centri scribitur "minuatur", eam huic addas, et habebis 47 gradus 45 m'a 9 2'a; quod totum a medio motu Martis minue, et remanebit verus locus suus in octava sphaera, scilicet 8 signa 9 gradus 56 m'a et unum secundum. Et erit verus locus suus in nona sphaera 8 signa 19 gradus 18 m'a et 21 2'a.

(Ap291) Examinatio Veneris et Mercurii (149-51): quia fere est eadem operatio in Venere et Mercurio sicut in aliis, ideo minus oportet hic immorari.
    (Ap292) Unde notandum quod, quia medius motus istorum duorum est idem cum medio motu solis, ideo medium motum istorum non quaerimus; sed medium motum solis inventum medium motum istorum dicimus, quia deferentes istorum in eandem partem caeli, scilicet in 18'm gradum geminorum, sicut et deferens solis, sunt elevati. Nec tamen oportet credere, sicut in Theorica dicitur, quod linea exiens a centro +deferentis+ Mercurii vel Veneris per centrum epicycli sit eadem cum linea exeunte a centro deferentis solis per corpus solis: neque enim oportet solem esse cum centro epicyclorum istorum. Cuius ratio est quia, licet in eandem partem caeli sint elevata centra et Mercurii et Veneris et etiam solis, non tamen secundum eandem distantiam a terra sunt haec centra elevata: centrum enim deferentis solis plus elevatum est a terra quam Veneris, et Mercurii plus quam solis; ex quo sequitur lineam exeuntem a centro deferentis solis per corpus solis esse inter lineas exeuntes a centris +deferentium+ istorum per centra epicyclorum suorum; et omnes istae tres lineae sibi et inter se aequedistant semper. Et linea exiens a centro terrae, aequedistanter cuilibet istarum, est linea medii motus cuiuslibet; et omnes istae 4 erunt una linea, cum centra epicyclorum istorum fuerint in auge vel in opposito augis deferentis.
    (Ap293) Medius igitur (150) motus istorum est medius motus solis, et e converso; sed argumentum ipsorum, sicut dicit canon, extrahitur ex tabulis (CA71-81). Et omnia alia modo penitus simili inveniuntur in Venere sicut in tribus superioribus.
    (Ap294) Et similiter (151) omnia alia inveniuntur in Mercurio, nisi quod, ad aequandum aequationem argumenti per diversitatem diametri, non curamus ubi diversitas diametri fuerit accepta, vel utrum centrum epicycli fuerit in longitudine longiori vel propiori; sed respicimus, quis titulus fuerit minutorum proportionalium, quia, si in tabula, scilicet in linea ubi accepimus minuta proportionalia (EA81.Pro), scribitur "addatur" proximo ante, tunc diversitatem diametri addemus supra aequationem argumenti inventam, et eandem ab eadem minuemus si ibi scribitur "minuatur".
    (Ap295) Et in nullo alio variatur operatio in Mercurio ab operatione trium superiorum vel Veneris nisi, sicut dictum est, in acceptione argumenti medii et Veneris et istius. Operare igitur in istis, sicut dicebam operandum esse in Marte.

(Fig.: A,112rb)

(Ap296) Ad verificandum autem dicta auctoris Theoricae Planetarum de motu Mercurii mirabili, cum imaginatio seu intellectus eum de difficili capiat, fiat instrumentum ad hoc ostendendum faciliter hoc modo: fiat asser planus, in quo describatur circulus orbis signorum cum sua diametro. Deinde, quia centrum huius circuli est centrum terrae, quod vocetur A, describatur alius circulus infra circulum istum orbis signorum, quantaecumque quantitatis tu velis, supra punctum aliquod distans quantum velis a terra in diametro; et vocetur centrum illud B, circulus autem iste vocabitur aequans Mercurii, et vocetur iste circulus CDEF. Et iste circulus est immobilis, et ideo debes eum sicut dixi depingere, ut semper teneat eundem situm. Deinde de quacumque materia velis facias unum circulum continentem solum unam lineam circularem et unam diametrum, in qua diametro semper notari poterit centrum circuli illius; et iste debet esse eiusdem quantitatis cum circulo picto. Deinde in ipsa diametro signetur punctum in tanta distantia a centro circuli, quanta est distantia centri aequantis depicti a centro terrae. Deinde etiam in diametro circuli depicti signetur punctum in tanta distantia a centro aequantis, quanta est distantia centri aequantis a centro terrae, sicut est punctum G. Deinde circulus separatus in puncto signato iuxta centrum suum conclavetur cum assere praedicto in puncto iam signato iuxta centrum aequantis: conclavetur, inquam, sic ut moveri possit.
    Et videbis quod centrum illius circuli mobilis in motu suo describit quendam parvum circulum, scilicet BHI, et transibit iste circulus per centrum aequantis, quod est B; et circulus iste mobilis erit signum deferentis Mercurii. Deinde a centro terrae exeant duae lineae, contingentes utrimque parvum circulum; et istae duae lineae includunt infra se portionem quandam aequantis, quae portio est arcus CD superius, et aliam inferius, scilicet EF. Et videbis quod aux deferentis numquam exit portionem CD, sed semper movetur infra capita linearum contingentium; et per consequens oppositum augis numquam exibit portionem EF. Et ideo dicit auctor Theoricae quod centrum epicycli Mercurii, existens infra arcum EF, est semper in opposito augis, quamdiu ibi fuerit. -- <**> sed huic adhuc non consentit animus: ideo ad huius evidentiam figetur unum filum in puncto centri terrae, et ponatur ipsum filum super centrum deferentis mobilis; et semper cadet in augem necessario, ita quod, cum centrum deferentis in parvo circulo venerit ad punctum I contactus circuli parvi cum alterutra linearum, tunc aux deferentis est in puncto aequantis D. Deinde, filo iam iacente supra centrum I deferentis, moveatur deferens versus dexteram: diu etiam semper manebit centrum deferentis sub filo, et per consequens aux deferentis manebit in eodem puncto vel respiciet idem punctum aequantis.
    Unde breviter per instrumentum istud verificare poteris omnia dicta in Theorica de motu Mercurii.
    (Ap297) De Venere autem est eadem ratio sicut in tribus superioribus (149), nisi quod deferens Veneris movetur in latitudinem ad septentrionem nunc, et nunc ad meridiem.

(Ap298) Cum autem etc. (152-66): postquam auctor docuit invenire loca planetarum omnium, in ista parte consequenter determinat de quibusdam passionibus vel accidentibus quae contingunt planetis in motibus suis, sicut sunt directio, retrogradatio, declinatio et latitudo. Et facit duo, quoniam primo (152-60) determinat de retrogradatione et directione planetarum, quae contingunt planetis in epicyclis suis solis, et secundo (161-66) docet invenire declinationem et latitudinem planetarum, quae debentur planetis tum propter epicyclum et tum propter deferentem. Et incipit secunda pars ibi Cum autem solis etc. -- In prima parte facit duo, quoniam auctor, principaliter intendens dare artem inveniendi quando est planeta directus et quando retrogradus, et quando incepit dirigi et quando retrogradari, cum hoc non possit ostendere nisi per motum argumenti planetae in die, ideo primo (152-59), supponendo motum argumenti planetae in uno die esse notum, docet invenire quando planeta incepit retrogradari si fuerit retrogradus, et similiter quando incipiet dirigi; et secundo (160) docet invenire motum argumenti cuiuslibet planetae <**> qui has passiones patiuntur quae sunt retrogradatio, directio et cetera; et incipit secunda pars ibi Ut autem motum argumenti.

(Fig.: A,112va)

(Ap299) Circa capitulum primum (152-59) notandum est, quomodo imaginandi sunt arcus directionis et retrogradationis. Puta, imaginemur duas lineas exire a centro terrae sursum ad epicyclum planetae, contingentes eum utrimque in duobus punctis. Tunc dico quod puncta illa dicuntur "stationes" planetae, quia planeta declinans versus linearum illarum alterutram videtur stare in caelo, ita quod vel modicum vel nihil movetur nisi motu epicycli. Unde arcus vel portio epicycli comprehensa infra puncta stationum inferius dicitur "arcus retrogradationis", sed portio epicycli superius dicitur "arcus directionis". Cum enim planeta est inferius in epicyclo, recalcitrat aliquantum contra motum epicycli, quia, cum centrum epicycli vadit ab occidente in orientem, planeta e converso vadit inferius in epicyclo ab oriente in occidentem; sed in superiori parte iuvatur motu duplici, quia et epicyclus vadit in orientem et planeta in epicyclo in orientem. Unde constat arcum retrogradationis secundum accessum epicycli ad terram minui, et per consequens arcum directionis maiorari: ideo puncta stationum mutantur. Et dicitur "statio prima" illud punctum stationis, a quo planeta exiens incipit retrogradari, et aliud "statio secunda".
    Item notandum quod "statio prima" et "statio secunda" aliquando significant arcus epicycli in secunda significatione: statio enim prima in secunda significatione est arcus epicycli cadens inter augem veram epicycli et punctum stationis primae, et statio secunda in secunda significatione est arcus epicycli cadens inter augem veram epicycli et punctum stationis <secundae **>.
    (Ap300) <** punctum stationis> primae B et punctum stationis secundae C: erit igitur arcus AB statio prima et arcus ABC statio secunda; et debet statio secunda semper transire per punctum stationis primae. Et ideo "subtrahendo stationem primam de toto circulo remanet statio secunda" verum est, quia "arcus aequalis stationi secundae": dempto enim arcu AB de toto circulo remanet BCA, qui arcus est aequalis ABC, quia AB et AC sunt aequales.
    Item notandum quod secundum accessum epicycli ad centrum terrae maioratur arcus directionis et minoratur arcus retrogradationis: arcus enim BC inferioris epicycli minor est arcu BC superioris epicycli de arcu <**> BD; et ideo, cum semper descendendo maioratur arcus directionis, et cum statio prima est semper medietas arcus directionis, ideo necesse est et stationem primam planetae semper maiorari in descendendo ad terram. Et ideo intrando in tabulas (EA*.Sta) invenimus stationem planetae primam nunc maiorem et nunc minorem, ita quod maxima est, cum centrum planetae fuerit sex signorum, quia tunc est centrum epicycli in opposito augis deferentis.
    (Ap301) Hiis praemissis facit auctor (152-59) duo, quoniam primo (152-56) docet invenire utrum planeta est retrogradus vel directus vel stationarius, et secundo (157-59), dato quod fuerit retrogradus vel directus, dat artem inveniendi tempus quo planeta incepit retrogradari vel dirigi, vel quo tempore incipiet dirigi si fuerit retrogradus, vel quando retrogradari incipiet si fuerit directus; et incipit secunda pars ibi Quod si fuerit retrogradus. -- Adhuc primo (152) docet invenire stationes planetae, centro epicycli ubicumque existente, et secundo (153-56) ex hiis inventis docet quomodo scietur utrum planeta est stationarius vel retrogradus vel directus, et si sit stationarius, utrum stat in puncto stationis primae vel secundae; et incipit secunda pars ibi Deinde argumentum aequatum.
    (Ap302) Dicit igitur (152) quod, si velis scire utrum planeta est stationarius, tunc cum centro eius aequato lineas numeri eiusdem planetae intra, et primam eius stationem, quam in directo eius inveneris, per se nota; quam stationem si minueris de 12 signis, scilicet de toto circulo, remanebit statio secunda eiusdem planetae.
    (Ap303) Deinde etc. (153-56): ex hiis docet invenire utrum planeta est retrogradus vel etc., dicens: Deinde, cum invenisti scilicet stationes planetae, considera argumentum planetae aequatum; quod si fuerit aequale stationi primae in signis gradibus minutis, tunc erit planeta stationarius in statione prima, id est in puncto stationis primae; -- (Ap304) et (154) si fuerit minus statione secunda, et plus, supple, statione prima, erit retrogradus: est enim planeta tunc inferius in epicyclo. -- (Ap305) Et (155) si fuerit argumentum aequale stationi secundae, erit stationarius in statione secunda, scilicet ut se dirigere incipiat, quia planeta, cum exierit punctum stationis secundae, incipit ire motu proprio in orientem sicut epicyclus. -- (Ap306) Si vero (156) fuerit argumentum praenominatum plus statione secunda vel minus prima, erit planeta directus.
    (Ap307) Quod si fuerit retrogradus (157): docet invenire, cum planeta fuerit scilicet retrogradus, quando incepit retrogradari et cetera. Et dicit quod, si fuerit planeta retrogradus et volueris invenire, quot dies transierint ab initio retrogradationis eius, tunc, cum semper argumentum planetae retrogradi plus est statione eius prima, ideo stationem eius primam de argumento eius aequato minue, et quod inde remanserit partire, id est divide, per motum argumenti planetae in una die; et quod inde exierit erit dierum numerus, dierum dico praeteritorum ab initio retrogradationis eius; quod vero remanserit multiplica in 24, et quod collectum fuerit divide per eundem motum argumenti in una die, et exibit numerus horarum praeteritarum diei praesentis. Et sic habebis quot dies et horae transierint a principio eius retrogradationis; et ita invenitur quando incepit retrogradari, cum est retrogradus.
    (Ap308) Si autem (158), quando incipiet procedere, id est dirigi, scire desideras, argumentum praenominatum de statione eius secunda minue, et quod remanserit per motum argumenti in una die divide, sicut praemonstratum est, et invenies quot dies et horae sunt usque ad eius directionem.
    (Ap309) Si vero (159) quaesieris quando retrogradabitur si fuerit directus, argumentum illius aequatum a statione eius prima, supple si minus fuerit, subtrahe, vel eidem addas 12 signa si argumentum maius fuerit statione prima, et residuum partire sicut supra docuimus, ut invenias quod quaeris. -- Et, supple, si velis scire quando incepit dirigi si fuerit directus, tunc stationem eius secundam ab argumento aequato minue, et residuum divide sicut prius per motum argumenti in una die.
    (Ap310) Ut autem motum argumenti (160): hic nota quod motus argumenti in una die non est aliud nisi arcus epicycli, quem planeta motu proprio in una die deambulat. Et istum arcum et eius quantitatem invenimus per subtractionem medii motus planetae alicuius de medio motu solis. Cuius ratio per dicta superius patuit in capitulo illo Cum quemlibet trium superiorum (:Ap279): cum enim sol fuerit cum aliquo istorum per medium motum, tunc semper est in auge media epicycli <**> die transacto, quantum linea medii motus solis in zodiaco distat a linea medii motus planetae, tantum de partibus epicycli distat centrum planetae ab auge media epicycli.
    Verbi gratia, medius motus solis est 59 m'a et 8 2'a in uno die; medius autem motus Saturni est duo m'a tantum; dato igitur quod linea medii motus solis fuerit in aliqua hora cum linea medii motus Saturni in aliquo puncto caeli, die transacto linea medii motus solis ab illo puncto distabit ad 59 m'a et 8 2'a, linea autem medii motus Saturni distabit ab eodem puncto ad 2 m'a, consequens solem de tanto. Distantia igitur solis, vel lineae medii motus solis, a linea medii motus Saturni est 57 minutorum et 8 secundorum; et ad tantum arcum proportionaliter epicycli motus est Saturnus corporaliter in epicyclo ab illo puncto, in quo erat quando per medium motum soli coniungebatur.
    (Ap311) Hiis visis, capitulum (152-60) est facile. Esto quod tu velis scire de aliquo planetarum 5, puta de Marte, utrum est retrogradus et cetera (152); cum eius centro aequato supra (:Ap289), scilicet quod est 5 signa 24 gra 55 m'a et 15 s'a, intra ad lineas numeri in tabulis Martis (EA61.Sta), et invenies aequando 5 signa 19 gra 11 m'a et 55 2'a; quibus de 12 signis subtractis remanet statio eius secunda, epicyclo in tanto descensu existente, et erit 6 signa 10 gra 48 m'a 5 2'a. -- Deinde (153) videas argumentum suum aequatum, quod erat ut supra 7 signa 14 gradus 50 m'a 31 2'a; et constat quod Mars non stat, quia argumentum istud non est aequale stationi primae nec secundae; nec etiam est retrogradus, quia non est minus statione secunda; ergo est directus. -- Si ergo velis scire quando incepit dirigi, id est quando erat in puncto stationis secundae, tunc stationem eius secundam ab argumento suo aequato minue, et residuum, quod est 34 gradus 2 m'a et 26 2'a, ad idem genus redactum per motum argumenti eius in uno die, scilicet per 27 m'a et 42 2'a ad idem etiam genus redacta, divide, et exibunt 13 dies; et residuum, scilicet 1226 2'a, per 24 multiplica, et productum per eundem divisorem dividas ut prius, et exibunt fere 18 horae. Tot igitur dies et tot horae lapsae sunt ab initio directionis Martis ad diem praeacceptam centri sui. -- Si etiam (159) velis scire quando incipiet retrogradari, tunc argumentum eius aequatum, quod prius accepisti, a statione eius prima minue, ipsi stationi 12 signis additis prius, et residuum, scilicet 10 signa 4 gradus 21 minuta 24 2'a, per motum argumenti ut prius divide, et exibunt 659 dies et 6 horae, quae transibunt usque dum Mars incipiet retrogradari.

(Ap312) Cum autem solis volueris (161-66): determinat de passionibus quae debentur planetis tum propter epicyclum et tum propter deferentem, quae sunt declinatio et latitudo. Et facit duo: primo enim (161-62) docet invenire declinationem solis, cuius solum est declinatio et non latitudo, cum semper est in ecliptica; et secundo (163-66) docet invenire aliorum planetarum latitudinem et per consequens declinationem, et secunda pars incipit ibi Si autem lunae latitudinem.
    (Ap313) Et quia capitulum (161-62) facile est per praehabita, notandum quod latitudo planetae est distantia eius ab ecliptica; declinatio autem, elongatio vel distantia ab aequinoctiali. Et ideo, cum sol est semper in ecliptica, nulla erit eius umquam latitudo; quia vero in duas partes distat ab aequinoctiali, ideo eius bene est declinatio, quam invenimus cum gradu, in quo est sol, in tabulas Almeonis (BA21) intrando. Cum igitur sol est in 20'o gradu virginis in die ad quem supra (:Ap266) operabaris, cum illo gradu intra tabulas, et invenies quod declinat illo die ab aequinoctiali ad 4 gradus 22 m'a et 28 2'a; et constat (162) quod declinatio est septentrionalis descendens.
    (Ap314) Et nota diligenter qualiter intrabis tabulam illam (BA21): illa tabula crescit per 3 signa; completio enim declinationis totius ad tria signa stat. Vide igitur, cuius signi et gradus est motus solis; et si sit aries vel libra, computa gradus signi ad gradum illum, in quo est sol, in gradibus aequalibus primae tabulae partialis: computa, inquam, a capite descendendo; et e directo eius accipe declinationem gradus. Et si gradus solis fuerit in tauro vel in scorpione, similiter computa gradus signi ad gradum solis, cum ipso gradu solis in secunda tabula similiter descendendo a sursum in deorsum. Et si fuerit gradus solis in geminis vel in sagittario, computa similiter gradus signi in tertia tabula descendendo, et semper declinationem e directo stantem accipe. Si vero fuerit gradus solis cancri vel capricorni, computa gradus signi ad gradum solis, cum ipso in tertia tabula ascendendo a fine ad principium. Et si fuerit gradus solis in leone vel aquario, computa gradus signi in secunda tabula etiam ascendendo. Si autem gradus solis fuerit in virgine vel piscibus, computa gradus signi etiam in prima tabula ascendendo. -- Et ideo, cum sol est in virgine et in 20'o gradu virginis, computabo 20 gradus a fine tabulae primae, et terminabitur numerus in 11'o gradu a principio tabulae, ubi stat declinatio solis, scilicet 4 gradus 22 m'a 28 s'a. -- In primis igitur signis descendemus in prima, secunda et tertia tabulis; in tribus autem signis sequentibus ascendemus in tertia et in secunda et in prima; et in aliis tribus signis descendemus in prima et secunda et in tertia tabulis; et in tribus ultimis iterum ascendemus in eisdem tabulis 3'a, 2'a et 1'a.

(Ap315) Si autem lunae latitudinem (163-66): docet invenire planetarum aliorum latitudinem.
    Ubi notandum est quod epicyclus lunae est semper in eadem superficie cum deferente suo; in aliis autem planetis epicyclus semper declinat a superficie deferentis, nisi cum centrum epicycli est in nodis; et ideo in luna solum unam accipimus latitudinem, quae est partis deferentis lunae, in qua est luna corporaliter. Et ideo ad inveniendum latitudinem lunae intramus tabulas suas (EA11.Lat) in lineis numeri cum distantia centri corporis lunae a capite draconis, quia in capite nullam habet latitudinem; et latitudo, quam in fine tabularum, scilicet in ultima linea cuiuslibet, inveneris, est distantia puncti +zodiaci+, sub quo est luna, +diametri+ ab ecliptica.
    (Ap316) Sed in aliis planetis omnibus 5 et deferens declinat ab ecliptica et epicyclus a deferente versus eclipticam, ita quod semper erit planeta inter eclipticam et centrum vel superficiem epicycli, nisi, sicut dixi, cum centrum epicycli fuerit in alterutro nodorum. Ideo, ad inveniendum alicuius istorum latitudinem, accipimus et distantiam planetae a superficie deferentis, et hoc versus eclipticam eam computando; et accipimus similiter distantiam partis illius deferentis, in quo est planeta, ab ecliptica; et quia planeta est inter deferentem et eclipticam, hinc est quod latitudinem primam a secunda oportet subtrahere, et remanet distantia planetae ab ecliptica.
    Primam autem latitudinem invenimus in tabulis bipartialibus (FA11), et secundam in quadripartialibus (FA21). Bipartiales autem vocantur, quia habent duos introitus, quia factae sunt super medietatem epicycli, hoc modo, quia e directo unius gradus et 359 graduum eadem stat latitudo, et e directo duorum et 358 graduum eadem, et sic semper ascendendo cum primo numero graduum et descendendo cum secundo uniformiter usque ad 180 et 180.
    Intellego latitudinem istam esse arcum +zodiaci+ cadentem inter punctum zodiaci, sub quo est centrum corporis planetae, et punctum aliud sub quo est punctum deferentis correspondens centro corporis planetae. Punctum autem deferentis correspondens centro planetae intellego illud, in edirecto cuius primo caderet linea descendens a centro planetae deorsum. -- Et hoc modo intellego planetam esse inter eclipticam et centrum vel superficiem deferentis, quia, ubicumque in epicyclo planeta existente, nisi forte in coniuncturis epicycli cum deferente et nisi cum epicyclus est directus, semper, si duceretur linea per centrum planetae a sursum in deorsum perpendiculariter, semper caderet inter eclipticam et deferentem planetae.
    Ad tabulas autem quadripartiales intramus cum distantia centri epicycli planetae ab alterutro nodorum. Et est facta super 4 4'is deferentis, quarum prima est a primo nodo, qui est caput, ad augem; secunda ab auge ad caudam; 3'a a cauda ad oppositum augis; 4'a abhinc ad caput. Quantam enim latitudinem habet unus gradus a capite, tantam etiam 179 gradus et 181 gradus et 359 gra; quorum primus et ultimus accipitur in aequali distantia utrimque a capite, et secundus et tertius utrimque aequedistanter a cauda. Et numeri, cum quibus intrabis tabulas, sunt in primis 4 lineis tabularum versus sinistram, et e directo quorumlibet 4 numerorum stat sua latitudo sub suo planeta.
    Et intellego latitudinem illam esse distantiam in zodiaco, quae est inter eclipticam et punctum illud, sub quo est punctum deferentis correspondens centro corporis planetae. -- Sic credo esse imaginandum, sine praeiudicio melius imaginantis.
    Inventis autem istis latitudinibus, scias eas esse non veras, in tali proportione qua ex subtractione unius ab alia proveniet vera latitudo planetae; sed numeri latitudines illas denotantes sic se habent quod, divisa maiori per minorem, proveniet vera planetae latitudo: hoc ordine servato quod, si latitudo prima minor fuerit et secunda maior, exibit post divisionem distantia planetae ab ecliptica; si vero latitudo prima maior fuerit quam secunda, tunc, prima divisa per secundam, exibit distantia planetae a limbo zodiaci, quam si de 6 gradibus minueris, remanebit <--> latitudo planetae ab ecliptica. Ecliptica enim utrimque a limbo zodiaci distat ad 6 gradus.
    (Ap317) Hiis praemissis facit auctor duo: primo enim (163-64) docet invenire latitudinem lunae, habentis solum unam latitudinem; secundo vero (165-66) aliorum 5, duas habentium latitudines, cum dicit Si vero latitudines.
    (Ap318) Cum ergo epicyclus lunae est in eadem superficie cum deferente suo, sicut dictum est (:Ap315), ideo contingit eius unam solam invenire latitudinem, intrando per distantiam eius a capite draconis; quae distantia invenitur subtrahendo verum locum capitis a vero loco lunae, vel addendo medium motum capitis vero loco lunae. Et ideo dicit auctor (163) quod, si latitudinem lunae scire convenerit tibi, tunc locum Geusahar, id est verum locum capitis draconis, de loco lunae aequato, id est vero, minue, vel medium motum Geusahar loco lunae aequato adiunge, et habebis argumentum latitudinis lunae; cum quo lineas numeri aequationis lunae ingredere, et latitudinem lunae positam in directo illius sume. Quae latitudo (164), et cetera.

(Ap319) Si vero latitudines trium superiorum (165-66): dat artem inveniendi latitudines planetarum habentium duas latitudines.
    Ubi notandum, quia deferentes trium superiorum immobiles sunt sicut et deferens solis, quod et per consequens caput et cauda istorum sunt immobiles. Deferentes autem Veneris et Mercurii quia mobiles sunt -- puta Veneris in latitudinem, Mercurii vero et in longitudinem et latitudinem -- ideo et per consequens caput et cauda ipsorum variantur. Ideo auctor primo (165) docet invenire latitudinem trium superiorum uno modo, et secundo (166) Veneris et Mercurii, cum dicit Veneris autem et Mercurii.
    (Ap320) Capitulum primum (165) per dicta non indiget expositione in aliquo verbo; ideo transeundum videtur.
    <** (166) **>

------------------

(Ap321) Cum autem volueris invenire (167-208b): determinat de quadam passione solis et lunae, quae contingit eis ex eorum adinvicem coniunctione vel oppositione, quae passio "eclipsis" dicitur. Et quia non in omni eorum adinvicem coniunctione vel oppositione contingit eclipsim fieri, ideo auctor primo (167-69) docet invenire tempus quo possibile videtur prima facie eclipsim esse possibilem, et secundo (170-208b) possibilitatem illam docet examinare, utrum scilicet fiet eclipsis necessario, sicut apparet prima facie, vel non; et incipit secunda pars ibi Cum solis et lunae coniunctionis horam.
    (Ap322) Et est advertendum quod, cum eclipsis contingit semper, sole et luna in alterutro nodorum vel prope ambobus existentibus, sive etiam altero, scilicet sole, existente in uno nodo et luna in alio vel prope, ideo, si in coniunctione eorum per medios motus invenitur luna prope nodorum alterutrum infra 12 gradus, vel in oppositione eorum similiter, statim sic est probabile eclipsim fieri vel solis vel lunae: lunae scilicet, si est oppositio, et solis si est coniunctio.
    Et ideo auctor in primo capitulo (167-69) docet invenire in quo mense cuius anni Arabum resultat haec possibilitas, et est capitulum commune et soli et lunae. Unde sententia capituli stat in hoc quod, (167) si volueris invenire in quolibet mense cuiusque anni, an possit fieri eclipsis solis vel lunae, et si eclipsim solis, "quaesieris" supple, intra tabulam coniunctionis annorum Arabum collectorum (GA11) et expansorum (GA13) cum anno illo, in quo futuram vis scire eclipsim solis; vel si velis eclipsim lunae, tunc intra tabulam praeventionis, id est oppositionis, annorum scilicet coniunctorum (GA12) et expansorum (GA13), cum anno in quo vis scire eclipsim futuram. Quod intelleges sic, quia accipies omnes annos Arabum usque ad annum illum, in quo velis scire an fiet eclipsis possibilis, annumerando etiam illum annum in quo velis possibilitatem illam investigare; et tot annos in tabula coniunctionis annorum collectorum quaeras, si eclipsim solis quaeras, vel tot annos in tabula praeventionis annorum collectorum quaeras, si eclipsim lunae velis. Et quod e directo eorum inveneris de motu latitudinis, vel de argumento latitudinis, in 4'o capitulo accipe. Et si praecise tot annos non inveneris, fac ut consuevisti in aequationibus planetarum, quaerendo primo numerum annorum minorem, propiorem tamen, inter annos collectos, et deinde cum residuis intrando tabulam annorum expansorum. Et quod inveneris de argumento latitudinis in annis collectis et expansis aggrega, et aggregatum voca "radicem motus latitudinis", quia per illud invenies si, et in quo mense, possibile sit eclipsim fore; quam radicem scribas in 12 locis in pulvere. Deinde scribas sub illis 12 radicibus 12 motus latitudinis 12 mensium, quos motus invenies in tabula mensium coniunctionis et praeventionis (GA14); et aggrega unumquodque, inferius scriptorum supple, radici superiori, et illud, quod provenerit ex unoquoque, erit motus latitudinis ad unumquemque mensem illius anni.
    (Ap323) Deinde (168), si coniunctionem quaesivisti, id est si intrasti primo ad tabulam coniunctionis, aspice, in quo mense anni motus vel argumentum latitudinis sit 0 in signis et in gradibus minus 12, vel plus 5 signis et 18 gradibus usque ad sex signa integra, quoniam tunc possibile est fieri eclipsim solis circa finem illius mensis, ex cuius scilicet argumenti latitudinis additione supra radicem ille casus provenit. In quibus vero mensibus praedictos terminos non inveneris, impossibile est fieri eclipsim solis in 5'o, 6'o vel 7'o climate. -- Si vero praeventionem quaesivisti, vide, in quo mense motus latitudinis sit 0 in signis et minus 12 gradibus, vel plus 5 signis et 18 gradibus usque ad 6 signa integra, vel plus 6 signis usque ad 12 gradus, vel plus undecim signis et 18 gradibus usque ad 12 signa; quoniam iterum possibile est fieri eclipsim lunae circa medietatem illius mensis, ex cuius scilicet argumenti latitudinis aggregatione ad radicem provenit casus ille vel terminorum dictorum aliquis. In quibus vero mensibus praedictos terminos non inveneris, impossibile est fieri eclipsim lunae.
    (Ap324) Et hic nota quod istud argumentum, vel motus iste, latitudinis est arcus zodiaci cadens inter caput draconis et centrum epicycli lunae in coniunctione sui cum sole, vel in oppositione eius ad solem, secundum medios motus. -- Item nota quod, si cum annis Arabum praecise aliquis terminorum vel casuum dictorum provenerit, iam in fine vel in medio mensis anni ultimi erit eclipsis possibilis: in fine, solis, et in medio, lunae. Et invenitur haec possibilitas quandoque in uno anno bis. -- Item notandum quod, cum eclipsis solis non fit aliquibus nisi cum sol et luna simul fuerint -- ita quod luna fuerit vel totaliter vel secundum aliquid sui inter aspectum eorum et solem -- et cum hoc non contingit nisi cum luna fuerit vel in nodorum alterutro vel prope, ita quod sit in partibus prope nodorum alterutrum ad septentrionem, ideo solum est eclipsis possibilis in duobus casibus, scilicet prope caput, cum iverit luna ab eo, et prope caudam, cum iverit ad eam. Et loquor, sicut dicit auctor, respectu habitantium in 5'o, 6'o vel 7'o climate: luna enim distans a capite vel cauda in meridiem habitantibus in primis climatibus possibile est ut eclipset solem. -- Luna vero, ab alterutro nodorum in utraque parte distans, cadere potest vel totaliter vel secundum aliquid sui in umbram: ideo 4 casus sunt vel termini eclipsis lunae, scilicet sive distat a capite in meridiem sive in septentrionem, sive etiam a cauda in meridiem vel in septentrionem.
    (Ap325) Et tunc sequitur in textu (169) quod, cum ita sciveris mensem in quo potest, id est in quo probabile est, eclipsim fieri solis vel lunae, aequa illam coniunctionem vel praeventionem illius mensis secundum regulas eclipsium sequentes; et tu scies si erit eclipsis vel non, et etiam, si erit, tu scies diem et horam et quantitatem, eclipsis scilicet, et durationis et tenebrarum vel obscurationis.
    (Ap326) Et nota quod auctor notabiliter dicit hic Si erit eclipsis: licet enim in terminis eclipsis iam positis, scilicet cum luna fuerit distans ab alterutro nodorum minus 12 gradibus, probabile sit et possibile lunam eclipsari, non est tamen necessarium eclipsim fieri nec solis nec lunae. "Possibile" enim dicit hic "non impossibile" tantum: non enim est impossibile eclipsim fieri, argumento latitudinis in aliquo dictorum terminorum existente ad mediam solis et lunae coniunctionem vel ad eorum secundum medios motus oppositionem; quocumque tamen illorum terminorum existente, impediri potest eclipsis.
    (Ap327) Eclipsis enim lunae impediri potest tribus modis. Primo enim quia, dato quod argumentum latitudinis ad oppositionem mediam sit minus 12 gradibus, puta 11 graduum, si argumentum lunae fuerit minus sex signis, puta 4 vel 5 signorum, iam non erit eclipsis lunae possibilis, sicut videbitur infra (:?). -- Item secundo, dato quod argumentum latitudinis fuerit 11 graduum, et dato etiam cum hoc quod luna sit in auge sui epicycli -- ita quod, quantum distat centrum epicycli a nodo, tantum et distet centrum corporis lunae a nodo -- si tamen sol fuerit in sagittario vel circa, non erit etiam possibile eclipsim fieri. -- Tertio etiam, dato quod omnia concurrant ad punctum, si oppositio fiat in die, licet vere luna eclipsetur, non tamen apparebit tibi saltim tota, sed solum principium eclipsis in mane ante solis ortum, vel finis eius in sero post solis occasum; et hoc si circa ortum solis vel occasum de die fuerit tempus eclipsis mediae. In aliis autem diei temporibus eclipsi media contingente, non est visibilis tibi: quamdiu enim sol fuerit supra tuum hemisphaerium, non apparebit tibi luna in oppositione sui ad solem. -- Hiis igitur tribus modis impeditur eclipsis lunae.
    Eclipsis autem solis 4 modis impeditur, scilicet primo si, argumento latitudinis existente 11 graduum vel circa, luna distet ab auge ad 4 vel 5 signa sui epicycli. -- Secundo si, argumento tali existente, si sol fuerit in sagittario vel circa, et si cum hoc argumentum lunae fuerit minus sex signis, vel sex vel plus etiam, modico tamen. -- Tertio si, tempore etiam coniunctionis, fuerit infra terminos eclipsis solis argumentum latitudinis, et propter diversitatem aspectus, modo qui dicetur, contingit aliquando argumentum latitudinis vel prope caudam nimis crescere vel prope caput nimis minui: utrimque enim contingit lunam visibiliter ultra nodos trahi. -- Item et 4'o, si coniunctio fuerit in nocte. -- Hiis enim quattuor modis contingit eclipsim solis impediri.

(Ap328) Cum solis et lunae coniunctionis horam (170-208b): inventa possibilitate eclipsis solis vel lunae, docet consequenter possibilitatem illam examinare. Et quia coniungi vel opponi solis vel lunae naturaliter saltim praecedit eorundem eclipsari, ideo auctor primo (170-85) docet invenire horam coniunctionis et oppositionis eorundem adinvicem, et secundo (186-208b) de figura et quantitate eclipsis eorum determinat; et incipit secunda pars ibi Et si qua die vel hora. -- Primo adhuc (170-78) docet ea quae communia sunt coniunctioni et oppositioni, et secundo (179-85) quiddam coniunctioni speciale ostendit, cum dicit Si vero aspectus. -- Primo adhuc (170) docet invenire horam coniunctionis et oppositionis eorum mediam, et ea per quae vera eorum coniunctio investigatur, et secundo (171-78) veram eorum coniunctionem docet, cum dicit Si autem coniunctionis vel impletionis.
    (Ap329) Sententia capituli (170) stat in hoc quod, cum volueris invenire horam coniunctionis solis et lunae quantum ad eclipsim solis, et impletionis lunae quantum ad eclipsim lunae, et locum earum, tunc tabulas solis et lunae ad hoc constitutas quaere, ad quas scilicet pro invenienda possibilitate intrasti. Et si volueris coniunctionem, id est eclipsim solis, tunc tabulas coniunctionis ad annos collectos (GA11) intra; vel intra tabulas praeventionis sive impletionis (GA12), si quaesieris eam; intra, inquam, ut dictum est in collectione medii motus planetarum. Intrabis autem cum tempore Arabum, cum quo pro possibilitate invenienda intrasti. Et quod ibi inveneris in 4 tabulis accipe -- scilicet in tabula dierum, quae intitulatur "tempus mediae coniunctionis" quantum ad primam tabulam quae est de eclipsi solis, vel intitulatur "tempus mediae oppositionis" quantum ad secundam quae pertinet ad eclipsim lunae; et in tabula medii cursus solis et lunae; et in tabula argumenti lunae; et in tabula argumenti latitudinis lunae -- accipe, inquam, ea quae in istis 4 tabulis vel capitulis inveneris, et nota ea extra in pulvere, eo ordine quo ea inveneris.
    Deinde, annis cum quibus nunc intrasti de omnibus annis tuis diminutis, cum residuis, illo addito semper in quo possibilitatem eclipsis invenisti, ad tabulam annorum expansorum (GA13), quae communis est soli et lunae, intra, et quod ibi inveneris in 4 tabulis, sub aliis prius acceptis scribe.
    Intrabis etiam tabulam mensium (GA14) cum mense in quo fuerit coniunctio possibilis vel oppositio, et omnia ibi inventa sub aliis prius extractis pone. Verumtamen, si aliquem diem inveneris cum annis expansis vel mensibus, illum de diebus ad annos collectos inventis demas; sed e converso si de horarum collectione dies aliquis excreverit, illum diebus cum annis collectis acceptis addas.
    Et quod remanserit in 4 tabulis vel capitulis, ut fit in collectione medii motus planetarum, ita quod unumquodque per se, collige, reducendo scilicet minuta in horas et horas in dies; et habebis diem et horam et minutum horae coniunctionis vel impletionis secundum medium motum. -- Et tacet de reductione positorum in tribus capitulis ultimis; debes autem illa in unum recolligere, sicut supra in aequationibus planetarum factum est, quia singulorum generum secunda in unum recolligas, semper pro 60 secundis unum addendo ad minuta, et pro 60 minutis singulorum generum gradibus unum, et pro 30 gradibus signis unum; et si signa singulorum generum excreverint 12, 12 abiectis residuum de 12 retineas.
    (Ap330) Et nota, quid tibi important isti 4 ordines vel haec 4 capitula. -- Per primum enim capitulum (GA*.Tps) habes diem et horam mensis, quo sol et luna per medios motus coniungentur vel opponentur; et ideo intitulatur "tempus mediae coniunctionis solis et lunae", si fecisti ad eclipsim solis, vel intitulatur "tempus mediae oppositionis solis et lunae", si fecisti ad eclipsim lunae. -- Per secundum autem ordinem vel capitulum (GA*.Mot) habes coniunctionis mediae solis et lunae distantiam ab ariete, si fecisti ad eclipsim solis, vel coniunctionis mediae solis et nadir lunae, si fecisti ad eclipsim lunae, ad idem tempus inventum. -- Per tertium autem ordinem vel capitulum (GA*.Alu) habes quantum luna distat ab auge sui epicycli in eodem tempore invento, et ideo intitulatur "argumentum lunae". -- Per quartum vero ordinem vel capitulum (GA*.Ala), per quod et primo invenisti possibilitatem eclipsis, habes distantiam centri epicycli lunae a capite draconis, et ideo intitulatur "argumentum latitudinis lunae".
    Item nota hic quod, si argumentum latitudinis, per quod possibilitatem eclipsis invenisti, reservasti prius, non oportet hoc iterum hic quaerere, sed tribus capitulis inventis ipsum praeponas sicut ipsum prius invenisti.
    (Ap331) Item circa primum capitulum, quod intitulatur "tempus mediae coniunctionis", vel "oppositionis", "solis et lunae" (GA*.Tps), notandum est quod, qua ratione pro 60 minutis unam horam addis, eadem ratione oportet et pro 24 horis diebus unum addere.
    Quare autem diem vel dies ad annos expansos vel ad mensem inventum vel inventos de diebus cum annis collectis inventis <minuere> oporteat, causa est latens. Est autem haec quia coniunctio contingit in quolibet mense circa finem eius, et per consequens in fine anni, ita quod in die eius ultima vel in prima die anni vel mensis sequentis. Nunc autem auctor tabularum, quando vidit coniunctionem cadere in mense sequenti, tunc in tempore coniunctionis mediae, e directo anni illius vel mensis, posuit horas tot et tot minuta temporis, quot horis et minutis elapsis a principio mensis sequentis coniunctio illa contingit; et e directo illius anni vel mensis et illarum horarum et illorum minutorum posuit locum coniunctionis illius mediae in secundo capitulo. Quod probare potes per tabulas aequationis solis (CA01): per tabulas enim illas istud inquisivi; sed in hoc passu non est difficultas, nec de isto fit variatio operis.
    Dico autem quod auctor, videns coniunctionem accidere infra ultimum diem mensis vel anni, cum semper hoc fit post lapsum 12 horarum, horas diei illius ultimi et minuta ad coniunctionem transactas vel transacta non posuit in tabula, neque etiam quae de die restant, sed mensem sequentem initians a coniunctione ipsa, tot horas primae diei mensis sequentis posuit in tabula et minuta, de quot horis et minutis 24 horae excedunt horas et minuta quae a coniunctione facta restabant ad completionem anni vel mensis; et quia tempus cadens inter coniunctionem et finem anni vel mensis semper minus est 12 horis, ideo per consequens horae positae in tabula sunt plures 12, vel 12 cum aliquot minutis. Constat igitur quod horae et minuta posita in tabula, si excedant 12 horas, non spectant ad annum illum vel mensem.
    Item scias quod dies, qui positus est ibi inter annos vel menses et horas cum excedant 12, non est nisi nota quaedam, denotans annum illum vel mensem cum horis et minutis ibi scriptis excedere tempus debitum illius coniunctionis mediae, quae ibi in secundo capitulo ponitur. Et ideo, cum est nota excessus, non immerito excessus ille, cuius haec est nota, a tempore debet tolli: scilicet dies ille, ubicumque inventus, sive ad annos expansos sive ad menses. Et haec est causa quare dies inventi cum annis expansis vel mensibus a diebus annorum collectorum subtrahuntur. -- Horae autem et minuta ubicumque inventa, cum sint fragmenta dierum ultra lunationes completas, debent colligi ad diei vel ad dierum constitutionem, qui addi debet vel debent diebus inventis cum annis collectis.
    (Ap332) Et quod haec sint vera quae dixeram, probes per tabulas solis et lunae (CA01,11) superius habitas. Puta, verbi gratia, si velis videre utrum medius motus solis et lunae positus e directo 20 annorum sit tot annorum et 8 horarum ibi positarum cum 13 minutis horae, aequa solem ad idem tempus -- et sufficit solem aequare, quia non est dubium ibi coniunctionem fieri -- et invenies 3 signa 25 gra 20 m'a et 45 2'a cum 20 annis et 8 horis et 13 minutis. Intrando vero cum 21 annis et 17 horis et 2 minutis invenies in tabula medii motus solis supra habita 4 signa 15 gra 35 m'a 56 2'a fere, a quo si subtraxeris medium motum solis in uno die, remanebunt 4 signa 14 gra 36 m'a et 48 s'a fere; et haec eadem invenies e directo temporis memorati, praeterquam fere deficit unum secundum, de quo compositor non est visus curare. -- Ex hiis liquet manifeste vera esse quae dicebam.
    (Ap333) Circa secundum autem capitulum (GA*.Mot) notandum est quod capitulum illud in tabula coniunctionis ad annos collectos commune est soli et lunae, hac condicione ut semper in eodem secundo linea medii motus solis et linea medii motus lunae inveniantur; capitulum autem illud idem in tabula oppositionis ad annos collectos commune est soli et lunae, ea scilicet condicione ut linea medii motus solis et nadir lineae medii motus lunae in eodem secundo inveniantur; capitulum autem idem ad annos expansos et menses commune est et eclipsi solis et lunae.
    Et tu forte quaeres: quare magis capitulum istud, in hiis duobus locis positum, factum est ad coniunctionem quam ad oppositionem, cum est utrique commune? -- Dico ad hoc quod hoc ideo est, quia coniunctio addita coniunctioni non mutat denominationem: adhuc enim est coniunctio. Item coniunctio addita oppositioni etiam non mutat denominationem: adhuc enim est oppositio, etiam si centum coniunctiones uni oppositioni coniungantur. Quia, sicut se habet dimidium ad integrum, sic oppositio quodammodo se habet ad coniunctionem; sed quotcumque etiam integra addas dimidio, ultimum aggregati erit semper dimidium. Et ideo capitulum praedictum factum est ad coniunctionem, non autem ad oppositionem, quia oppositio non est communis coniunctioni et oppositioni: oppositio enim addita coniunctioni oppositionem relinquit et ita denominationem mutat; oppositio etiam addita oppositioni, si sola sit, coniunctionem facit, sicut de se est evidens. -- Et si dicas quod oppositio accepta ad annos expansos, si ibi esset, cum oppositione accepta ad menses, si etiam ibi esset, addita oppositioni inventae ad annos collectos facit oppositionem, addita etiam coniunctioni non mutat eam, dico quod verum est; sed quandoque contingit quod ad menses non erit intrandum, puta quando eclipsis videtur possibilis in primo mense anni, qui mensis semper annumeratur annis tam collectis quam expansis; et tunc saltim deficerent tabulae. -- Et ita vides quod oppositio non posset poni in capitulo secundo tabulae annorum expansorum vel mensium, sed coniunctio.
    (Ap334) Circa tertium autem capitulum, quod intitulatur "argumentum lunae" (GA*.Alu), notandum quid hoc sit. Dico autem quod ipsum est arcus cadens inter augem epicycli lunae et centrum vel medium corporis lunae: arcus, dico, consideratus secundum motum lunae in epicyclo.
    (Ap335) Et tu quaeres: a qua auge epicycli? utrum ab auge vera vel media est iste arcus computandus? Ab auge media, dicis tu, quia est acceptus ad idem tempus cum medio motu lunae, vel cum nadir medii motus lunae, quod idem valet. -- In proposito dico quod argumentum istud est argumentum verum et sic arcus inceptus ab auge vera epicycli. Quamquam enim acceptum est cum tempore medii motus accepti, quia -- cum centrum epicycli lunae iam est in auge sui deferentis, sicut et in qualibet coniunctione et oppositione -- facta est aux vera et media unum punctum, solum ratione differens, ideo, non obstante quod hoc argumentum sit acceptum ad idem tempus cum medio motu lunae, adhuc non oportet ipsum <vocari> argumentum medium, vel arcum consideratum ab auge epicycli media, solum, quia coincidunt aux media et vera. -- Istud etiam patet ex signo evidenti: auctor enim, docens statim post invenire verum locum lunae ad tempus acceptum, et in tabulis istis vult quod cum isto argumento accipiatur aequatio argumenti lunae, ac si aequatum esset per aequationem centri. Cum igitur ex dictis istud argumentum est verum argumentum, ad habendum verum locum lunae non oportet nisi vel addere vel subtrahere aequationem eius medio motui lunae.
    (Ap336) De sequenti autem capitulo, quod est 4'm et ultimum, quod intitulatur "argumentum latitudinis" (GA*.Ala), dictum est supra (:Ap324) quod ipsum est arcus cadens inter centrum epicycli lunae et caput draconis. Et quod hoc sit verum, patet signanter, quia addendo sibi vel subtrahendo aequationem argumenti lunae infra habebis distantiam corporis lunae a capite, quod infra (:Ap355) vocabitur "argumentum latitudinis semel aequatum".

(Ap337) Si autem coniunctionis vel impletionis (171-78): postquam iam immediate docuit invenire coniunctionem vel oppositionem mediam solis et lunae, et ea similiter per quae veram eorum coniunctionem vel oppositionem oportet invenire, consequenter docet hic investigare veram eorum coniunctionem vel oppositionem.
    Et quia aliquando, licet raro, contingit veram coniunctionem vel oppositionem coincidere cum media -- ut cum linea exiens a centro terrae per centrum epicycli lunae coincidit cum linea medii motus solis, si cum hoc in eodem instanti centrum corporis lunae et centrum solis in eodem minuto caeli inveniantur -- pluries autem contingit quod, lineis medii motus ipsorum coincidentibus vel nadir medii motus unius cum linea medii motus alterius, tamen nec luna corporaliter erit cum sole nec suum nadir, et tunc necessario tempus coniunctionis vel oppositionis verae diversum erit a tempore coniunctionis mediae quod inventum est in tabulis;
    primo igitur (171a-b) auctor docet invenire vera loca utriusque, scilicet et solis et lunae; et secundo (172a-173) docet aequare tempus ad veram coniunctionem vel oppositionem, si tempus mediae coniunctionis vel oppositionis a tempore verae coniunctionis vel oppositionis fuerit diversum; et tertio (174-75) docet ad tempus verae coniunctionis vel oppositionis invenire locum eundem utriusque, scilicet et solis et lunae, vel solis et nadir lunae locum eundem; et quarto (176-78) docet invenire motum lunae vel solis in una hora aequalem, quod in inventione temporis coniunctionis vel oppositionis verae supposuit. -- Et incipit secunda pars ibi Qui si convenerint, tertia ibi Ut autem coniunctionis vel impletionis, quarta et ultima ibi Cum autem motum solis et lunae.
    (Ap338) Dicit primo (171a-b), proponens quod intendit, quod, si certum locum coniunctionis vel impletionis, id est oppositionis solis et lunae, nec non et certam horam coniunctionis vel impletionis, volueris invenire, ad hoc habendum dicit: augem solis (DA0*) de medio motu eius minue, quem invenisti in tabulis modo per capitulum praecedens, et remanet argumentum solis; ideo dicit quod cum hoc argumento quod remanserit tabulas aequationis solis (EA01) in lineis numeri ingrediens, fac ut dictum est in aequatione solis. Accipies enim aequationem argumenti cum illo argumento, per duos introitus intrando, si opus fuerit, et aequando; et aequationem illam addas medio motui hic invento, si argumentum fuerit plus sex signis, vel eandem eidem demas, si fuerit minus, sicut supra dicebatur (:141b); et quod post additionem vel subtractionem fuerit, erit verus locus solis. Et ita verificasti locum solis.
    (Ap339) Intrabis etiam (171b): docet similiter verificare locum lunae, dicens: intra etiam tabulas numeri aequationis lunae (EA11) cum argumento eius, et aequationem argumenti, quam in directo eius inveneris, accipias, et illam addas super medium motum lunae et super argumentum latitudinis: addas, inquam, si argumentum, lunae supple, fuerit plus 6 signis, vel minue eam, scilicet aequationem argumenti, ab eisdem, scilicet et a medio motu lunae et ab argumento latitudinis, si argumentum lunae fuerit minus 6 signis; et sic habebis locum solis et lunae aequatum, id est certum; verum est in octava sphaera ad Toletum. -- Ex iam dicto verificatur quod prius dicebam (:Ap335), quod scilicet argumentum lunae scriptum in tabulis istis eclipsium sit argumentum verum: quia centrum epicycli est in auge deferentis; et ideo non accipimus diversitatem diametri nec minuta proportionalia ad habendum veram aequationem argumenti.

(Ap340) Qui si convenerint (172a-173): docet aequare tempus ad veram coniunctionem vel oppositionem iam inventam vel inveniendam. -- Et quia, sicut in principio capituli (:Ap337) dicebatur, tempus coniunctionis vel oppositionis verae aliquando coincidit cum tempore coniunctionis vel oppositionis mediae, et aliquando, ut frequentius, differunt, ideo auctor hic duo facit: primo enim (172a) innuit tempus coniunctionis et oppositionis verae esse idem cum tempore coniunctionis vel oppositionis mediae, quando vera loca solis et lunae coincidunt ad coincidentiam medii motus eorundem; et secundo (172b-173) docet invenire tempus coniunctionis vel oppositionis verae, cum vera loca eorum sunt diversa, mediis motibus eorum coincidentibus. Secunda pars incipit statim post, cum dicit Si vero fuerint diversi.
    (Ap341) Continuetur autem pars prima ad praecedentem sic. Dictum est quod operando ut dicebatur habebis certum locum solis et lunae; et tunc respondet littera (172a): Qui, scilicet sol et luna, si convenerint in signis, gradibus et minutis, ipsa est coniunctio vel impletio, id est oppositio, vera supple, quam invenisti in hora, id est ad tempus, eius, id est coniunctionis vel oppositionis mediae. -- Quasi dicat quod, si post verificationem loci veri utriusque inveneris quod +si fuerint+ in eodem loco caeli vel in locis oppositis, tunc tempus coniunctionis vel oppositionis eorum mediae est tempus etiam coniunctionis vel oppositionis eorum verae. -- Et nota quod auctor hic, ut plerumque, pro nadir lunae accipit locum lunae, sicut patet in modo suo loquendi.
    (Ap342) Si vero fuerint diversi (172b-173): docet consequenter invenire tempus verae coniunctionis et oppositionis, dato quod loca solis et lunae verificata differant. Et facit duo, quia primo (172b) facit hoc, scilicet docendo invenire diem et quot horae aequales de die transierint in puncto coniunctionis vel oppositionis verae, dato vel supposito quod dies cum noctibus suis sint mediae; et secundo (173), quia dies cum noctibus suis non sunt semper mediae, docet qualiter praecise aequentur dies. Et incipit secunda pars ibi Si autem volueris eas reddere diversas.
    (Ap343) Dicit igitur primo (172b) quod, si fuerint diversi, scilicet sol et luna, tunc considera longitudinem, id est distantiam, quae fuerit inter eos; quasi dicat quod, si verus locus solis distat a vero loco lunae, tunc distantiam illam quaeras vel accipias, subtrahendo verum locum unius, scilicet minus distantis ab ariete, a vero loco alterius, scilicet magis distantis ab ariete. Et aggrega illi distantiae suam duodecimam partem; et, supple, illud vocabitur "longitudo cum sua duodecima": longitudo, inquam, "lunae", si verus locus lunae maior erit vero loco solis; vel vocabitur "longitudo solis", si verus locus solis maior erit vero loco lunae. Et quod collectum fuerit, scilicet ex longitudine cum sua duodecima, divide per motum lunae aequalem in una hora, quem docebit invenire in proximo capitulo, et horas quae exierint serva; quod vero remanserit in 60 multiplica, et divide numerum exinde surgentem, id est provenientem, sicut prius diviseras, scilicet per motum lunae aequalem in una hora, et habebis partes horarum, id est minuta. -- Quae, scilicet minuta, cum horis prius inventis sunt addenda horis, et minutis supple, extractis, id est inventis, ad medium cursum. Addenda sunt autem ista ita quod minuta minutis et horae horis: addenda sunt, inquam, haec illis, si longitudo fuerit solis, id est si locus verus solis praecessit locum lunae; vel removenda sunt, scilicet haec minuta et hae horae, ab eisdem, id est ab horis et minutis ad medium motum inventis, et hoc si longitudo fuerit lunae, id est si luna praecedit vel praecessit solem, iam, id est in operatione tua. -- Et sic invenies horas coniunctionis aequales, supple si ad coniunctionem fecisti, vel impletionis, id est oppositionis, si pro oppositione laborasti; et hoc, inquam, post mediam diem, id est ad meridianum, civitatis Toleti.
    Et quia horae et minuta hic inventa solum sunt accepta hic secundum quod hora aequalis est tempus lapsus 15 graduum aequinoc- tialis, -- et ideo, cum dixisset quod hoc modo invenies horas aequales et minuta ad meridianum Toleti, subdit quod hoc est verum, ea scilicet condicione ut dies cum noctibus suis, id est dies naturales inceptae a meridie, sint mediae, id est aequales.
    (Ap344) Hic notandum est primo quod, cum sol et luna distent, mediis motibus ipsorum coincidentibus, tunc necessario arcus zodiaci intercidit inter centra corporum utrorumque; qui arcus aliquando accipitur secundum latitudinem in zodiaco et secundum longitudinem, aliquando secundum longitudinem solum. -- Arcus iste secundum latitudinem est interceptus inter centrum lunae et eclipticam, et vocatur "latitudo lunae", et ideo accipitur per argumentum latitudinis. Arcus autem iste secundum longitudinem attenditur secundum maiorem vel minorem ab ariete elongationem ab occidente in orientem, et ideo invenitur per subtractionem veri loci unius a vero loco alterius. Et iste arcus communi nomine vocabitur "longitudo inter solem et lunam"; et si sol de tanto arcu praecedit lunam, tunc arcus iste proprio nomine vocabitur "longitudo solis"; vocabitur etiam "longitudo lunae", si luna praecedit solem.
    (Ap345) Ulterius, si luna praecedit solem, semper vera coniunctio praecedit mediam, et sic ante horam coniunctionis mediae praeteriit coniunctio vera, quare de cetero hac vice non coniungentur corporaliter; cuius causa est quia luna propter velocitatem motus sui non attingetur a sole. Si vero sol praecedit lunam, semper adhuc futura est coniunctio vera, quia sic semper media coniunctio praecedit veram, cum luna stat ad tergum solis: potens enim est luna in brevi attingere solem. Et ideo docet auctor invenire tempus quod ponet luna a tempore coniunctionis mediae ad coniunctionem veram, si sol praecedit, vel quod fluit a tempore verae coniunctionis ad tempus mediae coniunctionis.
    (Ap346) Causa autem, quare ad inveniendum tempus istud oporteat addere longitudini suam duodecimam, est haec, quia motus lunae comparatur ad motum solis sicut 13 ad unum. -- Quidam tamen, motuum et quantitatis motuum ignari, dicunt quod 12'a additur quia motus lunae comparatur ad motum solis sicut 12 ad unum; cuius falsitas litterae probatur cito, dividendo medium motum lunae per medium motum solis, quia exibunt 13 et plus.
    Necessitas autem evidentior, quare illam duodecimam oporteat addere, est haec quia, si dividetur longitudo -- ponatur solis -- per motum lunae aequalem in una hora, non addendo duodecimam, tunc exiret tempus quod poneret luna antequam pertransiret arcum longitudinis. Et cum pervenerit ad idem punctum caeli, in quo erat sol in principio sui motus, sic ibi veniens non inveniet solem ibi: in toto enim tempore motus lunae, motus est sol ad quendam parvum arcum. Et haec distantia, quae est iam inter solem et lunam, est 12'a longitudinis, quam longitudini oportet addere; quam cum adhuc luna deambulaverit, distat sol in ante ad duodecimam huius parvi arcus. -- Ergo dicis tu: luna transibit plus quam longitudinem et eius duodecimam, antequam attingat solem, cum adhuc sol distabit a luna in ante. Dico quod verum est, nec praecise loquendo hoc negare possum; sed quia hoc modicum non est nisi duodecima duodecimae longitudinis, non causat errorem in opere. Sed vere, si dixeris solem et lunam coniungi in puncto tali, per hunc modum operandi continget te peccare in duobus minutis et 55 secundis large aliquando; sed hoc non erit nisi valde raro, scilicet si coniunctio fuerit circa medium virginis et argumentum lunae fuerit novem signorum minus aliquot gradibus, vel cum coniunctio fuerit circa medium piscium et argumentum lunae fuerit trium signorum cum aliquot paucis gradibus.
    Et loquor hic generaliter et largo modo de coniunctione, extendendo nomen coniunctionis et ad coniunctionem solis et lunae corporalem et ad coniunctionem solis et nadir lunae; idem enim est iudicium de motu lunae et de motu nadir lunae: aequaliter enim necessario moventur.
    (Ap347) De eo autem quod dicit auctor Et invenies horas aequales coniunctionis etc. (:172b), ea condicione ut dies cum noctibus suis sint mediae, advertendum est quod dies naturales incepti a meridie sibi invicem sunt inaequales propter diversa additamenta temporum supra revolutionem caeli vel aequinoctialis completam. Quod patet hoc modo, quia esto quod, sole existente in meridiano, punctum aequinoctialis tangens meridianum in eodem instanti signetur, et revolvatur caelum, usque dum iterato veniet idem punctum aequinoctialis ad meridianum: dies igitur nondum est completa, quia sol nondum venit ad meridianum, sed distat in orientem ad tantum arcum, quantum deambulavit motu proprio in tota revolutione. Et tempus quod fluit, donec ductu caeli solis centrum vel medium venerit ad meridianum, additum supra tempus revolutionis caeli vel aequinoctialis, praecise complet diem. Et quia tempus istud modicum quandoque minus est et quandoque plus, ideo tota dies per consequens <quandoque> maior est et quandoque minor, ita quod tempus fluens a meridie huius diei ad meridiem crastinae plus est vel minus quam tempus quod fluit a meridie crastinae diei ad meridiem diei sequentis; quod non credunt vulgares.
    Quod autem istud additamentum temporis quandoque plus est et quandoque minus, declaratur ex eo quod istud tempus est, quo sol motu proprio deambulat partem sui deferentis in tota revolutione aequinoctialis, id est fere unum gradum. Constat autem aliquando plus et aliquando minus de aequinoctiali transire meridianum cum aliqua parte zodiaci, vel eclipticae vel deferentis solis, quae omnia idem sunt; et ideo, cum ad transitum maioris partis aequinoctialis maius fluit tempus et ad minorem minus, consequens est ut, in revolutione aequinoctialis, ad arcum correspondentem arcui deambulato a sole in uno die, quandoque plus fluat tempus et quandoque minus. -- Et per consequens evidens est, diem naturalem inceptam a meridie aliquando prolixiorem esse, aliquando breviorem.
    (Ap348) Et tunc ad propositum: quia negotium mathematicum fundatur semper super uniformitatem, ideo, licet astronomus accipit diem tempus illud esse quo sol, cum fuerit in meridiano, recedens ab eo redit ad ipsum iterato, tamen, quia tempus istud inaequale est, non dicit ipsum esse diem, cum motus planetae alicuius vel stellae quaerimus in una die. Sed tempus istud ad aequalitatem reducit isto modo, quia accepit tempus revolutionis caeli vel aequinoctialis totalis, et tempori illi addidit tantum temporis, quantum fluit in transitu tanti arcus aequinoctialis, quantus est arcus deferentis solis pertransitus a sole in revolutione tota per meridianum, scilicet 59 m'a et 8 2'a; et aggregatum ex additamento isto et ex tempore revolutionis totius vocatur "dies" secundum astronomos. -- Ad sic dicendum cogit me ratio quae ex dictis et iam dicendis colligi potest.
    (Ap349) Istud autem tempus, cum semper est aequale et uniforme, quandoque est minus et quandoque plus quam tempus quod fluit a recessu solis a meridiano per motum caeli ad iteratum suum reditum ad eundem; quandoque etiam est ei aequale, puta quando praecise vel prope unus gradus eclipticae cum uno gradu aequinoctialis transit meridianum: et est circa medium aquarii et circa medium leonis. Et ideo, cum sol fuerit in locis istis, dies astronomi bene est tempus transitus solis a meridiano ad meridianum, in aliis autem locis non, sed quandoque plus et quandoque minus: plus, ut cum arcus eclipticae a sole pertransitus in revolutione tota aequinoctialis minores se habet ascensiones; et minus, si maiores.

(Fig.: missing)

(Ap350) Verbi gratia, ut istud possis imaginari: sit sol in primo gradu arietis et in primo puncto primi gradus, cum fuerit in meridiano; et punctum aequinoctialis iam in hoc instanti attingens meridianum vocetur D. Deinde revolvatur caelum usque dum D iterum tangat meridianum. Constat autem etiam primum punctum primi gradus arietis esse in meridiano; sed iam non erit ibi sol, sed distat adhuc versus orientem ad 59 m'a et 8 s'a: dies igitur non est completa. Deinde igitur revolvatur caelum ulterius ad 59 m'a et 8 2'a aequinoctialis, ut per tantum arcum sit D ultra meridianum versus occidentem. Et iam completa est dies astronomi, quam vocat auctor "diem mediam aequalem" (:?); et quantitate sua supposita, verificationes planetarum accipiuntur.
    Vide igitur, utrum in hoc instanti completionis diei aequalis completa est revolutio solis vel non, isto modo: accipe partes zodiaci vel eclipticae quae debentur 59 minutis et 8 s'is ascensionum, quae sunt inter D et meridianum, et invenies arcum eclipticae scilicet unum gradum 4 m'a et 31 2'a fere; et finis huius arcus ab ariete computati est in meridiano, et aries lapsus est versus occidentem. Vocetur ergo iste arcus AB, ita quod primum punctum arietis A, et punctum in meridiano existens B. Cum ergo B distet ab A per 1 gradum 4 m'a et 31 s'a, sicut dictum est, sol autem distat ab A per 59 m'a et 8 s'a, est igitur sol inter A et B, et per consequens distat a B per 5 m'a et 23 2'a ultra meridianum versus occidentem. Prius igitur centrum solis venit ad meridianum quam B per 5 m'a et 23 2'a. Deinde, quia iste arcus inaequale habet tempus respectu alterius tanti arcus etiam eclipticae, ideo convertatur in arcum aequinoctialis, et habebis 4 m'a et 30 2'a cum aliquo. Et ideo de tanto tempore, quantum fluit in motu aequinoctialis ad 4 m'a et 30 2'a raptu caeli, est dies astronomi maior quam tempus revolutionis solis.
    Oppositum, sicut in principio cancri sole existente: quia ibi est dies astronomi minor tempore revolutionis, etiam de tempore tanti arcus.
    (Ap351) Et arcus iste ponitur in tabula e directo cuiuslibet gradus -- quia e directo primi gradus arietis 5 m'a scribuntur, et ponit auctor unum minutum pro secundis -- et vocatur "aequatio dierum" (BB11.Eqd). Et incipit haec aequatio in medio vel circa aquarii: ibi enim gradui eclipticae gradus aequinoctialis respondet vel prope. Et licet in tribus locis hoc contingit, sicut in medio tauri et in medio leonis et circa medium scorpionis, tamen aequalitas inter ascensiones et gradus eclipticae primo accidit circa medium aquarii -- computando a capricorno, a quo tabulae istae incipiunt, ubi haec dierum aequatio invenitur -- et terminatur tota inaequalitas ista, quae est aequatio dierum, ad 7 gradus et 54 m'a cum modico.
    Quod sic intellego quod, completis omnibus revolutionibus, quas vocavi "diem astronomi", a tempore quo sol in decimo octavo gradu aquarii fuerit in meridiano, usque dum in octavo gradu scorpionis fuerit, ultima revolutione completa, lapsus est sol a meridie ad 7 gradus et 54 m'a: et ideo, cum tempus fluit in toto isto, demi debet a tempore quodcumque ibi inventum circa medium scorpionis, quia semper tempus, ad quod invenimus aliquid ex tabulis, est ac si dies teneret solum unam revolutionem aequinoctialis et 59 m'a et 8 2'a. Aequatio igitur dierum semper est addenda tempori dato.
    (Ap352) Contra diceres tu, sicut et voluit quidam dicere: post medium scorpionis ista aequatio semper dierum diminuendo vadit in tabula usque ad medium aquarii vel prope medium: ergo debet a tempore dato minui. -- Dico quod non oportet, quia, licet minuatur semper in tabula aequatio unius gradus respectu aequationis gradus praecedentis, sed tamen non respectu aequationis maximae ita usquam tantum minuitur, quantum in aequatione maxima augebatur ultra diem quem dixi esse diem astronomi (:Ap348), antequam deventum fuerit ad circa medium aquarii, ubi vel parum vel nihil discordat dies astronomi a revolutione solis. Haec autem aequatio dierum sic debet addi supra tempus acceptum ex tabulis, non quod in forma propria, sed conversa in tempus, isto modo quia pro quolibet gradu m'a temporis 4, et pro quolibet minuto aequationis 4 2'a, sicut auctor dicit (:Ap353).
    Cuius causa est quia 15 gradus valent unam horam, ergo unus gradus valet quintamdecimam partem unius horae, scilicet 4 m'a; 4 enim m'a sunt quintadecima pars de 60, quae valent unam horam. Item, cum unum minutum valet 60 s'a, eadem ratione quintadecima pars de 60 secundis valent unum minutum caeli, scilicet 4 2'a; et eadem proportio in fractionibus minoribus. Cum enim totum caelum respondet 24 horis, diviso caelo, scilicet 360 gradibus, per 24 exibunt 15 gradus; et ideo proportionaliter unus gradus valet quintamdecimam partem horae unius, scilicet 4 m'a, et unum minutum similiter quintamdecimam unius minuti horae, scilicet 4 2'a, et unum secundum temporis vel gradus 4 tertia; ita quod semper fractio minor de caelo valet quintamdecimam fractionis maioris. Et appello fractionem "maiorem", cuius denominator est maior.
    (Ap353) Quibus visis non erit difficultas in opere; et patet etiam causa dicti in parte sequente Si autem volueris (173). Et continuetur per hoc ad praecedens in hunc modum: dicebatur (172b:) quod per modum prius dictum invenies horas coniunctionis vel oppositionis aequales, ea scilicet condicione ut dies cum noctibus, id est dies naturales, sint mediae, id est aequales, per modum iam elaboratum. Et quia realiter sunt diversae et inaequales modo quo supra, ideo, (173:) si volueris eas, scilicet dies, reddere diversas, id est reducere ad diversas ut sunt, tunc cum gradu solis, cum motu, supple, octavae sphaerae sibi addito, tabulas elevationum signorum ad circulum directum (BB11) intra, et aequationem dierum, quam ibi inveneris in gradibus et minutis, suscipe; quam reduces in minuta, et secunda supple, horarum, faciendo ex unoquoque gradu 4 m'a horae, et ex 30 minutis unius gradus, id est ex dimidio gradu, duo m'a horae, servando eandem proportionem in ceteris, scilicet fractionibus, propter causam dictam prius; et adde ea minutis horarum prius inventis; cuius etiam causam dixi. Hoc igitur ordine ita completo, habebis certam diem et horam coniunctionis vel impletionis quaesitae.

(Ap354) Ut autem coniunctionis vel impletionis (174-75): verificato tempore verae coniunctionis vel oppositionis, docet consequenter invenire certum locum coniunctionis vel oppositionis: id est, docet invenire locum in quo sol et luna coniungentur, vel in quo sol et nadir lunae coniungentur.
    (Ap355) Circa quod advertendum est quod, sicut dicebam, si luna praecedit solem in coniunctione vera, iam necessario prius corporaliter erat luna cum sole. -- Et quia locus ille, ubi simul erant sol et luna, est distans a sole in occidentem per duodecimam partem distantiae vel longitudinis inter solem et lunam, quod patet per praehabita -- et ideo distantiam quae est inter solem et lunam cum sua duodecima minuimus de vero loco lunae, et remanet locus lunae, in quo erat cum sole.
    Et quia, quantum luna ab illo loco recessit corporaliter, tantum et centrum epicycli recessit a capite, sicut auctor supponit -- cum tamen hoc praecise non sit verum, immo vel plus vel minus: plus, si erat luna in inferiori parte sui epicycli, minus vero, si superius erat; nisi si esset in longitudinibus mediis: tunc enim forte verum esset quod tantum motum est centrum epicycli a capite quantum luna ab ariete vel a capite; sed propter modicitatem et parvitatem arcus, quem luna per motum suum in epicyclo describit in zodiaco inter coniunctionem <**> veram vel oppositionem, sine errore supponi potest centrum epicycli et lunam in epicyclo aequaliter a capite moveri -- et ideo eandem longitudinem cum sua duodecima ab argumento latitudinis, prius aequato semel, subtrahe, sicut etiam subtraxisti a vero loco lunae. -- Deinde etiam duodecimam longitudinis a vero loco solis minue, quia ad tantum arcum a vera coniunctione deambulavit.
    Si vero longitudo fuerit solis, ita quod verus locus solis praecedat, tunc adhuc est coniunctio futura, scilicet in tempore iam verificato, et hoc in loco qui distat a sole in orientem per duodecimam longitudinis inter solem et lunam. Et ideo longitudini addimus suam duodecimam, et addimus productum ad verum locum lunae et ad argumentum latitudinis prius semel aequatum, et solam duodecimam addimus vero loco solis; cuius ratio habetur ex praedictis. -- Et remanet semper locus in quo erant vel erunt simul sol et luna, et similiter remanet distantia centri epicycli a capite. Et eodem modo, sicut dixi de sole et luna in eorum coniunctione, sic intellegendum est de sole et nadir lunae in eorum oppositione.
    (Ap356) Hiis praemissis facit auctor (174-75) duo, quoniam primo (174) docet locum certum coniunctionis vel oppositionis, et secundo (175), per modum notabilis, quid differenter debemus intellegere per verum locum coniunctionis et quid per verum locum oppositionis, cum dicit Notandum est etiam.
    (Ap357) Dicit igitur (174) quod, ad hoc ut invenias certum locum coniunctionis vel impletionis, longitudinem cum sua duodecima de loco lunae et de argumento latitudinis minue, et duodecimam tantum de loco solis, si eadem fuerit longitudo lunae; si vero solis fuerit, supple, illa longitudo, adde eandem, scilicet longitudinem, cum sua duodecima loco lunae aequato, id est vero, et argumento latitudinis, et duodecimam eius tantum loco solis examinato iam. Sic ergo invenies solem et lunam, vel, supple, solem et nadir lunae, in eodem gradu et in uno minuto, vel prope supple, et argumentum latitudinis lunae aequatum, scilicet bis: per aequationem argumenti lunae et per longitudinem cum sua duodecima.
    (Ap358) Notandum etiam est (175): addit per modum notabilis scilicet quod, si usque nunc feceris ad coniunctionem habendam, erit uterque in eodem gradu atque minuto vel, supple, prope; sed si feceris ad impletionem, erit sol in eodem gradu iam aequato, et luna in nadir signi eiusdem, id est in signo opposito, scilicet in simili gradu et minuto.
    Et recapitulat, dicens: Hiis igitur eo ordine executis ut demonstrata sunt, invenies certam horam et locum coniunctionis vel impletionis, remota omni dubitatione.

(Ap359) Cum autem motum solis et lunae (176-78): docet invenire motum lunae aequalem in una hora, quod in inventione temporis coniunctionis vel oppositionis verae supposuit. Et quia in sequentibus est etiam necessarium scire motum solis aequalem in una hora, ideo auctor in hoc capitulo docet invenire motum solis et lunae aequalem in una hora. Et primo (176) per regulam utrisque communem: et quia modus ille vel regula non est praecisus ad motum lunae inveniendum, ideo secundo (177-78), corrigendo se, docet aliter motum lunae aequalem in una hora invenire, cum dicit Vel aliter et subtilius.
    (Ap360) Regula sua est prima (176) quod, cum volueris invenire motum lunae aequalem vel solis in una hora, tunc cum argumento solis, si volueris de sole, vel cum argumento lunae si volueris de luna, ingredere tabulas motus aequalis solis et lunae in una hora (JA11), et motum quem e directo eius, scilicet argumenti, inveneris sume: motum, dico, cuiusvis horum, scilicet lunae si cum argumento lunae intrasti, vel solis si cum argumento solis intrasti; et hic erit motus eorum aequalis in una hora. -- Et hoc est verum de sole praecise, non autem de luna.
    (Ap361) Quod autem hoc non sit praecise verum de luna, patet: supponit enim tabula lunam, ubicumque existentem in epicyclo, non habere motum alium a motu centri epicycli, et per consequens eam aequaliter moveri in orbe signorum ad motum centri epicycli; sed utrumque horum est falsum, quia movetur in epicyclo praeter motum centri epicycli, et adhuc non aequaliter in orbe signorum, dato etiam quod centrum epicycli quiesceret.
    (Ap362) Vel aliter (177-78): docet invenire motum lunae aequalem in una hora praecisius quam prius. Et primo (177), quia tabula supposuit lunam non moveri nisi motu epicycli, corrigit errorem illum primo; et secundo (178), quia adhuc isto rectificato supponitur lunam motu proprio in epicyclo absque motu epicycli aequaliter moveri in orbe signorum, docet errorem illum corrigere, cum dicit Invento autem motu lunae. -- Et quia errorem primum rectificare docet per additionem vel diminutionem medietatis longitudinis et duodecimae ad argumentum lunae vel ab argumento lunae, cum hoc contingit dupliciter fieri, ideo additionis illius vel diminutionis dat duos modos (177).
    (Ap363) Dicit igitur (177): Vel aliter, ut motum lunae aequalem invenias in una hora subtilius et certius, longitudinem quae fuerit inter solem et lunam in duo media partire, id est divide, et uni medietati eius adde suam duodecimam, id est, duodecimam solius medietatis adde ipsi medietati; et iste est modus primus. -- Vel longitudinem cum 12'a dividas, scilicet in duo media, et iste est modus secundus. -- Et quod collectum fuerit, scilicet in altero modorum duorum, adde argumento lunae si fuerit longitudo solis, quia iam adhuc futura est vera coniunctio; vel ab eodem argumento minue, scilicet acceptum alterutro istorum modorum, si eadem longitudo fuerit longitudo lunae, cum iam praeteriit coniunctio vera. Et hoc erit argumentum lunae aequatum, per quod scilicet motum lunae aequalem in una hora debes invenire, scilicet intrando cum eo, ut dictum est, ad tabulam motus lunae aequalis in una hora (JA11), quae crescit per 6 gradus.
    Causa autem quare, ad habendum motum lunae aequalem in una hora, oportet supra argumentum lunae addere vel ab eodem subtrahere medietatem longitudinis et duodecimae, est haec, ut videtur mihi, quia luna fere tantum arcum epicycli in quolibet tempore dato deambulat, quantum centrum epicycli sui deferentis vel orbis signorum, et quia, completo toto motu longitudinis et 12'ae, poneretur luna secundum se nihil esse mota, nisi aliquid sibi adderetur. Item, si tota longitudo cum 12'a sibi adderetur, iam in tota longitudine poneretur in orbe signorum plus vel minus moveri quam movetur, quia minus movetur in auge quam ad 30 gradus distans ab auge -- loquor de motu suo in orbe signorum per motum centri epicycli -- et ideo, addendo argumento lunae medietatem longitudinis et 12'ae, poneremus lunam esse in puncto medio inter punctum epicycli, a quo movetur in initio motus centri epicycli per longitudinem cum 12'a, et punctum epicycli in quo erit in fine motus longitudinis et 12'ae. Et ideo contingit ut, de quanto attribuitur sibi plus vel minus de motu ante medietatem longitudinis et 12'ae percursam, de tanto minus vel plus e converso in medietate secunda longitudinis et 12'ae sequetur eam moveri: et ita, de quanto ad medium erratur a principio, de tanto erratum a medio ad finem corrigetur, ut in fine mota sit quantum debet.
    (Ap364) Et istud, licet subtile, patitur adhuc defectum, quia supponitur lunam secundum se aequaliter moveri superius in epicyclo et inferius, dato quod epicycli motus circumscribatur. Et ideo auctor, cum dicit Invento autem motu lunae (178), docet errorem illum corrigere, dicens quod, invento motu lunae in una hora, intra cum praedicta longitudine, tota et sua 12'a supple, tabulam <aequationis> diversi motus lunae in una hora (JA21); et secunda, quae sola ibi inveneris, minue de motu lunae in una hora prius, scilicet iam immediate, invento: minue, inquam, si fuerit praedictum argumentum ab uno gradu in tria signa vel a 9 signis in 12 signa. Quasi dicat quod oportet minui, si fuerit luna in superiori parte sui epicycli, post additionem scilicet vel diminutionem medietatis longitudinis et 12'ae ad argumentum primum vel ab argumento primo. Si vero idem argumentum fuerit a tribus signis in 9 signa, id est si luna fuerit in medietate inferiori sui epicycli, adde ea, scilicet secunda, eidem motui lunae in eadem hora; et erit motus lunae aequalis, quantum ad acceptum in prima tabula, et aequatus, quantum ad acceptum in tabula secunda, in una hora, scilicet illud quod post additionem vel diminutionem fuerit; per quem motum debes dividere, scilicet longitudinem cum sua duodecima, sicut prius dicebam.
    Et nota quod excessus motus lunae, existentis in longitudinibus mediis epicycli, supra motum eius, existentis circa 7 vel 6 vel 5 gradus vel circa distans a longitudinum mediarum alterutra, ponitur in parva tabula (JA21). Dato enim quod, luna quiescente in longitudine media, moveatur epicyclus: cum ad motum epicycli movetur luna, in fine horae a principio motus descripsit luna in orbe signorum arcum alicuius quantitatis. Deinde luna, posita esse in alio loco, puta in 7'o gradu superius distans a longitudine media, ad motum epicycli moveatur; tunc autem describit arcum minorem; et excessus ille positus est in tabula parva. Et quia, ad quantum arcus descriptus a luna in orbe signorum maior est, ipsa existente in longitudine media quam in superius distans ad gradus aliquot a longitudine media, ad tantum est arcus descriptus a luna in orbe signorum minor, luna dico existente in longitudine media quam ipsa existente distanter ad gradus totidem -- quia luna in inferiori parte epicycli est velox cursu, in superiori autem tarda propter accessum sui ad firmamentum, et etiam quia superius movetur contra motum epicycli, et quia luna fere tantum movetur in epicyclo quantum centrum epicycli in orbe signorum proportionaliter -- ideo cum distantia vel longitudine cum 12'a intramus tabulam illam parvam.
    Et supponit tabula longitudinem cum 12'a numquam posse excedere 7 gradus; et hoc est verum nisi in 35 minutis et 10 secundis, quod probes per maximas aequationes argumentorum solis et lunae; sed istud non nisi raro valde, et cum accidit, nullum errorem generabit, quia non continget etiam in uno secundo peccatum fieri, de quo nulla cura est facienda.
    (Ap365) Et hic advertas quod usque nunc invenisti verum locum orbis signorum, in quo sol et luna simul erunt, vel in quo sol et nadir lunae simul erunt. Et intellego coniunctionem veram: quando sol et luna sic sunt in aliquo loco caeli quod, si linea duceretur a centro terrae ad punctum illud caeli, transiret per centrum utriusque si moveretur a limbo ad limbum zodiaci. Verbi gratia, esto quod ambo sint in primo puncto tauri, licet distent secundum latitudinem, linea, si exeat a centro terrae ad primum punctum tauri et moveatur in capite tauri ab uno limbo zodiaci ad alium, dividet et solem et lunam super centra sua. -- Et "solem et lunam opponi secundum oppositionem veram" intellego similiter: si linea exeat a centro terrae in utramque partem ad puncta opposita in quibus haec sunt, mota a limbo ad limbum dividat utrumque in duo media. Sic credo istud esse imaginandum sine praeiudicio.
    Item et invenisti usque nunc tempus quo alterutrum istorum continget, scilicet vera coniunctio vel vera oppositio. -- Item etiam invenisti distantiam centri corporis lunaris a capite draconis in hora qua sol et luna, vel sol et nadir lunae, coniungentur, cum qua quantitatem eclipsis, si fiat eclipsis, invenies.
    (Ap366) Utrum autem necessario fiet eclipsis lunae, per argumentum latitudinis videre potes, si pro oppositione laborasti. Si enim fuerit plus 13 cum nullo signo, vel plus 13 gradibus cum 6 signis, vel minus 17 gradibus cum 5 signis, vel minus 17 gradibus cum 11 signis, non fiet eclipsis notabilis, et sic non est in talibus casibus ulterius laborandum; in aliis autem casibus necessario fiet. Et tunc tempus oppositionis verae est tempus eclipsis mediae, ita quod ad tempus aequatum pro oppositione vera erit luna in medio eclipsis suae. -- Per argumentum autem latitudinis usque nunc inventum pro coniunctione vera non poteris scire utrum fiet eclipsis, nisi fuerit vel in nodo vel prope, quia iam non erit: meridiana enim erit latitudo lunae, et eclipsabitur sol solum ad climata prima, non autem ad septentrionem.

(Ap367) Si vero aspectus lunae (179a-185): postquam auctor docuit investigare veram coniunctionem et oppositionem solis et lunae, auctor consequenter determinat de quodam quod specialiter pertinet ad omnem coniunctionem, sive fiat eclipsis sive non.
    (Ap368) Et vocatur "diversitas aspectus lunae ad solem", per quam invenimus locum et tempus coniunctionis visibilis. -- Per "locum coniunctionis visibilis" intellego punctum orbis signorum, in quod proicitur luna visibiliter in vera sui cum sole coniunctione; et arcus orbis signorum cadens inter locum verum lunae et apparentem vel visibilem vocatur "diversitas aspectus in longitudine". -- Tempus autem coniunctionis visibilis intellego quod fuerit ex aggregatione vel diminutione temporis, quo luna perambulat arcum diversitatis aspectus et eius duodecimam, ad tempus vel a tempore coniunctionis verae. -- "Diversitas" etiam alia est "aspectus in latitudine", qua luna visibiliter meridionalior fit quam est realiter; et iste arcus semper est interceptus inter duos circulos parallelos sibi et aequinoctiali, quorum unus transit per locum verum lunae et alter per locum eius visibilem; et contingit aliquando aequinoctialem medium esse horum duorum circulorum, et aliquando meridionaliorem utrisque, et aliquando septentrionaliorem utrisque.
    (Ap369) Principale igitur intentum auctoris in hoc capitulo (179a-185) est docere de inventione harum duarum diversitatum aspectus. Et facit duo: quoniam ex diversitate aspectus in longitudine invenitur tempus coniunctionis visibilis, ideo primo (179a) praemittit quaedam necessaria ad rectificandum tempus illud, et secundo (179b-185) de intento prosequitur, cum dicit Deinde cum eisdem horis.
    (Ap370) Dicit primo (179a) quod, si volueris invenire diversitatem aspectus lunae in longitudine et latitudine ad horam coniunctionis, quae est hora eclipsis solis -- id est ad horam coniunctionis visibilis, quae etiam est hora eclipsis si ad coniunctionem illam necessarium est eclipsim fieri -- locum lunae aequatum, id est locum certissimum coniunctionis -- verae, supple, prius inventum -- notato, id est notare debes; gradum quoque eadem hora ascendentem, scilicet hora coniunctionis verae, notato; et quota, id est quanta, sit longitudo coniunctionis a meridie per aequales horas et earum partes, id est minuta, notato. Quasi dicat auctor quod etiam videre debes ad quot horas aequales et ad quot minuta horae coniunctio vera fuit ante meridiem vel post.
    Haec igitur 3 praescire oportet, scilicet: verum locum coniunctionis; et gradum qui est cum horizonte, oriens in hora coniunctionis verae; et quot horis aequalibus et quot minutis illa coniunctio vera fuerit ante meridiem vel post. -- Verum locum coniunctionis habes per duo capitula iam immediate lecta.
    Gradum autem ascendentem ad horam coniunctionis accipies sic: quaere arcum diurnum cum gradu coniunctionis, addito ei motu octavae sphaerae. Deinde accipias medietatem illius arcus et divide per 15, et exibunt horae aequales; et si aliquid remanserit, multiplicatum per 60 divide iterum per 15, et exibunt m'a horae. -- Deinde has horas et m'a ad horas coniunctionis verae compara. Quod si horae et m'a coniunctionis verae defecerint ab horis et minutis istis, iam coniunctio vera necessario erit post meridiem, et ad tot horas post, quot sunt horae coniunctionis verae. Si vero horae coniunctionis verae plures fuerint, tunc arcum nocturnum illius diei divide per 15 ut prius, et horas et m'a quae exierint adde ad horas et m'a medietatis arcus diurni, quae et quas prius accepisti. Et videas, si aggregatum maius fuerit quam horae et m'a coniunctionis verae, quia sic pro certo coniunctio non erit supra horizontem; si vero aggregatum istud minus fuerit, iam coniunctio vera de die erit et ante meridiem. Et tunc aggregatum istud minuas de horis et minutis coniunctionis verae, et remanent horae et minuta quae fluxerunt ab ortu solis; cum quibus quaeras ascendentem, sicut docuit capitulum <-> particulae secundae, quod incipit Et si volueris invenire hoc idem per tabulas ascensionum (:Ap201). -- Et ascendens non quaeritur hic, nisi ut sciatur utrum coniunctio vera sit ante meridiem vel post, quod scimus invenire praecise per iam dicta.
    Ex iam habitis de facili habetur tertium, scilicet quot horis coniunctio vera fuerit ante meridiem: si enim subtraxeris horas et m'a, per quas et quae invenisti ascendens, ab horis et minutis quae sunt in medietate arcus diurni, remanebunt horae et m'a quae restant ad meridiem.
    (Ap371) Deinde cum eisdem horis (179b-185): prosequitur de intento. Et facit duo: primo enim (179b-182b) docet invenire diversitatem aspectus lunae in longitudine et latitudine, et secundo (183-85) docet ex diversitate in longitudine invenire locum et tempus coniunctionis visibilis. Secundum facit cum dicit Tunc si inter gradum lunae.
    (Ap372) Circa primum diligenter advertendum est quod tabulae diversitatis aspectus lunae (H*) supponunt horas coniunctionis verae esse perfectas, ac si non sint aliqua minuta cum horis. Item secundo supponunt lunam in coniunctione vera, vel coniunctionem ipsam, quod idem est, esse in principio illius signi in quo invenitur esse. Item supponunt tertio secundum canonem, lunam esse in longitudine media sui epicycli; de quo, utrum scilicet hoc tertium habeat veritatem, videbitur in fine vel prope finem capituli. Supponamus igitur vera esse dicta in canone, scilicet lunam esse in principio illius signi in quo in vera coniunctione invenitur (:179b); et similiter lunam in vera coniunctione <esse> in longitudine <media> epicycli (:182a); et cum hoc, coniunctionem veram esse in fine horae (:181), computando numerum et principium horarum a meridie et in ante et in post.
    (Ap373) Et ideo facit auctor (179b-182b) tria: primo enim (179b) docet invenire diversitatem in utroque aspectu, supponendo coniunctionem esse in principio signi in quo sit, et similiter horas a meridie esse perfectas; et secundo (180-82a) docet diversitatem eandem in utroque aspectu aequare pro parte signi quam luna in vera coniunctione deambulaverat, et pro minutis quae sunt ultra horas perfectas; et tertio (182b) docet verificare dictam diversitatem in utroque aspectu pro parte epicycli in qua luna fuerit in coniunctione vera. Et incipit secunda pars ibi Si vero plures gradus, et tertia ibi Si autem fuerit ultra vel infra.
    (Ap374) Dicit primo (179b): Deinde, cum scilicet sciveris ad quantum temporis coniunctio vera fuerit a meridie proximo vel ante vel post, intra tabulas diversitatis aspectus climatis tui vel villae tuae (H*) cum eisdem horis longitudinis coniunctionis a medio diei in horis, id est in lineis horarum, quae sunt ante medium diem, si fuerit eadem coniunctio ante medium diem, id est ante meridiem; si vero fuerit post meridiem, intra eas, scilicet lineas horarum, quae sunt postea, id est post meridiem. Et quod fuerit e directo earum de minutis longitudinis et latitudinis signi, id est sub signo, in quo fuerit, unumquodque per se sumptum, scilicet minuta longitudinis per se et minuta latitudinis per se, scribe extra, scilicet in pulvere; et haec erit diversitas aspectus in longitudine et latitudine, si fuerit luna in initio eiusdem signi, ad quod scilicet tu intrasti: verum est si cum horis non fuerint minuta.
    Et <ut> tu scias ubi intrabis, ante meridiem vel post, scias quod in tabulis illis semper in medio cuiuslibet capituli ponitur iste titulus qui vocatur "recessus", per quem significatur meridies, in quo sol incipit recedere a meridiano vel a zenith capitum, scilicet a puncto in quo maxime accessit sol ad zenith, quod erat in meridie. Unde, si coniunctio tua sit ante meridiem in aliquo signo in aliquo climate, tunc quaere tabulam illius climatis, et in illa quaere signum in quo est coniunctio, et sub illo quaere tot horas quot sunt ad meridiem vel a meridie: quaere, inquam, ante titulum "recessus", si sit ante meridiem, vel post si fuerit post meridiem; et e directo tot horarum invenies suam diversitatem in utroque aspectu.
    (Ap375) Si vero plures gradus (180-82a): postquam auctor, supponendo horas esse perfectas et coniunctionem esse in initio signi, docuit diversitatem aspectus invenire, et quia istud raro accidit, ideo docet consequenter aspectuum inventorum diversitatem verificare, aequando scilicet pro parte signi et pro minutis horae; et primo (180) primum et secundo (181-82a) secundum facit, cum dicit Si autem cum horis fuerint minuta.
    (Ap376) Dicit igitur (180) quod, si luna in coniunctione vera perambulaverat plures, id est quotcumque, gradus ipsius signi, scilicet in quo est coniunctio, considera quota proportione gradus eiusdem signi perambulati a luna se habent ad totum signum, id est ad 30 gradus. Post hoc, signum secundum, scilicet proximo sequens ipsum, cum eisdem horis a meridie vel ad meridiem secundo ingredere, et scribe, scilicet extra in pulvere, diversitatem aspectus in longitudine et latitudine, quam ibi e directo inveneris: scribe, inquam, eam sub prima, scilicet diversitate in utroque aspectu accepta. Deinde quaere, quae sit differentia inter longitudinem et latitudinem utriusque, scilicet introitus vel signi, quod facies minuendo semper minorem de maiori, ita quod minorem longitudinem de maiori et minorem latitudinem de maiori; cuius differentiae accipies partem proportionalem ad totam differentiam secundum proportionem graduum signi, quos gradus deambulaverat luna, ad totum signum. Vult dicere quod tu accipies de differentia longitudinum et etiam latitudinum tantam partem, scilicet de utraque, quanta pars de 30 gradibus sunt gradus illi quos luna iam perambulaverat.
    Et haec faciens adde illam in utroque aspectu susceptam, scilicet partem illam proportionalem, adde dico illam diversitati primae in longitudine et latitudine si, prima supple, minor fuerit secunda, id est quam secunda; vel, partem illam proportionalem supple, minue ex ea, scilicet diversitate prima in utroque aspectu, ita quod partem proportionalem differentiae longitudinum adde vel subtrahe longitudini vel diversitati aspectus in longitudine primo inventae, et partem proportionalem latitudinum adde vel subtrahe latitudini primo inventae. Et quod post augmentum vel diminutionem remanserit, erit diversitas aspectus lunae in longitudine et latitudine, supposito quod horae, cum quibus intratur, sint perfectae et praecisae sine minutis.
    Partem autem proportionalem differentiae et latitudinum et longitudinum invenies multiplicando eam in gradus, quos luna deambulaverat, et dividendo productum per 30; sive et per denominationem, videndo scilicet quota pars de 30 sunt gradus deambulati a luna a principio signi, quia, si sint pars tertia, tertia pars differentiae est pars illa proportionalis.
    (Ap377) Si autem cum horis fuerint minuta (181): docet verificare diversitatem aspectus iam acceptam, si cum horis sunt minuta. Dicit igitur breviter quod, si cum horis sint minuta, aequa ea ut fit in aequatione planetarum: id est, sicut dicebatur ibi faciendum esse, si cum argumento sint minuta. Istud autem sic fiet, quia intrabis primo ad signum, in quo fuerit coniunctio, cum una hora addita ad horas perfectas, pro minutis horae imperfectae, et e directo diversitatem in utroque aspectu suscipe. Deinde cum eisdem horis intra sequens signum, et e directo etiam de diversitate in utroque aspectu quod inveneris accipe. Deinde sicut prius partem proportionalem differentiae diversitatum utrarumque adde vel subtrahe diversitati primae in utroque aspectu, sicut prius fecisti; et habebis diversitatem aspectus utriusque, examinatam ad partem signi, cum horis coniunctionis perfectis et etiam cum una addita. Deinde subtrahas unam diversitatem in longitudine ab alia in longitudine, et unam diversitatem in latitudine ab alia in latitudine, et differentiam in utroque aspectu multiplica per partes horarum, vel per minuta horae imperfectae, quod idem est, et productum divide per 60; et exibit pars proportionalis differentiae in utroque aspectu. Quam addas diversitati primae in utroque aspectu, si prima minor fuerit, vel minue et cetera.
    (Ap378) Haec autem (182a) diversitas aspectus, et cetera, fit ea condicione ut luna sit in longitudine sua media, scilicet sui epicycli: concedatur hoc esse verum, quia de hoc videbis post (:Ap380).
    (Ap379) Si autem fuerit ultra vel infra (182b): docet verificare diversitatem aspectus utriusque pro loco lunae, in quocumque hora coniunctionis verae fuerit. Dicit igitur quod, si luna fuerit ultra vel infra, id est vel superius vel inferius in epicyclo et non in alterutra longitudinum mediarum, tunc cum argumento lunae, scilicet aequato per additionem longitudinis et 12'mae solis et lunae, tabulam aequationis eius, scilicet lunae, ingredere, quae tabula est proximo post aspectus, parva et oblonga, ut patet (JC11a); et accipies quae in directo eius inveneris minuta proportionalia. Et multiplica ea in minutis longitudinis et latitudinis divisim, et, supple, productum divide per 12; et quod inde provenerit minue unumquodque de suo genere, scilicet minuta longitudinis de longitudine et minuta latitudinis de latitudine: minue, inquam, si fuerit argumentum in medietate superiori epicycli, vel adde illud, si fuerit in medietate inferiori; et tunc habebis minuta latitudinis et longitudinis certissima ad diversitatem aspectus lunae in eadem hora, scilicet coniunctionis verae.
    Nota primo hic quod argumentum, cum quo hic intrandum est pro minutis proportionalibus, est argumentum aggregatum ex argumento primo invento ad horam coniunctionis mediae et ex tota longitudine cum 12'a, quia in vera coniunctione tantum erit, si media coniunctio praecedat veram; vel istud argumentum est illud quod remanserit post subtractionem totius longitudinis et 12'ae ab argumento invento cum tempore coniunctionis mediae, si coniunctio vera praecedit mediam. Argumentum enim lunae vel plus vel minus erit ad coniunctionem veram quam ad coniunctionem mediam, si vera a media differat, et maior vel minor de tanto arcu epicycli, quantus <arcus> longitudinis cum sua 12'a: quoniam, quantum arcum luna pertransit in orbe signorum motu centri epicycli, tantum arcum modico minus epicycli transit luna motu proprio in epicyclo. Et ideo pro inveniendo descensu lunae ab auge, qui descensus significatur per minuta proportionalia, intramus cum argumento lunae ad coniunctionem veram. -- Et quod istud quod dixi est argumentum lunae ad coniunctionem veram, probes per tabulas argumenti lunae, argumento lunae ad coniunctionem mediam invento addendo vel subtrahendo argumentum lunae inventum in tabulis argumenti medii lunae.
    (Ap380) Sed ego credo firmiter quod auctor hic loquitur contra rationem, vel ego eum non intellego. Si enim tabula supponat lunam esse in longitudine media sui epicycli, ergo ad tabulam aequationis <diversitatis> aspectus lunae (JC11a) non esset intrandum cum argumento lunae, cum illud computatur ab auge; sed sic esset faciendum, si tabulae diversitatis aspectus supponerent lunam esse in auge epicycli. -- Item, si diversitas aspectus inventa et aequata pro partibus horae et pro parte signi esset ad lunam existentem in longitudine media epicycli, <si> tunc luna esset in auge, multo deberet diversitas aspectus esse minor; sed secundum canonem eadem esset. Quod patet, quia dicit quod partem proportionalem, de qua dictum est, oportet minuere a diversitate in utroque aspectu, si luna fuerit superius in epicyclo; sed luna existente in auge, nulla erit pars proportionalis, quia non erit aliquod minutum. -- Item et manifeste patet quod pars illa proportionalis diversitatis in utroque aspectu maior erit, luna magis distante ab auge. Et sic sequetur quod, luna existente prope longitudinem mediam ad unum gradum superius fere, ad medietatem erit diversitas in utroque aspectu minor, et ipsa etiam distante ad unum gradum a longitudine media inferius, erit eadem diversitas plus quam in medietate maior quam quando est in longitudine media: talem autem permutationem et tam grandem ita subito accidere est inconveniens. -- Item et, luna existente in opposito augis, praecise duplo maior erit diversitas in utroque aspectu quam in longitudine media, sed in auge, sicut dictum est, est aequalis. -- Item ex dictis patet, si vera sunt quae dicit canon, quod maior est diversitas in utroque aspectu, luna existente in auge, quam prope longitudinem mediam in sursum. Quae omnia sunt absurda et contra rationem et contra sensum.
    Haec sunt quae me hic faciunt dubitare, et ideo, salvo iudicio melioris, dicendum est quod tabulae supponunt lunam esse in longitudine longiori, id est in auge, quia hoc posito nullum accidet inconveniens.
    Operandum autem est tunc isto modo, quia intrare oportet cum argumento lunae ut prius ad tabulam aequationis diversitatis aspectus lunae; et illud, quod ibi inventum fuerit de minutis proportionalibus, multiplicabis in minuta longitudinis et latitudinis divisim, et productum dividendum sicut prius per 12; et exibunt partes proportionales, quae semper addendae sunt diversitatibus aspectuum prius inventorum, scilicet quodlibet ad aliud sui generis. -- Et cum hoc dicto meo concordat titulus tabulae diversitatis aspectus ad 7'm clima (HC71), si advertas.
    Istum autem passum, quicumque fueris, diligenter ponderes, et ponderando examines utrum canoni vel mihi sit adhaerendum, quia si hic erretur, gravissime errabitur. Nec video maius periculum in aliqua operatione quae tangit eclipses quam hic: quia, si secundum viam canonis inveneris quod sol totus eclipsetur vel eclipsari deberet, operando secundum viam meam non fiet eclipsis in 5'o, 6'o vel 7'o climate. Et ideo videas utrum simplici dicto credendum sit magis quam rationibus.
    (Ap381) Tunc si inter gradum lunae (183-85): docet invenire locum et tempus coniunctionis visibilis, et primo (183) locum, et secundo (184-85) tempus, cum dicit Si autem coniunctionis visibilis horam.
    (Ap382) Dicit breviter (183) quod, si inter gradum lunae, id est coniunctionis, et gradum ascendentem fuerint gradus pauciores 90, id est si fuerit coniunctio vera ante meridiem, tunc diversitatem aspectus lunae in longitudine adde loco lunae aequato, id est loco coniunctionis verae; et si fuerint gradus plures 90 inter gradum ascendentem et locum coniunctionis verae, minue eam, scilicet diversitatem aspectus in longitudine, de eo, id est de loco coniunctionis verae. Et quod inde remanserit erit locus lunae visibilis, id est in quo videtur luna secundum aspectum nostrum, ad horam, id est in hora, civitatis cui, id est ad quam, numerasti, id est ad quam operaberis. -- Quasi dicat quod exibit post additionem vel subtractionem locus ille, in quo luna apparet esse in hora coniunctionis verae apud clima illud vel civitatem, ad quod vel ad quam fecisti. -- Quare autem ante meridiem oportet addere et post subtrahere, dicam statim post in fine huius capituli.
    (Ap383) Si autem coniunctionis visibilis horam (184): docet invenire tempus coniunctionis visibilis.
    Dico autem "coniunctionis visibilis" sine praeiudicio "tempus" illud, quo luna videtur esse in eodem minuto orbis signorum in quo videtur sol esse. -- Et dicis tu, eritne tunc eclipsis solis? Dico quod non est necessarium, immo istud accidere est necessarium circa quamlibet coniunctionem solis et lunae, scilicet in quolibet mense Arabico: quamquam enim videantur sub eodem vel in eodem minuto orbis signorum secundum longitudinem caeli, cum illud minutum habeat spatium 12 graduum secundum latitudinem caeli, sole existente in illo minuto circa medium, luna poterit in eodem esse circa finem, considerando secundum caeli latitudinem. Sed si esset sic uterque in eodem minuto secundum aspectum meum, quod ambo viderentur in eodem minuto ita quod nec secundum longitudinem neque secundum latitudinem caeli essent separati, iam necessario sol eclipsim pateretur. Et ideo auctor notabiliter post inventionem diversitatis aspectus in latitudine de ea tacet.
    (Ap384) Dicit igitur auctor (184) quod, si horam coniunctionis visibilis volueris invenire, diversitati aspectus lunae in longitudine suam duodecimam adde, et quod collectum tibi fuerit, per motum lunae aequalem in una hora divide; et horas et earum partes, id est minuta, minue de horis coniunctionis aequatae, id est verae: minue, inquam, si inter ascendens et locum lunae, id est locum coniunctionis, fuerit minus 90 gradibus, id est si coniunctio vera fuerit ante meridiem; vel adde si fuerit plus, id est si fuerit post meridiem. Et horae, quae post augmentum vel diminutionem remanserint, erunt horae coniunctionis visibilis ad civitatem Toleti: verum est, si operatus fuisti ad Toletum.
    (Ap385) Et addit auctor (185) quod, si volueris diversitatem aspectus lunae ad aliam quamlibet horam, quam, supple, quando est coniunctio sui vera cum sole, tunc similiter facies, sicut modo, supple, fecisti; sed tamen in hoc differunt quod, si inter ascendens et locum lunae verum fuerit minus gradibus 90, tunc addes diversitatem aspectus lunae in longitudine loco lunae, scilicet vero; si vero fuerit plus, minues. -- Quasi dicat quod, cum sciveris locum lunae verum in orbe signorum in quacumque hora, sive fuerit cum sole sive non, tunc quaere diversitatem aspectus eius eo modo qui dictus est, et diversitatem illam addas vero loco lunae, si sit ante meridiem, vel subtrahe si fuerit post.
    Ex hic ultimo dictis patet quod hoc capitulum non est nisi ad habendum locum et tempus coniunctionis visibilis, sive fiat eclipsis sive non, cum elargat hanc artem ad quamlibet horam et ad quamlibet coniunctionem. Quid autem aliquis possit invenire per hoc quod sciat locum lunae, in quo videtur secundum longitudinem et secundum latitudinem, nisi cum fuerit eclipsis, nihil ad praesens negotium; sed credo quod istud vicinum sit negotio astrologiae iudiciariae.
    (Ap386) Sed quia isto modo operandi utimur in eclipsi solis invenienda, ideo dictorum hic accipiantur causae: et primo quare, ad habendum locum lunae visibilem, ante meridiem oportet diversitatem aspectus in longitudine addere vero loco lunae et post meridiem diminuere.

(Fig.: A,127ra)

(Ap387) Ponatur igitur orbis signorum esse circulus, cuius est EA arcus et portio, et ponatur FL esse circulus deferens solis, et GM deferens lunae. Sit ergo sol in puncto F deferentis sui, et luna in G puncto deferentis sui; et constat quod ambo erunt in puncto D orbis signorum. Quod patet per lineam exeuntem a centro terrae per loca utriusque: terram enim pono esse circulum NCO, cuius centrum est B. Nec est cura quod isti circuli ponantur concentrici, quia non pono istud nisi ut animus capiat et inducatur in convictionem dictorum hic, cum prima facie animus non consentiat hiis quae hic dicuntur. -- Esto ergo quod principium arietis sit K circuli signorum; erit igitur locus verus coniunctionis arcus KD. Deinde ponatur quod tu habites in superficie terrae in puncto C. Constat igitur quod, licet luna corporaliter est in eodem vel sub eodem puncto orbis signorum, scilicet sub D, sub quo est sol, tamen non videbitur tibi eam ibi esse neque solem; immo luna proicitur et videtur in puncto E et sol in puncto H; est igitur locus visibilis lunae E et solis H. Et arcus DE vocatur "diversitas aspectus lunae in longitudine"; et arcus DH potest vocari "diversitas aspectus solis", de qua non fit hic mentio, sed solum de arcu DE.
    (Ap388) Cum igitur exemplum istud est ante meridiem, quia est inter ortum solis et meridiem, quae signatur per A -- ponitur enim meridianus esse linea AC -- patet ex isto quod, ad habendum locum lunae visibilem, scilicet arcum KDE, oportet addere arcum DE, qui est diversitas aspectus in longitudine, super locum verum coniunctionis vel lunae, qui est arcus KD.
    Si autem fuerit post meridiem, totum est e converso. Quia ponatur coniunctio esse in puncto P orbis signorum et luna existere in puncto M deferentis sui, sole in puncto L existente deferentis sui: erit igitur diversitas aspectus in longitudine arcus PQ; et ideo, cum verus locus ab ariete est arcus KP, locus autem visibilis KQ, ad habendum igitur locum visibilem oportet diversitatem aspectus, scilicet arcum PQ, de loco vero, scilicet de arcu KP, minuere, et remanet arcus KQ, qui est locus visibilis lunae ad horam coniunctionis verae.
    Ad habendum ergo locum in quo luna videtur, quare ante meridiem oportet diversitatem aspectus in longitudine addere supra locum verum et quare post meridiem oportet subtrahere, causa haec est quae nunc dicta est.
    (Ap389) Sed difficilius est videre, quare ante meridiem oportet tempus diversitatis aspectus et suae 12'ae subtrahere a tempore coniunctionis verae ad habendum tempus coniunctionis visibilis, et quare e converso oportet fieri post meridiem. Ideo imaginandum est hoc modo: quia esto quod in tempore vel hora coniunctionis verae, cum sol et luna fuerit in puncto D orbis signorum, sint elapsae a meridie diei praecedentis 20 horae, ita quod 4 horae restent. Cum ergo aliquando prope tempus coniunctionis verae, ante vel post, erant vel erunt coniuncti visibiliter sol et luna, ita quod luna erat vel erit inter te et solem, et hoc non est post eorum coniunctionem veram possibile, quia oporteret solem transire lunam, quod non est possibile, erat ergo coniunctio visibilis ante coniunctionem veram, scilicet cum luna erat prope punctum I sui deferentis. -- Et dico "prope" quia, si sol staret in puncto F, tunc luna existente in puncto I esset coniunctio visibilis, sicut patet per lineam CIH; et ideo, cum sol etiam in coniunctione visibili erat aliquantulum propior arieti, ideo non erat coniunctio visibilis, luna existente in puncto I, sed ipsa existente aliquantulum magis versus arietem; sed ponamus tamen coniunctionem visibilem fuisse, in puncto I luna existente. -- Prius igitur erat luna in puncto I quam in puncto G, cum vera erat coniunctio; minus ergo temporis lapsum erat a meridie diei praecedentis, cum luna erat in puncto I, quam cum erat in puncto G. Cum ergo vera erat coniunctio, cum erat in G, et visibilis cum erat in I, ideo, ad habendum tempus coniunctionis visibilis, id est tempus quo luna erat in I, per tempus coniunctionis verae, quo scilicet luna erat in G, necessarium erat a tempore coniunctionis tantum temporis demere, quantum fluxit interim cum luna movebatur ab I ad G; et illud erat tempus diversitatis aspectus et suae duodecimae.
    E converso autem est post meridiem. Esto enim quod 4 horae sint lapsae a meridie in vera coniunctione, scilicet quando sol et luna erant in puncto P orbis signorum. Sit enim luna in M et sol in L; erunt igitur ambo in P vere, quod patet per lineam BP; constat autem quod luna non est inter te et solem, immo proicitur in Q. Quando igitur erit in puncto R, erit inter te et solem, vel potius cum erit parum ultra R versus orientem. Constat igitur coniunctionem veram praecedere coniunctionem visibilem, quia prius erat luna in M quam veniet ultra R. Et ideo post meridiem, ad habendum tempus coniunctionis visibilis per tempus coniunctionis verae, oportet addere supra tempus coniunctionis verae tantum temporis, quantum fluit in motu lunae a coniunctione vera ad coniunctionem visibilem.
    Non igitur mireris, si ad habendum locum visibilem lunae ante meridiem oporteat diversitatem aspectus addere loco coniunctionis verae, et tempus diversitatis aspectus demere a tempore coniunctionis verae ad habendum tempus coniunctionis visibilis, vel etiam si post meridiem fiat e converso necessitas: causa huius habetur ex iam dictis.

(Ap390) Et si qua hora vel die solis eclipsis (186-208b): postquam auctor docuit veram coniunctionem et oppositionem solis et lunae invenire, scilicet et locum coniunctionis verae vel oppositionis, et tempus similiter quo hoc contingit, et argumentum latitudinis per quod quantitas eclipsis utriusque investigatur, consequenter quantitatem eclipsis utriusque docet investigare; et primo (186-99c) solis, et secundo (200-08b) lunae, ibi Si autem lunae defectionem. -- Adhuc primo (186-92) docet quantitatem eclipsis solis investigare, et secundo (193-99c) docet artem depingendi eclipsim solarem cum suis circumstantiis in figura, cum dicit Cum diametri solis placuerit quantitatem. -- Et quia quantitas durationis eclipsis non invenitur nisi invento tempore mediae eclipsis -- duratio enim eclipsis solis est duplum illius temporis quod fluit a principio eclipsis ad tempus eclipsis mediae -- et ideo auctor primo (186-88c) docet investigare tempus eclipsis mediae, et secundo (188d-192) de quantitate eclipsis solis determinat, cum dicit Addes autem minuta longitudinis. -- Adhuc circa primam partem facit duo, quoniam primo (186) praemittit quaedam quae observanda sunt in investigatione eclipsis solis, enumerando scilicet casus in quibus et in quibus non fit eclipsis; et secundo (187-88c) de intento prosequitur, cum dicit Scire autem te oportet.
    (Ap391) Sunt autem in genere illa quae observanda sunt in investigatione eclipsis solis, scilicet: quod coniunctio sit solis et lunae in eodem puncto caeli, et quod coniunctio illa sit in die, et quod coniunctio illa sit prope caput vel caudam Geusahar minus duodecim gradibus in septentrionem.
    Et ideo dicit auctor (186) quod si, qua hora vel die eclipsis solis futura sit, placuerit investigare, eius, scilicet solis, cum luna coniunctionem diurnam, id est coniunctionem veram in die contingentem, cum coniunctio illa fuerit prope caput Geusahar vel eius caudam, diligenter inquiras, ut demonstratum est, in praecedentibus scilicet in illo capitulo Si autem coniunctionis vel impletionis (:171); hoc autem est, scilicet inquirendum est coniunctionem esse prope caput, cum argumentum latitudinis fuerit ab uno gradu in 12 gradibus vel a 168, gradibus supple, in 180 gradus, quia tunc erit latitudo lunae septentrionalis: tunc enim luna semper erit inter nos et solem, et tunc possibilis est eclipsis apud climata septentrionalia. Si autem eadem latitudo fuerit meridiana, quantumcumque etiam modicum fuerit luna ultra eclipticam versus meridiem, non erit eclipsis in climate quinto nec in regionibus quarum latitudo fuerit maior 30 gradibus: nec in istis <**> possibile est fieri eclipsim solis. Et si latitudo lunae fuerit meridiana et fuerit argumentum latitudinis minus toto circulo, vel, supple, plus dimidio circulo, per 7 gradus vel infra, ita scilicet quod argumentum latitudinis fuerit plus quam 11 signa et 23 gradus vel 6 signa et minus 7 gradibus, patitur sol eclipsim quandoque in primis regionibus, quarum latitudinem dixi minorem, quam, supple, 30 gradus.

(Ap392) Scire autem te oportet (187-88c): prosequitur de intento, scilicet, docet invenire <tempus> eclipsis mediae. Et facit duo, quoniam primo (187) enumerat illa quae praesupponi debent et praesciri in investigatione eclipsis et quantitatis eius, et secundo (188a-c) ex ultimo praemissorum docet intentum investigare, cum dicit Intrabis enim cum eisdem.
    (Ap393) Tria autem sunt hic praescienda, scilicet: verus locus coniunctionis; et argumentum latitudinis bis aequatum; et tempus coniunctionis verae aequatum per diversitatem dierum, scilicet per quot horas coniunctio illa fuerit ante meridiem vel post, <**> longitudo de meridie diei praesentis.
    Et ideo dicit auctor (187) quod oportet te scire locum coniunctionis aequatum, et argumentum latitudinis aequatum per longitudinem et duodecimam eius, et, supple, per aequationem argumenti lunae primo, nec non et horam coniunctionis aequatam per diversitatem dierum cum noctibus suis, scilicet quot horae aequales sint inter horam coniunctionis et mediam diem, id est meridiem, scilicet diei praesentis, ante vel post; per quas, scilicet horas, scies, in futuro, diversitatem aspectus in longitudine. -- Si igitur sciveris quod coniunctio fuerit in die et iuxta caput vel <caudam> Geuzaar in septentrionem, tria iam enumerata oportet praescire: unde, si coniunctio fuerit post meridiem diei praesentis, tunc horae lapsus solis a meridie ad tempus coniunctionis verae sunt horae illae, cum quibus intrabis tabulas (H*); si vero coniunctio fuerit ante meridiem, tunc horas transactas a meridie diei praecedentis usque ad horam coniunctionis verae de 24 horis minue, et horae residuae sunt illae cum quibus intrabis tabulas.
    (Ap394) Intrabis enim cum eisdem (188a-c): exsequitur de intento.
    Circa quod advertendum est quod tempus mediae eclipsis est illud quod provenit ex additione temporis cuiusdam supra tempus coniunctionis verae, vel subtractione cuiusdam temporis a tempore coniunctionis verae: temporis dico cuiusdam, quod fluit in motu lunae per arcum diversitatis aspectus in longitudine cum sua 12'a. Et ideo auctor, intendens de tempore eclipsis mediae, docet invenire diversitatem aspectus in longitudine; et quia in eodem instanti contingit lunam proici versus meridiem, quo proicitur versus occidentem vel orientem, ideo ex consequenti docet invenire diversitatem aspectus in latitudine, quae est arcus cadens inter locum lunae verum et visibilem in meridiem, per quem arcum verificamus argumentum latitudinis, quo quantitatem obscurationis solis invenimus. -- Item hic notandum est quod eodem modo, quo in praecedenti capitulo quaerebatur diversitas aspectus in longitudine et latitudine, ita hic nihil mutando quaerenda est diversitas aspectus lunae in longitudine solum bis, et tertio et in longitudine et in latitudine consimili modo ut prius.
    (Ap395) Et ideo posset haec pars (188a-c) in 3 dividi, ita quod primo (188a-b) doceat invenire tempus diversitatis aspectus in longitudine, supponendo modum operandi ex praecedenti capitulo, et hoc bis; et secundo (188c) +idem cum diversitate+ aspectus in latitudine, Et cum ea tabulas diversitatis. -- Vult ergo primo quod bis intrandum sit tabulas ad accipiendum de diversitate aspectus in longitudine solum, per quam invenimus tempus eclipsis mediae; et ideo adhuc posset ista pars in duas (188a,188b) dividi propter duos introitus, quos innuit ibi (188a) Et intra cum horis longitudinis secundo.
    (Ap396) Et scias, sicut experieris operando, quod per tres istos introitus fere habebis idem quod haberes per unum: si enim secundum doctrinam capituli praecedentis intraremus cum horis longitudinis a meridie et acciperemus statim de diversitate et in latitudine et in longitudine, non multum peccaremus praetermittendo duos introitus primos; sed si coniunctio esset multum prope caput vel caudam, periculum esset aliquem int<roituum praeter>mittere. -- Causam autem, quare oportet ter intrare, ponam in fine operis (:?), domino concedente, quia temporis dati brevitas et materiae profunditas dilatoriam interpellant. -- Quare autem oportet intrare tabulas cum longitudine coniunctionis a meridie et quomodo, prius dicebatur.
    (Ap397) Dicit igitur auctor (188a) quod intrabis cum eisdem horis, scilicet coniunctionis a meridie, signum in quo fuerit luna, in tabulis aspectus ad clima tuum (H*), supple, et accipies de minutis longitudinis, "tantum" supple, quae ibi inveneris, aequando ea sicut supra docuimus, scilicet pro partibus horarum et pro parte signi et pro loco lunae in epicyclo: quia, sicut supra dicebatur, tabulae supponunt lunam vel coniunctionem veram esse in principio signi, et in fine horae computando a meridie praesentis diei sive in ante sive in post; et cum hoc supponunt lunam in auge sui epicycli, ut ostendebatur. Aeques igitur minuta longitudinis, sicut prius +ut()m+ aequasti.
    Et, si placet, isto modo aequandi utaris, quia intrabis tabulas climatis tui, vel civitatis tuae si habes, quaerendo tot horas quot habes perfectas sub signo, in quo fuerit coniunctio, ante "recessum" si sit ante meridiem, vel post <si post> fuerit coniunctio vera; et minuta longitudinis accipe e directo. Deinde cum una hora addita intra, et iterum minuta longitudinis accipe, et differentiam utrorumque multiplica per minuta quae sunt cum horis perfectis, et productum divide per 60 minuta unius horae integrae; et quod provenerit adde minutis primo acceptis in longitudine, si pauciora sint secundo acceptis, vel ab eis minue si sint plura. Deinde cum eisdem horis perfectis intra signum sequens signum illud, in quo est coniunctio, et accipe similiter ad duos introitus de minutis longitudinis tantum, et aequa ut prius; et habebis minuta aequata ad partes horarum bis, scilicet ad principium signi, in quo est coniunctio, et ad principium signi sequentis. -- Deinde differentiam istorum duorum multiplica in gradus quos deambulavit luna ad veram coniunctionem, et productum divide per 30 gradus, et quod provenit adde minutis longitudinis aequatis primo ad signum in quo est coniunctio: adde, inquam, si pauciora sunt aliis, vel ab eisdem minue si sint plura; et habebis minuta longitudinis aequata pro partibus horarum et pro parte signi. -- Quo facto, cum argumento lunae aequato per longitudinem cum sua 12'a intra tabulam aequationis diversitatis aspectus lunae ad solem (JC11a), et minuta proportionalia ibi inventa multiplica in diversitatem aspectus iam aequatam, et productum divide per 12 m'a, et quod exierit adde semper super eandem diversitatem in quam multiplicasti; et habebis minuta diversitatis aspectus in longitudine aequata ad omnia tria, scilicet pro partibus horarum et pro parte signi et pro loco lunae in epicyclo. Hoc modo semper opereris.
    (Ap398) Et tunc auctor, hanc operationem vel similem supponens, subdit: Quibus, scilicet minutis iam aequatis in longitudine, addes duodecimam partem eorum propter motum solis, et quod collectum fuerit divide per motum lunae aequalem in una hora, quem per illud capitulum Cum autem motum solis et lunae invenisti; et horas quae inde provenerint et partes horarum minue de horis coniunctionis verae prius inventis, si inter gradum ascendentem et locum lunae verum, qui est locus coniunctionis verae, fuerint minus 90 gradibus, id est si fuerit coniunctio vera ante meridiem; si vero plus fuerit, adde easdem. Et scito, id est scire debes, longitudinem eius a meridie, quod provenerit de horis post additionem vel subtractionem.
    Quare autem tempus diversitatis aspectus in longitudine cum sua duodecima addi debet ad tempus coniunctionis verae post meridiem et ante minui, dicebatur supra. Ex quo etiam manifestum est quod diminutio vel additio fieri debet horis quae fluxerunt a meridie diei sive praecedentis sive iam praesentis, ita quod, si sit ante meridiem coniunctio vera, cum tunc oportet minui, semper debet diminutio fieri ab horis quae sunt a meridie diei praecedentis, et non ab horis cum quibus intrasti tabulas; sed post meridiem si fiat coniunctio, tunc additio debet fieri ad easdem horas cum quibus intrasti. Et cum residuo iterum secundo oportet intrare tabulas; sed si fuerit ante meridiem, tunc, facta subtractione ab horis quae sunt post meridiem diei praecedentis, residuum minue de 24 horis; et residuum est longitudo a meridie diei praesentis, de qua auctor loquitur, cum qua intrabis iterum tabulas secundo.
    (Ap399) Et ideo dicit auctor (188b): Et intra cum horis longitudinis secundo, scilicet ad eandem tabulam et sub eodem signo, ad quam et sub quo prius, et facies, supple, sicut prius fecisti. Et per hoc breviter innuit operationem consimilem priori operationi, quia aequandum est pro horis vel pro partibus horarum et pro parte signi et pro loco lunae in epicyclo: aequandum, inquam, solummodo minuta longitudinis; et addere oportet minutis longitudinis suam duodecimam, et productum dividere per motum lunae ut prius. Et quod inde provenerit, scilicet in horis et minutis, adde vel minue eisdem horis quibus prius addidisti vel minuisti, sicut praemonstratum est, scilicet in priori operatione. Addere autem vel subtrahere oportet, non horis a meridie diei praecedentis residuis post prius factam subtractionem vel additionem, sed eisdem integraliter existentibus a meridie diei praecedentis ad coniunctionem veram; et hoc breviter est praecavendum. -- Et quod collectum fuerit, scilicet inventum de horis post additionem vel subtractionem factam, considera longitudinem eius a meridie diei praesentis: et residuum est illa longitudo a meridie, si coniunctio sit post meridiem; et si sit ante meridiem, tunc residuum illud minue de 24 horis, ut prius dictum est, et residuum est longitudo illa.
    (Ap400) Et cum ea (188c): docet invenire tempus diversitatis aspectus in longitudine, et cum hoc docet accipere diversitatem aspectus in latitudine, iam tertio intrando tabulas; qua utetur in sequentibus. Vult igitur quod intrandum sit iam tertio cum horis longitudinis a meridie diei praesentis iam ultimo inventis, aequando et minuta longitudinis et minuta latitudinis simul.
    Dicit igitur: Et cum ea, scilicet longitudine a meridie, tabulas diversitatis aspectus lunae intra tertio, id est tertia vice. Intrabis autem ad eandem tabulam et sub eodem signo, ad quam et sub quo iam prius intrasti. -- Et quod in directo eius, scilicet longitudinis a meridie, quae est numerus horarum cum quibus intras, inveneris de minutis longitudinis et latitudinis lunae, ita quod unumquodque per se, <sume>, aequando scilicet utrumque sicut prius fecisti de minutis longitudinis solum, scilicet pro partibus horarum et pro parte signi et pro loco lunae in epicyclo. -- Deinde diversitati aspectus lunae in longitudine eius duodecimam partem adde, et, supple, nihil diversitati aspectus lunae in latitudine; et quod provenerit inde, scilicet ex additione duodecimae longitudinis ad longitudinem, divide per motum lunae aequalem in una hora; et horae, tot supple, quot per divisionem exierunt, sunt addendae vel diminuendae primis horis, augmentatis vel diminutis per primum et secundum introitum, sicut supra dictum est. Per hoc autem quod dicit "primis horis", intellegit semper horas quae sunt a meridie diei praecedentis, si sit coniunctio ante meridiem, ad veram coniunctionem; vel a meridie diei praesentis, si coniunctio vera sit post meridiem.
    Et sic habebis horas mediae eclipsis, aequatas per diversitatem aspectus lunae, scilicet in longitudine, quae sunt horae coniunctionis visibilis. -- Et hic "coniunctio visibilis" convertitur cum "eclipsi", quia in hora iam inventa erit sol et luna in eodem loco visibiliter secundum longitudinem et secundum latitudinem. <--> quod centra eorum non sunt simul, nisi argumentum latitudinis ad istam horam fuerit vel nihil praecise vel 6 signa praecise; in hac tamen hora necesse est aliquam partem lunae esse in eodem loco caeli visibiliter cum aliqua parte solis, et pars illa lunae occultabit mihi partem illam solis, et secundum tantam partem dicitur sol eclipsari. Et in hac hora tantum est eclipsatum de sole, quod amplius non potest, et ideo vocatur tempus istud "eclipsis mediae": iam enim completa est medietas durationis eclipsis. Quantum enim posuit luna in deambulando ab eo tempore quo primo periferiae utriusque, scilicet solis et lunae, visibiliter coniungebantur, usque dum luna maxime intravit solem visibiliter, tantum etiam ponet usque dum iterum visibiliter incipiunt separari.

(Ap401) Addes autem minuta longitudinis (188d-192): postquam auctor docuit invenire tempus eclipsis mediae, docet consequenter de quantitate eclipsis solis investiganda. Et quia quantitas eclipsis et secundum durationem et secundum obscurationem invenitur per argumentum latitudinis, ideo primo (188d-189) docet aequare argumentum latitudinis, et secundo (190-92) per illud investigat intentum, cum dicit Intrabis etiam cum eodem argumento. -- Adhuc primo facit duo, secundum quod dupliciter aequat argumentum latitudinis: secundo ibi (189) Postea vero multiplica minuta.
    (Ap402) Dicit igitur (188d): Addes autem minuta longitudinis cum sua duodecima argumento latitudinis aequato, scilicet prius bis, scilicet per aequationem argumenti lunae et per longitudinem cum sua 12'a inter solem et lunam in hora coniunctionis mediae: adde, inquam, si addidisti horas, vel minue si minuisti.
    Quasi dicat quod, si coniunctio vera fuerit post meridiem diei praesentis, tunc addes minuta longitudinis cum sua 12'a argumento latitudinis quod prius bis aequasti, vel eadem ab eodem minue, si coniunctio vera fuerit ante meridiem. -- Causa huius est quia, sicut dictum fuit supra (:Ap386) iuxta figuram ultimo positam, quando coniunctio vera est ante meridiem, semper coniunctio visibilis praecedit veram, et post meridiem e converso; et ideo, cum argumentum latitudinis supra bis aequatum fuit ad horam coniunctionis verae, semper minus erit ad coniunctionem visibilem ante meridiem, et de tanto minus erit, quantum luna deambulavit a tempore coniunctionis visibilis ad coniunctionem veram; et <--> sicut hora coniunctionis visibilis propior erat meridiei diei praecedentis quam hora coniunctionis verae, sic luna propior erat capiti draconis in hora coniunctionis visibilis quam in hora coniunctionis verae; et e converso patet esse post meridiem. Et ideo dicit auctor quod addes vel minues, si horas addidisti vel minuisti.
    (Ap403) Postea vero multiplica minuta (189): postquam iam docuit aequare argumentum latitudinis per diversitatem aspectus in longitudine, docet consequenter aequare ipsum per diversitatem aspectus lunae in latitudine.
    (Ap404) Unde hic advertendum est quod in hora coniunctionis visibilis, quae iam inventa est, apparet luna esse meridionalior quam est in veritate; et quia non est nobis notum, de quanto locus eius visibilis accedit ad eclipticam vel utrum transit eclipticam, sed scimus bene, de quanto facta est meridionalior, quia de toto arcu diversitatis aspectus eius in latitudine: ideo, cum distantia cuiuslibet partis deferentis lunae ab ecliptica nobis est nota, pro loco apparitionis lunae accipimus punctum deferentis quod etiam ad tantum distat ab ecliptica. Et licet distantia loci apparitionis ab ecliptica nobis est ignota, ut sic bene tamen contingit aliud per eam inveniri: et hoc isto modo quia, si a loco in quo videtur centrum lunae ducatur una linea parallela eclipticae versus nodum propinquiorem, usque dum attingat deferentem lunae, punctum istud contactus parallelae cum deferente lunae est punctum, quod tantum distat ab ecliptica quantum locus apparitionis centri lunaris; et quia notum est mihi, quantum istud punctum distat ab ecliptica, ideo loco arcus, qui est inter punctum apparitionis lunae et eclipticam, accipimus arcum latitudinis qui est inter eclipticam et punctum deferentis prius dictum.
    Et diceres tu: qualiter sciam ego ubi imaginabor punctum istud esse? Dico quod istud est terminus cuiusdam arcus deferentis, incepti a puncto deferentis in quo est vere luna, qui sic se habet ad arcum diversitatis aspectus in latitudine, sicut undecim cum dimidio se habet ad unum; et ideo, cum argumentum latitudinis lunae tertio aequatum erat arcus deferentis extensus a capite draconis ad punctum deferentis, in quo luna existens visibiliter erat inter nos et solem, pro illo accipimus arcum protensum a capite draconis ad punctum contactus parallelae praedictae cum deferente lunae. Et istud vocamus "argumentum latitudinis lunae 4'o aequatum": ita quod, quantum de sole eclipsaretur si vere esset in puncto contactus deferentis cum praedicta parallela, tantum etiam praecise eclipsabitur de eo, cum vere sit in loco deferentis alio. Et hoc non est nisi quia locus apparitionis lunae et locus contactus deferentis cum praedicta parallela aequaliter ad eclipticam accedunt.
    Et quod arcus cadens inter punctum, quo vere est luna in coniunctione visibili, et punctum contactus deferentis cum praedicta parallela se habet sicut undecim cum dimidio ad arcum diversitatis aspectus in latitudine, hoc comparatum est ex antiquis per maxima instrumenta. Exemplum autem huius ponam in figura.
    (Ap405) Dicit igitur auctor (189): Postea, id est postquam aequasti argumentum latitudinis tertio per diversitatem aspectus in longitudine cum sua duodecima, multiplica minuta diversitatis aspectus lunae in latitudine in XI cum dimidio, quae, scilicet diversitas aspectus, semper est meridiana in omnibus regionibus quarum latitudo fuerit maior 24 gradibus, quia regiones istae sunt extra tropicum cancri. Et quod inde provenerit minue de argumento latitudinis aequato per aequationem argumenti lunae, primo supple, et per longitudinem inter solem et lunam et eius duodecimam partem, secundo supple, et, tertio supple, per diversitatem aspectus in longitudine: minue, inquam, si fuerit locus coniunctionis apud caput Geusahar, vel adde illud eidem argumento si fuerit coniunctio apud caudam; et sic perficies argumentum latitudinis ad mediam eclipsim.
    (Ap406) Et notandum hic quare illud, quod provenit ex ductu diversitatis aspectus in latitudine in undecim cum dimidio, tolli debet aliquando et aliquando addi argumento latitudinis ter aequato. Videre potes in figura: sit enim circulus ABC deferens lunae et EFG ecliptica.
    Punctum igitur A et punctum G sunt nodi; G autem est caput et A cauda, quia motus lunae est a G in A ab occidente in orientem, supponendo latitudinem hic exemplatam esse septentrionalem. -- Esto igitur quod sol et luna visibiliter sint in puncto F: latitudo ergo lunae realiter est linea vel arcus CF, cum tamen visibiliter luna non est in puncto deferentis sui C, sed proicitur versus F, ubi sol est, per arcum vel lineam CO. Si igitur per prius dicta ab O ducatur linea parallela eclipticae, continget deferentem lunae in puncto D, quod necessario tantum distat ab ecliptica quantum O. Et quia comparatum est arcum parvum CO se sic habere ad arcum CD sicut unum se habet ad XI cum dimidio, ideo, multiplicando CO, quod est diversitas aspectus secundum latitudinem, in XI cum dimidio, exibit CD. Et iterum, quia scimus quantum de sole eclipsaretur si esset in D, et aequaliter ab ecliptica distant O et D, ideo, licet argumentum latitudinis lunae realiter est arcus CDG, pro eo accipimus DG, subtrahendo CD ab arcu CDG; et ideo iuxta caput fit argumentum latitudinis 4'o aequatum minus.

(Fig.: A,131rb)

Oppositum autem contingit si coniunctio fuerit prope caudam, puta in puncto E: tunc enim est argumentum latitudinis realiter arcus GCB; sed quia luna visibiliter proicitur versus solem, id est versus E, in punctum I, si ab eo, scilicet I, ducatur linea parallela eclipticae, continget deferentem lunae in puncto M, ubi ponemus lunam esse, cum tamen realiter est in B et visibiliter in I. Et quia constat arcum GB, qui est argumentum latitudinis tertio aequatum, minorem esse arcu GBM de toto arcu BM, qui provenit ex ductu BI in XI cum dimidio, ideo, ad habendum GBM, quod est argumentum latitudinis 4'o aequatum, oportet arcum BM addere supra GB, cum est prope caudam; et cum argumento isto 4'o aequato, quod est vel GD vel GBM, inveniemus quantum de sole eclipsabitur.
    Et ex dictis patet quod, si luna proiciatur ultra eclipticam, parallela praedicta non continget deferentem ad septentrionem, et tunc argumentum latitudinis fieret meridionale; de quo nihil ad nos, sed tamen bene sciemus quantum de sole meridionalibus eclipsetur. Et haec sufficiant ad propositum ostendendum.
    (Ap407) Intrabis etiam cum eodem argumento (190a-92): postquam auctor docuit aequare argumentum latitudinis lunae ad mediam eclipsim, consequenter per idem argumentum docet quantitatem eclipsis investigare.
    Circa quam partem advertendum est quod duplex est quantitas eclipsis, scilicet quantitas durationis eius et quantitas obscurationis. Item duobus modis accipitur quantitas obscurationis eius, scilicet secundum partes diametri eius et secundum partes totius superficiei solis illustrantis terram. -- Et ideo auctor duo facit, quoniam primo (190a-d) docet invenire quantitatem durationis eclipsis solis, et simul cum hoc quantitatem obscurationis eius quantum ad eius diametrum; et secundo (191-92) docet invenire quantitatem obscurationis eius secundum totam eius superficiem quam +vertit superficie terrae+, cum dicit Si autem quantum obscurabitur.
    (Ap408) Circa primam partem (190a-d) notandum est quod duratio eclipsis accipitur ex quantitate temporis quod fluit ab initio eclipsis usque ad eius finem; et medietas huius totius temporis invenitur semper in tabulis (JD*), et vocatur tempus istud "tempus minutorum casus". Minuta autem casus sunt arcus orbis signorum, cadens inter centrum corporis solaris et punctum, sub quo est centrum lunae in initio eclipsis; quod ostendetur postea in figura. Et quia, secundum quod plus vel minus de sole eclipsabitur, plus vel minus invenitur in hoc arcu qui vocatur "minuta casus", auctor igitur, de quantitate eclipsis et secundum durationem et secundum obscurationem intendens, docet hic simul per argumentum latitudinis 4'o aequatum invenire haec duo, scilicet minuta casus, quae deserviunt durationi eclipsis, et puncta eclipsis, quae deserviunt quantitati obscurationis solis.
    (Ap409) Et facit duo, quoniam primo (190a-c) haec docet invenire supponendo lunam esse in auge vel in opposito augis sui epicycli, et secundo (190d) docet aequare haec eadem, ubicumque in epicyclo luna existente. Secundum facit ibi Si vero non fuerit luna. -- Circa primum duo facit, quoniam primo (190a) docet haec duo invenire, et secundo (190b-c) docet per minuta casus invenire et tempora et loca lunae ad finem et ad principium eclipsis, cum dicit ibi Minutis vero casus.
    (Ap410) Per "punctum" autem "eclipsis" intellego partem diametri solis duodecimam.
    Dicit igitur auctor (190a): Intrabis cum eodem argumento, scilicet 4'o aequato, tabulam eclipsis solaris (JD11) ad longitudinem longiorem, si luna fuerit in longitudine longiori, id est in auge: tabula prima enim supponit lunam in auge esse. Vel, intrabis supple, ad longitudinem propiorem, id est ad tabulam secundam, quae supponit lunam esse in opposito augis epicycli; intrabis autem ibi, si luna fuerit in longitudine sua propiori. Et accipies quod in directo eius, scilicet argumenti latitudinis, fuerit de punctis eclipsis et minutis casus; et quot inveneris ibi puncta, tot obscurabuntur de diametro solis. -- Sed oportebit te aequare pro minutis argumenti latitudinis sicut consuevisti: et <quia> tabula crescit per 30 minuta, si igitur in argumento fuerint duo gradus et 40 m'a, intrabis primo cum duobus gradibus et 30 minutis et secundo cum tribus gradibus, et de differentia utriusque introitus accipies partem proportionalem secundum proportionem 10 minutorum ad 30.
    (Ap411) Minutis vero casus (190b-c): docet per minuta casus invenire tempora et loca lunae ad initium et finem eclipsis, et primo (190b) tempora, et secundo (190c) loca, ibi Minue etiam minuta casus.
    (Ap412) Dicit igitur (190b): Minutis vero casus addes duodecimam partem eorum, et quod collectum fuerit divide per motum lunae aequalem unius horae, id est in una hora, per quem scilicet consuevisti alia dividere. Et tunc si minueris horas vel partes horarum, quae exierint, de horis mediae eclipsis, remanebunt horae initii eclipsis, et istud ostendetur in figura. Si vero addideris, scilicet tempus minutorum casus et suae duodecimae ad tempus mediae eclipsis, erunt, id est exibunt, horae in fine eclipsis.
    (Ap413) Minue etiam minuta casus (190c): docet invenire argumentum latitudinis ad initium et finem eclipsis, et per consequens locum lunae, [vel e converso ad finem et initium eclipsis]. Dicit igitur breviter: Minue etiam minuta casus cum sua duodecima de loco lunae, invento supple, ad medium eclipsis; et iste fuit locus lunae visibilis. Et minue etiam eadem minuta cum sua 12'a de argumento latitudinis, et remanebit locus lunae ad initium eclipsis et argumentum latitudinis, similiter, supple, ad initium eclipsis. -- Adde quoque minuta casus cum sua 12'a loco lunae ad medium eclipsis et argumento latitudinis ad medium eclipsis, et invenies locum lunae et argumentum latitudinis ad finem eclipsis. -- Et addit: Sic ergo habebis locum lunae et locum argumenti, id est argumentum latitudinis, ad 3 tempora, scilicet ad initium eclipsis et ad eius medium ad<que> finem.
Nota igitur quod in eclipsi sunt tria tempora distinguenda, scilicet tempus quo luna incipit visibiliter intrare solem, et quo primo est ab eo separata visibiliter, et quo iam maxime in eum intraverat.

(Fig.: A,132va)

(Ap414) Ad evidentiam igitur dictorum sit ABC circulus corpus solis, et circulus BED corpus lunae, in eadem via cum via solis, quia centra eorum F et G in eadem sunt linea; qui se contingunt in puncto B. Et quia luna est velocior sole, intrabit solem tandem et obscurabit eum totum, vel totum praeter limbum quando luna est supra in epicyclo et sol inferius in suo deferente. Circulus etiam CED sit luna plus distans ab ecliptica, quae tangit solem in puncto C; cum autem H, id est centrum lunae denotatae per circulum inferiorem, venerit ad lineam FM, maxime luna intraverat in solem, sed non occultabit de diametro solis nisi NO.
    Quibus praemissis, dico quod minuta casus sunt arcus orbis signorum PS vel PQ; cum enim circulus lunae, qui est BED, tangat circulum solis, est initium eclipsis, et arcus zodiaci cadens inter centrum lunae et solis, scilicet arcus PS, vocatur "minuta casus"; cum etiam circulus lunae inferior tangat solem, est initium eclipsis, et tunc arcus zodiaci PQ vocatur "minuta casus". -- Et quia constat quod interim, cum luna motu suo vadit profundando se in solem, sol aliquantulum praecedit -- ita quod, cum linea directa ab oculo nostro ad centrum solis transeat per centrum lunae, sol non invenitur ubi erat in principio eclipsis, immo motus est ad orientem de quantitate partis duodecimae minutorum casus -- et ideo, cum nos sciverimus locum lunae in medio eclipsis, subtrahendo minuta casus cum sua duodecima remanet <locus lunae ad> tempus initii eclipsis, quo scilicet luna visibiliter contingit solem primo. -- Et iterum quia, quantum vel prope transit luna a principio eclipsis ad medium, tantum etiam transit a medio ad finem, et ideo, sicut subtrahendo minuta casus cum sua 12'a a loco lunae ad medium eclipsis remanet locus eius ad initium eclipsis, ita addendo minuta casus cum sua 12'a loco lunae ad medium eclipsis resultabit locus lunae ad finem eclipsis. -- Et consimiliter est de argumento latitudinis, quia, augmentato vel diminuto loco lunae ab ariete, augmentatur et diminuitur locus eius a capite; et si aliud imaginaris, deciperis.
    Haec dicta sint de minutis casus et de loco lunae et argumento latitudinis ad 3 tempora eclipsis; de tempore autem facile est imaginari ad initium et finem eclipsis, istis visis.
    (Ap415) Si vero non fuerit luna (190d): docet invenire puncta eclipsis et minuta casus, posito quod luna sit in neutra longitudinum. Et est sententia plana, quia dicit quod, si non fuerit in longitudine sua longiori luna vel propiori, id est si neque fuerit in auge nec in opposito augis sui epicycli, intra cum argumento latitudinis, scilicet 4'o aequato, utramque tabulam, et quod in directo eius inveneris de punctis eclipsis atque minutis casus in tabulis utriusque, scilicet longitudinis, extra in pulvere separatim scribe. Sed oportet te aequare ad utramque tabulam pro minutis argumenti, si fuerint plura vel pauciora quam 30. Deinde, cum aequaveris scilicet pro minutis in utraque tabula, et punctorum eclipsis et minutorum casus, quaere differentiam inter puncta unius tabulae et alterius, et differentiam similiter inter minuta casus primae tabulae et secundae; et unamquamque differentiam punctorum scilicet et minutorum, scilicet casus, per se tene, relinquendo utrumque in pulvere. -- Deinde vero cum argumento lunae, cum quo invenisti vel aequasti minuta aspectus ad longitudinem lunae praesentem in epicyclo, tabulam proportionis ingredere, quae crescit per duos gradus (JC13), et sume e directo eius, scilicet argumenti lunae, minuta proportionalia quae inveneris. Quo igitur facto accipe partem proportionalem differentiae punctorum ad ipsam, scilicet differentiam totam, secundum proportionem minutorum proportionalium ad 60: quasi dicat quod debes accipere tantam partem de differentia punctorum, quanta pars sunt minuta proportionalia iam inventa de 60, scilicet multiplicando totam differentiam in minuta proportionalia quae invenisti, et productum per 60 dividendo; et exibit pars proportionalis. Quam partem proportionalem addes punctis ex tabula prima susceptis, quae prima tabula supposuit lunam esse in auge epicycli. -- Similiter facies de differentia minutorum casus: quia, supple, multiplicabis eam in minuta proportionalia inventa, et productum divide per 60, et partem proportionalem adde semper minutis casus ad primam tabulam acceptis. -- Et sic invenies puncta eclipsis certa et minuta casus: certa, inquam, id est aequata pro loco lunae in epicyclo; operare igitur per ea ut expositum est, ibi ante (190b), Minutis vero casus addes etc.
    Et conveniens est ut haec pars ultima capituli legatur ante partem illam iam dictam, Minutis vero casus addes etc.
    (Ap416) Si autem quantum obscurabitur (191): quia auctor iam docuit invenire quantitatem obscurationis solis secundum eius diametrum, consequenter docet hoc idem quantum ad eius superficiem. Id est: postquam auctor docuit invenire, quantum de diametro solis eclipsabitur, docet consequenter hic, quantum de tota superficie eius obscurabitur vel eclipsabitur.
    Ubi notandum est quod non est idem dicere sex puncta, id est medietatem, eclipsari de diametro solis, et dicere medietatem totius superficiei solis eclipsari: et hoc est propter hoc quod eclipsis figura completur circulo. Immo, dato quod luna in millecuplo excederet solem, adhuc eclipsando 6 puncta, id est medietatem, diametri solis non eclipsaret medietatem totius solis, nisi limbus lunae intrans solem esset linea recta: tunc cadens supra medietatem diametri obumbraret medietatem totius solis. Unde adhuc, cum contingit 6 puncta de diametro solis eclipsari, non eclipsabitur medietas totius solis; sed toti diametro bene correspondet tota superficies, et de hoc videbitur postea.
    Dicit auctor igitur (191) quod, si scire volueris quantum obscurabitur de superficie corporis solaris, ingredere tabulam quantitatis obscurationis solis et lunae (JC31a) cum punctis diametri, quot scilicet puncta invenisti de diametro solis obscuranda, et suscipe e directo eorum quod inveneris de quantitate eclipsis solis; et hoc quod ibi inveneris erit illud quod obscurabitur de sole, sine ulla dubitatione.
    Sed tu poteris hic merito dubitare, quomodo auctor sic assertive et confidenter loquatur, cum dicit "sine ulla dubitatione": videtur autem multum dubii esse in arte sua. Quia, dato quod aliquot puncta eclipsentur de diametro solis, luna existente in inferiori parte sui epicycli et sole existente in medietate superiori in suo deferente; item, dato quod etiam totidem puncta de diametro solis eclipsentur, eo existente in medietate inferiori sui deferentis et luna existente in superiori parte sui epicycli; tunc non aequaliter cum totidem punctis diametri solis tantundem eclipsatur de tota superficie corporis solaris ad nos versa, immo in primo casu multo plus quam in secundo, quia in primo casu luna respectu solis maior apparet quam in secundo. Sed de isto forte dicetur in capitulo illo Si volueris invenire.
    (Ap417) Et addit auctor unum notabile in fine (192), dicens breviter: Insuper notandum est quod, si fuerit argumentum latitudinis plus uno gradu, immo si fuerit nihil in signis et aliquid quantumcumque modicum de uno gradu, vel minus 180, de quantocumque etiam minus fuerit, eclipsis erit a parte septentrionis; si vero fuerit plus 180 gradibus vel minus 360, erit meridionalis procul dubio, quia in primis duobus casibus erit luna inter aspectum nostrum et eclipticam, in aliis autem duobus erit ecliptica inter nos et lunam; et loquor pro habitantibus in septentrione. Sic de isto.

(Ap418) Cum quantitatem diametri solis (193-99c): supra auctor dedit artem investigandi eclipsis solis; consequenter autem hic dat artem depingendi eclipsim solarem cum suis circumstantiis in figura. Et facit duo, quoniam primo (193-98) docet inventionem quorundam necessariorum ad propositum ostendendum, et secundo (199a-c) de proposito exsequitur, cum dicit ibi Si autem solaris eclipsis figuram.
    Primo sciendum est quod quasi consimilis est modus depingendi eclipsis <solis> et lunae. Et quia ad eclipsim solis depingendam necessarium est praescire quantitatem diametri solis et lunae, cum qua diametro apparent in orbe signorum et in eclipsi solis, et similiter ad eclipsim lunae depingendam necessarium est praescire quantitatem diametri lunae et quantitatem diametri umbrae in loco transitus lunae in hora eclipsis suae, ideo auctor 3 facit in parte prima: primo enim (193) docet invenire quantitatem diametri solis in qualibet hora, et secundo (194) quantitatem diametri lunae in omni hora, et tertio (195-98) quantitatem diametri umbrae terrae in loco transitus lunae in hora eclipsis lunae. Secundum facit ibi Si autem quantitatem diametri; et tertia ibi Si volueris invenire.
    (Ap419) Dicit primo (193) quod, cum tibi placuerit investigare quantitatem diametri solis, sub qua apparet scilicet in qualibet hora in orbe signorum, quaere motum eius aequalem in una hora, sicut supra docuimus in illo capitulo Cum autem motum solis et lunae (:176); eumque totum, scilicet motum solis in una hora, reduc in secunda, scilicet ad idem genus, et multiplica illud quod provenerit, id est motum totum in secundis: multiplica, inquam, ipsum in duo et quintam unius, id est in duos gradus et quintam unius gradus. Et tu accipies decimam partem minutorum quae collecta fuerint, scilicet ex ductu motus solis in una hora in duo et quintam unius: quae, scilicet decima pars aggregati, erit diameter solis, id est arcus orbis signorum, quem secundum aspectum nostrum sol occupat in hora ad quam accepisti motum eius aequalem.
    Et ponit auctor exemplum, dicens: Verbi gratia, motus solis aequalis in una hora est duo m'a et 33 2'a -- verum est, supple, in opposito augis -- quae si reduxeris in secunda, erunt 153 2'a, quod probando verum esse comperies. Ea igitur multiplica in duo et quintam unius, sicut ego exposui, aliter enim errabis, et provenient 337 m'a; quorum accipe decimam partem, quae sunt vel est 33 m'a et 42 2'a; et haec erit quantitas diametri solis.
    (Ap420) Nota hic primo quod aliquid multiplicabis per duo et quintam unius isto modo, quia primo multiplicabis illa duo integra in 5 et eis addas unum, et tunc per aggregatum multiplica quod intendis. Et istud applicabis hoc modo ad propositum. Per illa "duo et quintam unius" in littera intellegit auctor duos gradus et partem quintam unius gradus: resolve igitur duos gradus in minuta, quae sunt 120, et eis addas 12 m'a, quae sunt quinta pars unius gradus, et exibunt 132 m'a; ergo per hoc multiplicabis 153 2'a, quae sunt motus solis in una hora, et exibunt secunda iterum 20196. Et non surgit fractio, quia multiplicans erat non eiusdem generis, immo erat multiplicatus fractiones sexagenariae simpliciter, multiplicans vero integra et quinta integri. -- Et tu diceres: fractiones sexagenariae sunt in utroque. Dico quod verum est, sed non multiplicatur unum per alterum in quantum utrumque est in sexagenariis, sed in quantum unum sit, et alterum in quantum quintae integrorum; et ideo non surgit denominator fractionum. -- Reduc igitur haec secunda ad m'a, et erunt 336, et 36 s'a quae valent in computo auctoris unum, ita quod erunt 337 m'a; quorum decima pars est diameter solis, scilicet 33 m'a et 42 s'a. Quod patet dividendo ea per 10, quia exibunt 33 m'a; deinde 7 remanentibus reductis ad 420 2'a, dividendo invenientur 42 2'a.
    (Ap421) Quare autem oportet hoc modo operari, sicut dicit canon, ad habendum solis diametrum, causam huius comperi esse, quia diameter solis est decima pars motus sui in 5 diebus et 12 horis, loquendo de motu eius vero et aequato: et ideo motum eius aequalem in una hora multiplicamus in 2 gra cum 12 minutis, et exibit arcus quem sol deambulat in quinque diebus et 12 horis; et eius decimam partem dicimus esse solis diametrum. Unde, quia sol minus movetur in quinque diebus et 12 horis, cum est circa augem, et hoc in firmamento respectu nostri, ideo etiam minorem motum unius horae invenimus in principio tabulae motus sui in una hora (JA11), et ideo etiam minor videtur sua diameter ibi esse. Et oppositum est, cum est circa oppositum augis.
    (Ap422) Si autem quantitatem diametri (194): docet consequenter invenire quantitatem diametri corporis lunaris. Dicit igitur: Si autem quantitatem diametri corporis lunaris investigare volueris, motum eius aequalem in una hora suscipe per praehabita, et eum extende, multiplicando scilicet, in sex, diminuta inde octava parte unius; et tu suscipe sextam partem minutorum provenientium inde; et haec erit quantitas diametri lunae. -- Et subdit auctor exemplum ita obscurum sicut est exemplatum, dicens: Exempli causa, id est causa exempli, motus lunae aequalis unius horae, id est in una hora, ipsa existente in opposito augis sui epicycli et centro epicycli existente in auge deferentis, est 36 m'a et 4 2'a; quem multiplicabis in 6, octava parte unius diminuta inde, et provenient fere 212; et accipies horum sextam partem, et invenies 35 m'a et 20 secunda.
    Sed vere istud indiget alio exemplo, vel eodem sub alia forma. Et ideo invenio duobus modis hic operandum: quia multiplicare aliquid in 6, diminuta inde octava parte, vel intellegi potest sic quod sex resolvantur in octava, scilicet in 48, et unum inde tollatur; cum 47 multiplicetur intentum, et dividatur productum per sex etiam redacta ad octava, scilicet per 48, et exibit propositum. -- Attamen cum hoc modo operandi non concordat littera, ideo aliter: sit ergo motus lunae aequalis in una hora in secundis 2164, sicut et est quando luna est in opposito augis epicycli et centrum epicycli est in auge deferentis. Si ergo velis eum multiplicare in 6, diminuta inde octava parte unius, deme de secundis motus lunae in una hora prius positis octavam partem, scilicet 271 secunda; deinde eadem secunda motus lunae, scilicet 2164, multiplica per 6, et exibunt 12984, quae sunt etiam secunda, quia multiplicata fuerunt per integra; a quibus octavam prius acceptam minuas, et remanent 12713 secunda, quae valent 212 m'a, de quibus facit auctor mentionem. Et bene dicit quod "fere" sunt tot, quia deficiunt 7 2'a. Quibus divisis per 6 <exibunt> 35 m'a, et remanent 2 m'a, quibus reductis ad secunda et divisis per sex iterum exibunt 20 2'a.
    (Ap423) Causa huius operationis est quia arcus, quem luna in una hora deambulat in orbe signorum secundum aspectum nostrum, semper se sic habet ad arcum, quem ipsa in eadem hora occupat de orbe signorum, sicut se habent 6 minus octava parte ad 6 integra, vel sicut se habent 47 ad 48, quod idem est. Vel potius: sicut se habent 6 ad 6 octava parte minus, sic se habet motus lunae in una hora ad diametrum lunae in eadem hora. Et ideo, multiplicando secundum per tertium et dividendo productum per primum, exibit 4'm; 48 autem est primum vel 6 integra; et 47, vel 6 minus octava parte, secundum; et motus lunae in una hora aequalis, tertium; et diametrum lunae 4'm.
    (Ap424) Si volueris invenire (195-98): docet invenire quantitatem diametri umbrae, loco transitus lunae, in eclipsi lunae.
    Et est hic advertendum quod, sicut supra dictum est (:Ap324), contingit lunam eclipsari cum fuerit in nodorum alterutro vel prope, et sol in altero vel prope: tunc enim cadendo in umbram terrae amittit lumen, vel totaliter vel in parte. Umbra autem ista, quia causatur ex obiectu terrae ad solem vel ad lumen solis, secundum appropinquationem solis ad terram vel recessum eius a terra minoratur et maioratur in omnibus partibus suis, et secundum longitudinem et secundum grossitiem. Aliquando igitur pars illa umbrae maior est et aliquando minor, ubi luna in eclipsi sui transibit; et compertum est a sapientibus grossitiem umbrae, sive eius grossitiei diametrum, ubi luna transit umbram, sic se habere ad diametrum lunae, sicut se habent 2 et tres quintae unius ad unum, vel sicut se habent 13 ad 5, quod idem est.
    Contra diceres tu: luna in eclipsi sui aliquando est in inferiori parte epicycli sui et aliquando in superiori; cum autem est in inferiori parte, pertransit umbram magis prope terram, ubi maior est; et cum est in superiori <parte> epicycli, pertransit umbram remotius a terra, ubi necessario minor erit grossities umbrae. Non igitur, diceres tu, erit eadem comparatio diametri ad diametrum grossitiei umbrae, cum corpus lunae semper est uniforme? -- Ita tu dubitas, et non sine ratione, dico, concedendo omnia vera esse quae assumpsisti; respondeo autem ad quaestionem, qua quaeritur quomodo potest esse aequalis et eadem comparatio et proportio grossitiei umbrae ad lunam. Dico autem quod, cum luna in se est uniformis quantitatis, cum nos ponimus eam esse augmentatam et minoratam secundum maiorem et minorem <quantitatem> motus sui in una hora secundum aspectum nostrum, luna ergo transiens magis prope terram, puta cum est in inferiori parte epicycli, si ibi invenit umbram maiorem quam cum est in superiori parte epicycli, secundum eandem proportionem maior videtur luna esse inferius quam superius, ita quod eadem est proportio lunae visibiliter ad umbram superius in epicyclo et inferius. -- Cuius ratio est quia, sicut ad descensum lunae in epicyclo et eius ascensum maioratur <et minoratur> eius diameter visibiliter et sub augmento et decremento uniformi et aequali, sic secundum descensum solis ad terram et secundum ascensum eius a terra minoratur et maioratur umbra; et ideo secundum uniformem solis descensum minoratur umbrae grossities uniformiter. Sicut ergo umbra uniformiter a terra usque ad eius conum minoratur, sic luna visibiliter in ascensu suo a terra minoratur; ideo et cetera.
    Sed vere sic dicendo non facio mihi satis, quia -- dato quod luna non habeat aliquem respectum ad terram in ascensu et descensu suo a terra et ad terram -- quia adhuc, eiusdem absolute in se quantitatis, semper nunc maiorem et nunc minorem umbrae transit grossitiem. Et ideo credo firmiter, lunae ad diametrum umbrae loco transitus lunae proportionem non posse eandem semper esse, cum haec, scilicet luna, semper est quantitatis eiusdem simpliciter, et umbrae quantitas hic et ibi necessario est difformis. Sed credo quod locus transitus lunae in umbra est quem transit luna, cum est in longitudine sua media in epicyclo, et credo quod auctor non loquatur de proportione eadem praecise. Unde, quia semidiameter epicycli modicum, immo quasi nihil est respectu longitudinis umbrae, credo quod non auctor erraverit <nisi> de modico, quo umbra minor est loco transitus augis epicycli quam loco transitus mediae longitudinis epicycli, vel etiam de modico, quo umbra minor est loco transitus longitudinis mediae in epicyclo quam est loco transitus oppositi augis epicycli. Ita credo sine praeiudicio.
    (Ap425) Docet igitur auctor hic (195-98) invenire diametrum, id est grossitiem, umbrae, quanta est in illo loco sui ubi luna transit eam. Et facit duo: primo enim (195-96) docet eam invenire, sole existente in auge deferentis sui, et secundo (197-98) docet eam aequare pro loco solis ubicumque existente, ibi Si autem volueris hoc investigare. -- Adhuc primo (195) facit quod dictum est, et secundo (196) ponit exemplum, cum dicit Cuius rei causa.
    (Ap426) Dicit primo (195) quod, si volueris invenire quantitatem diametri umbrae in loco transitus lunae, diametrum lunae, quam docuit iam paulo immo immediate ante invenire, multiplica in duo et tres quintas unius, et quod inde provenerit erit quantitas diametri umbrae, scilicet in loco transitus lunae.
    (Ap427) Multiplicare autem aliquid in duo et tres quintas unius est ipsum multiplicare in 13 et quintam partem accipere totius aggregati; vel etiam, multiplicare in duo et 3 quintas est dividere multiplicandum per 5 et proveniens in numero quotiens triplare, et triplatum addere ad productum proveniens ex ductu eiusdem multiplicandi in duo; et utroque modo praecise habebis idem, et videbis postea.
    (Ap428) Cuius rei causa (196): exemplificat, dicens: Cuius rei causa tale exemplum subdatur: diameter lunae fuit ex 35 minutis et 20 secundis -- verum est, sicut prius iam inveniebatur, ipsa existente in opposito augis sui epicycli et centro epicycli existente in auge deferentis -- et cum ea multiplicaveris in duobus et tribus quintis unius, provenient exinde 91 m'a, id est tot secunda quae valent 91 m'a, et 52 2'a, ea scilicet condicione ut sol sit in longitudine sua longiori; et haec, supple, est umbrae diameter maxima loco transitus lunae.
    Esto igitur quod diameter lunae sit 35 m'a et 20 secunda: resolvas ea in 2120 2'a, quae si multiplicaveris in 2 et 3 quintas unius, id est in 13 quintas, provenient 27560 secunda, quorum pars 5'a est 5512 2'a; quae valent 91 m'a et 52 secunda, quae sunt in diametro umbrae loco transitus lunae, sole existente in auge deferentis sui. Unde idem est dicere scilicet "multiplicare aliquid per duo et tres quintas unius" et "multiplicare ipsum in 13 quintas". Nec surgit propter hoc denominator fractionum, quia istae quintae non vocantur "quintae" quia sunt genus fractionis quintae ab integris, sed quia fractiones primae integri vel integrorum; nec adhuc sunt minuta, propter hoc quia non sunt fractiones sexagenariae. -- Vel istud sic facias: divide 2120 2'a, quae sunt in diametro lunae, per 5, et exibunt 424 secunda; quae triples, et habebis 1272, quae sunt 3 5'ae diametri lunae. Deinde diametrum lunae eandem, scilicet 2120 secunda, per duo extendas, et exeuntibus 4240 secundis addas tres quintas prius extractas, et erunt 5512 secunda; quae adhuc sicut prius valent 91 m'a et 52 2'a, quae sunt diameter umbrae. -- Adhuc istud tertio modo operari poteris, ut scias quid intelligere debeas per duo cum 3 quintis unius: haec enim duo sunt duo gradus, et 3 quintae sunt 36 m'a unius gradus. Unde, sicut se habet unus gradus ad duos gradus et 36 m'a, sic se habet diameter lunae ad diametrum umbrae loco transitus lunae. Et ideo in inventione umbrae unus gradus erit primum, et duo gradus cum 36 minutis erit secundum, et diametrum lunae tertium: duc ergo secundum in tertium et productum divide per primum, et exibit quartum, scilicet diameter umbrae. Reduc ergo duos gradus et 36 m'a ad idem genus, et erunt 156 m'a, quae si duxeris in secunda diametri lunae, scilicet 2120, exibunt 2'a tot scilicet 330720; quae si diviseris per 60 m'a unius gradus, exibunt 5512 2'a, quae valent iterum sicut prius 91 m'a et 52 2'a; et haec sunt in diametro umbrae loco transitus lunae, sole existente in auge deferentis sui.
    (Ap429) Et ideo subdit (197) quod, si volueris hoc investigare, scilicet umbram ad locum solis praesentem in suo deferente, motum solis aequalem in una hora considera; qui si fuerit 2 m'a et 33 2'a, erit sol in sua longitudine longiori, id est in auge. Si vero maior fuerit, scilicet motus solis in una hora, tunc illud quod superest, id est, de quo motus solis ad horam praesentem maior est quam in auge, multiplica in decem, et secunda quae inde provenerint reduc in m'a, si tot sint, supple; quae si minueris de diametro umbrae prius invento, remanebit diameter umbrae aequatus per longitudinem solis.
    (Ap430) Et subdit exemplum (198), cum dicit Cuius rei est hoc exemplar, dicens quod motus solis fuit 2 m'a et 33 2'a -- verum est, sole existente in opposito augis excentrici sui -- augebant igitur, scilicet haec minuta et haec secunda, super motum eius in longitudine longiori decem secunda, quod patet de se; quae cum multiplicaveris in 10, provenient 100 secunda, quae si reduxeris in m'a, exibunt unum minutum et 40 2'a; quae minues de diametro umbrae, scilicet primo accepto, et remanebunt 90 m'a et 12 2'a, quae sunt minuta diametri umbrae in loco transitus lunae: verum est, sole existente in opposito augis. -- Ex his patet quod non est magna vis de loco lunae in epicyclo, cum ita modicum crescit umbra in toto ascensu solis ad augem excentrici sui.
    Et addit auctor quod hoc sufficiat ad diametrum umbrae inveniendum in loco transitus lunae. Et dicit signanter "hoc sufficiat", quasi dicat quod non oportet aequare pro loco lunae in epicyclo, quia satis praecise hoc modo invenitur, sicut iam dicebatur.
    (Ap431) Hic primo tangantur quaedam supposita in capitulo illo Si autem quantum obscuratur (191). Dicebatur enim ibi quod, si aliquot puncta de diametro solis eclipsentur, sole existente in auge excentrici sui et luna existente in opposito augis epicycli, et si, sole existente in opposito augis excentrici sui et luna existente in auge epicycli, totidem puncta praecise eclipsentur de diametro solis, quod in primo casu plus eclipsabitur de superficie corporis solaris. -- Credo quod dictum auctoris simpliciter verum sit, comparando lunam ibidem semper existentem ad solem ubicumque positum: quanta enim est pars eclipsata de superficie solis in auge cum 6 punctis diametri, tanta est pars superficiei solis eclipsata cum 6 punctis diametri de superficie sua apparente, ubicumque sol fuerit, luna ibidem semper existente.

(Fig.: A,134va)

Quod ostenditur sensui etiam per +locum a minori+. Esto enim quod circulus ABC sit sol in auge, cuius diameter est 31 m'a et 5 2'a, et circulus ADC luna in opposito augis epicycli. Item sit circulus EFG sol in opposito augis, cuius diameter est 33 m'a et 42 2'a; et sit circulus EHG luna in opposito augis similiter sui epicycli, cuius diameter est 35 m'a et 20 secunda. Est igitur in utroque casu medietas diametri solis eclipsata scilicet BD et HF. Constat autem quod, quanta pars est ABCD de superficie circuli ABC, tanta est pars EFGH de superficie circuli EFG, quod ex principiis geometriae hic suppono. -- Qualiter autem verificari poterit doctrina illius, luna existente in diversis locis epicycli, non occurrit: ad sensum enim manifestum est, luna existente nunc in auge et nunc in opposito augis epicycli, sole existente in aliquo eodem loco, nunc plus nunc minus de superficie solis cum totidem punctis eclipsari; sed errare in isto non est enorme, cum quantitatem eclipsis pronuntiamus secundum diametrum.
    (Ap432) Ex dictis manifestum est quod sol eclipsari potest totus, et hoc cum luna in opposito augis epicycli vel prope, sole ubicumque existente. Luna autem existente in auge et sole in opposito augis excentrici sui vel prope, impossibile est, etiam si coniunctio fuerit in ipso nodo directe: quia, cum centrum lunae secundum aspectum nostrum fuerit cum centro solis directe, cum luna iam minor apparet quam sol, remanebit limbus solis lucidus sicut crinale, et tota pars interior est denigrata ad quantitatem apparitionis corporis lunaris. -- Item, si fuerit eclipsis solis universalis, non umquam erunt tenebrae universales nisi ad maximum ad tantum temporis, in quanto luna intrat solem ad 44 m'a unius puncti diametri solis: et ideo in eclipsi solis non invenitur mora in tabulis. Et istud ego dico, quia in tabula eclipsis solis ad longitudinem lunae propiorem (JD11.3), cum argumentum latitudinis nihil fuerit, inveniuntur 12 puncta et 44 m'a: non quod sol plus habeat in diametro nisi 12 duodecimas vel 12 puncta, sed quia ultra instans temporis, quo luna iam totum solem occupavit, fluet ad medium eclipsis tantum de tempore, in quanto luna prius intravit solem ad 44 m'a unius puncti diametri.
    (Ap433) Ex dictis patet etiam quod eclipsis lunae universalis potest fieri et saepe et cum magna mora: quia, esto quod luna sit iam intrans umbram in nodo, cum iam occupaverat umbra totam lunam, adhuc luna secundum limbum suum non attingebat centrum umbrae; et ideo ante tempus mediae eclipsis completum oportet limbum lunae transire centrum umbrae, usque dum centrum lunae fuerit cum centro umbrae. Et ideo inveniuntur aliquando, scilicet cum luna fuerit in nodo, 21 puncta et 31 m'a de diametro lunae eclipsata: non quod diameter lunae habeat nisi 12 duodecimas, sed quia ab illo instanti, quo luna iam tota est obscurata primo, usque dum centrum lunae fuerit cum centro umbrae, id est ad medium eclipsis, tantum fluet de tempore, in quanto 9 puncta et 31 minuta prius obscurabantur de diametro lunae. Et ideo in tabulis eclipsis lunaris (JD21), statim cum puncta excedunt 12, interpretatur mora vel dimidium morae.
    (Ap434) Item ad ostendendum quomodo, sole existente in auge, umbra maior est loco transitus lunae et longior, sit circulus AB sol in longitudine longiori, et circulus CD sol in longitudine propiori, et circulus EF terra. Umbra igitur terrae, sole existente in auge vel in longitudine longiori, est pyramis EGF; et umbra, sole existente in longitudine propiori, est pyramis EMF. Locus autem transitus lunae sit HIKL; diameter igitur umbrae EGF est linea HL; diametrum autem umbrae EMF est linea IK. Manifesta igitur ad sensum sunt haec duo: quod scilicet, sole existente in auge, umbra terrae, scilicet EGF, longior est quam umbra terrae EMF, sole existente in opposito augis; et similiter quod diameter umbrae EGF, quae diameter est HL, maior est quam diameter IK umbrae minoris, scilicet EMF. -- Et pro certo scias tantam semper esse umbram in longitudine, quantum est inter centrum terrae et centrum solis; ex quo impossibile esse sequitur umbram terminari semper in ecliptica in nadir solis, sicut quidam dicunt.

(Fig.: A,134v inf.)

(Ap435) Si autem solaris eclipsis etc. (199a-c): docet depingere eclipsim solis in figura per diametrum solis et lunae et per latitudinem lunae ad initium, medium atque finem eclipsis. Latitudines autem istas invenies per argumentum latitudinis ad principium, medium atque finem eclipsis, sicut ante eclipses docebatur, intrando cum argumento latitudinis lunae ad tabulas aequationum vel ad quandam tabulam parvam inter tabulas eclipsium, quae intitulatur "tabula latitudinis lunae in principio, in medio et in fine eclipsis" (JC51); et invenies latitudinem lunae aequando pro minutis argumenti.
    (Ap436) Et patet capitulum istud (199a-c) de se, nisi quod quaedam ibi exponantur. (199a:) Sit maior numero medietatis etc.: id est, sit maior quam numerus minutorum quae sunt in medietate diametrorum et solis et lunae coniunctorum simul. Secundum quantitatem dimidii diametri etc.: id est, tot partes, quot sunt minuta in medietate utrorumque diametrorum, accipias, et super punctum ultimum illius lineae, continentis minuta medietatis diametri utriusque, ponas pedem circini, et alterum pedem extendas ad punctum ultimum illius lineae et facies circulum; et constat quod semidiametrum continet semidiametrum solis et semidiametrum lunae. Quem quadrabis duabus diametris: per modum crucis ad angulos rectos. Ad centrum communis circuli: qui scilicet continet semidiametrum solis et lunae in suo semidiametro. Qui continebitur sub eodem communi: ita quod fiat supra idem centrum et concentricus circulo communi primo facto. Secundum quantitatem latitudinis lunae visibilis: id est tot minuta a centro circulorum, quot sunt in latitudine lunae ad medium eclipsis. In diametro: scilicet quae non fuit divisa in partes semidiametrorum solis et lunae. Versus occidentem: quia in initio eclipsis occidentalior est luna quam sol. Contingentem utrimque circulum solarem: quia a centro communis circuli ad eius circumferentiam est semidiameter solis et lunae. -- Exemplum de figuratione ista ponam, cum posuero exemplum de tota eclipsi (:Ap450).

(Ap437) Esto igitur quod tu velis scire, in quo mense alicuius anni primo possibile sit eclipsim solis fieri, puta utrum in anno Arabum 689 imperfecto. Cum eis igitur intra tabulam mediae coniunctionis solis et lunae in annis Arabum collectis (GA11), et accipies e directo 661 annorum de argumento latitudinis 9 signa 18 gradus 41 m'a 45 2'a. -- Deinde cum residuis annorum omnium, scilicet cum 28, intra tabulam mediae coniunctionis et oppositionis solis et lunae in annis expansis (GA13), et invenies e directo eorum de argumento latitudinis 7 signa 15 gradus 18 m'a 24 secunda, quo argumento ad primum aggregato exibunt 5 signa 4 gradus 0 in minutis et 9 2'a. Et istud vocatur "radix argumenti latitudinis", et ad tantum distat centrum epicycli lunae a capite draconis circa finem mensis primi anni ultimi omnium annorum Arabum primo propositorum. Si igitur hic essent 5 signa et plus quam 18 gradus cum hoc, vel etiam 0 in signis et minus 12 gradibus, iam circa finem huius mensis primi huius ultimi anni esset eclipsis solis possibilis. -- Cum igitur neuter istorum casuum hic sit, intra tabulam mensium (GA14); et quia e directo mensis primi nihil est scriptum -- quia, sicut dictum est, hoc quod nunc inventum est argumentum latitudinis est ad mensem primum -- accipe igitur id quod est e directo mensis secundi, et argumento huic aggrega; et videbis quod excrescit neuter casuum duorum eclipsis solis. Et ideo aggreges sibi, scilicet semper primo argumento, argumenta mensium singulorum singillatim; et invenies quod ex additione argumenti mensis octavi super argumentum primum resultant 0 in signis et 8 gradus 41 m'a et 45 2'a; et constat in tali casu possibilem esse eclipsim solis, scilicet circa finem mensis octavi anni ultimi omnium annorum Arabum propositorum primo, quia ad tantum distat centrum epicycli a capite draconis. -- Et si dicas quod ibi erant 12 signa, dico quod in hoc loco 12 et nihil aequipollent, quia non quaerimus revolutiones nec revolutionum numerum, sed distantiam a capite.
    (Ap438) Inventa igitur possibilitate eclipsis solis, intra tabulas easdem quas prius cum eodem tempore, scilicet primo ad 661 annos et secundo ad 28 annos et tertio ad 8 menses. Et invenies de tempore coniunctionis mediae 29 dies 5 horas et 34 m'a horae; et medium motum utriusque, scilicet 5 signa 11 gra 51 m'a et 20 secunda; item et argumentum lunae scilicet 10 signa 29 gradus 35 m'a et 59 2'a; prius autem inventum est argumentum latitudinis. -- Quid etiam per haec 4 deberemus intellegere, supra (:Ap330) sufficienter exposui, ut tunc mihi videbatur.
    (Ap439) Quibus inventis, invenias verum locum solis et lunae sic: minuas augem solis (DA01) de medio motu hic invento, et cum argumento residuo, quod est 2 signa 29 gradus 1 minutum et 20 2'a, intra tabulas aequationis solis (EA01); et invenies aequando de aequatione argumenti unum gradum et 58 m'a et 1 secundum, cum 23 tertiis, de quibus nihil curabis. Quam aequationem subtrahas de medio motu solis et lunae, et remanet verus locus solis ad idem tempus, scilicet 5 signa et 9 gradus 53 m'a et 19 secunda. -- Debes autem aequationem illam argumenti a medio motu demere, quia argumentum fuit minus 6 signis.
    Quo facto, invenies verum locum lunae sic: cum argumento lunae intra tabulas aequationis eius (EA11), et invenies aequando de aequatione argumenti lunae 2 signa 27 gradus 21 m'a et 27 2'a: quae oportet ad medium motum solis et lunae addere, cum argumentum est plus 6 signis; et erit verus locus lunae scilicet 5 signa 14 gradus 12 m'a et 47 2'a.
    Deinde illam aequationem argumenti lunae addas super argumentum latitudinis primo inventum, quia addidisti eam medio motui; et erit argumentum latitudinis lunae primo aequatum scilicet 0 in signis 11 gradus 3 m'a et 12 secunda, quod est distantia centri corporis lunaris a capite draconis.
    (Ap440) Deinde, quia oportet invenire tempus et locum, quo sol et luna vere coniungentur, subtrahe verum locum solis de vero loco lunae, quia luna praecedit, et remanet longitudo lunae, scilicet 4 gradus 19 m'a et 29 2'a; idem in secundis 15568; duodecima huius est 21 m'a et 37 2'a. Deinde addas hanc duodecimam supra longitudinem lunae, et habebis longitudinem cum sua 12'a, scilicet 4 gradus 41 m'a et 5 secunda; idem in secundis 16865.
    Et quia hanc longitudinem cum sua 12'a debes dividere per motum lunae aequalem in una hora ad inveniendum tempus verae coniunctionis, ideo motum lunae aequalem in una hora sic invenies: medietatem longitudinis et 12'ae minuas de argumento latitudinis lunae, cum luna praecedit solem, et est medietas totius 2 gradus 20 m'a et 33 2'a; et remanet argumentum lunae, scilicet 10 signa 27 gradus 15 m'a et 26 2'a. Cum quo intrabis tabulam motus solis et lunae aequalis in una hora (JA11), et invenies aequando 30 m'a et 39 2'a. -- Et quia istud supponit lunam esse in longitudine media sui epicycli, intra cum longitudine praedicta ad parvam tabulam, quae intitulatur "tabula aequationis motus lunae diversi in una hora" (JA21), et invenies 3 2'a; quae, cum luna est in superiori parte epicycli, minuas de motu lunae aequali in una hora iam invento, et remanet motus lunae aequalis et aequatus, 30 m'a et 36 secunda: idem in secundis 1836.
    Per quae dividas longitudinem cum sua duodecima, et exibunt 9 horae et 11 m'a, quas horas et quae m'a demas a tempore ad medium eclipsis invento, et remanebunt 28 dies 20 horae et 23 m'a; et istud est ad Toletum. Adde ergo hiis 46 m'a, et erunt Parisius 28 dies 21 horae 9 m'a, diebus non aequatis.
    (Ap441) Intra igitur ad tabulam ascensionum signorum in circulo directo cum gradu solis, addito sibi motu octavae sphaerae. Est igitur verus locus solis in nona sphaera 5 signa 19 gra 15 m'a et 39 secunda: intra igitur cum isto ad tabulas ascensionum signorum in circulo directo (BB11.Eqd), et accipies aequando de aequatione dierum 5 gradus et 12 m'a, quae valent 20 m'a et 48 2'a. Quo addito ad tempus prius aequatum ad Parisius habebis 28 dies 21 horas et 30 m'a, et istud est tempus verae coniunctionis Parisius.
    (Ap442) Quo facto, quia oportet invenire locum certum coniunctionis in orbe signorum, cum coniunctio vera praecessit, minue longitudinem lunae cum sua 12'a de vero loco lunae, et 12'am tantum de vero loco solis; et erit verus locus utriusque idem, scilicet 5 signa 9 gra 31 m'a et 42 secunda, scilicet in sphaera octava; in nona autem 5 signa 18 gra 54 m'a et 2 secunda.
    Deinde minuas etiam longitudinem cum sua 12'a de argumento latitudinis primo aequato semel, et remanet argumentum latitudinis bis vel secundo aequatum, scilicet 0 in signis 7 gradus 22 minuta et 7 secunda, quod est distantia centri corporis lunaris a capite draconis in hora verae coniunctionis Parisius. -- Quod probatur pulcherrime: aequando enim capitis locum verum, habebis locum eius ab ariete secundum successionem signorum 5 signa 3 gradus 9 m'a et 40 2'a; cui si addideris distantiam lunae a capite, scilicet argumentum latitudinis, exibunt 5 signa 9 gradus 31 m'a et 47 secunda, quod est praecise locus lunae et coniunctionis. Vel si a loco verae coniunctionis minueris distantiam coniunctionis a capite, id est argumentum latitudinis, remanent 5 signa 3 gradus 9 m'a et 40 2'a, quod verus locus capitis est; et hoc probes aequando caput ad tempus verae coniunctionis Parisius.
    Et istud notabis diligenter quia, nisi ad tempus coniunctionis verae locus capitis maior fuerit vel minor praecise de argumento latitudinis secundo aequato quam locus coniunctionis verae, non pronuntiabis eclipsim futuram, quia errabis necessario et peccasti in operando.
    (Ap443) Deinde horas coniunctionis verae minuas de 24, et remanent duae et 30 m'a; cum quibus intrabis ad tabulam diversitatis aspectus in 7'o climate (HC71), quia Parisius est in 7'o climate. Intrabis igitur eam cum tot horis sub virgine, quia verus locus lunae vel coniunctionis est in virgine, et intrabis ante titulum "recessus", quia coniunctio est ante meridiem, et accipies primo e directo duarum horarum de diversitate aspectus in longitudine solum, et invenies 27 minuta. Deinde pro minutis horae imperfectae intra ibidem ad 3 horas, et invenies minuta longitudinis similiter 35; quorum duorum introituum differentia est 8 m'a. Et ideo, quia 30 m'a horae sunt medietas de 60 minutis, quae sunt unius horae integrae, ideo 4 de ista differentia addas primo introitui, et erunt 31 m'a in diversitate aspectus in longitudine, dato quod luna esset in principio virginis.
    (Ap444) Et ideo intra ad sequens signum, scilicet ad libram, et aequabis similiter bis, intrando primo scilicet ad 2 horas et secundo ad 3 ante titulum "recessus"; et invenies aequando 34 in diversitate aspectus in longitudine, dato quod luna esset in principio librae. Cum ergo luna est inter principium virginis et principium librae, tunc de differentia istarum duarum diversitatum aspectus in longitudine accipe tantam portionem, quanta portio de 30 gradibus sunt gradus et minuta et secunda, quos et quae luna deambulavit in hora coniunctionis verae de signo virginis. Deambulavit autem luna 18 gra 54 m'a et 2 s'a, sed non oportet aequare pro tot secundis. Deinde partem illam proportionalem adde ei quod invenisti ad virginem, quia minus est eo quod invenisti ad libram; et habebis m'a longitudinis aequata ad partem horae et ad partem signi, scilicet 32 m'a et 53 secunda.
    (Ap445) Deinde cum argumento lunae, subtracta sibi longitudine cum 12'a, intra tabulam aequationis diversitatis aspectus lunae (JC11a), et invenies unum minutum; per quod diversitatem aspectus iam inventam multiplices, et non aucto numero mutatur denominator, et facta sunt tertia; quibus divisis per 12 m'a, quae ponuntur esse omnia minuta proportionalia, exibunt 2 m'a et 44 2'a; de secundis autem 5, quae post divisionem remanent, nihil curare debes. -- Vel potes dicere quod ex multiplicatione longitudinis per unum non surgit denominator, et ideo etiam ex divisione per 12 non diminueretur denominator, sed manent semper secunda, et semper redit in idem. -- Deinde partem istam proportionalem oportet semper addere minutis longitudinis, et exibunt hic 35 m'a et 37 secunda; et haec est diversitas aspectus in longitudine aequata ad omnia 3.
    (Ap446) Cui addita sua 12'a erunt in secundis 2315, quae dividas per motum lunae aequalem in una hora, et exibunt scilicet una hora et 12 m'a; quam et quae oportet demere de horis coniunctionis verae, et remanent 20 horae et 14 m'a cum 28 diebus. -- Quod oportet de tempore 24 horarum iterum demere et cum residuo, scilicet 3 horis et 46 minutis, iterum intrare tabulam eandem quam prius (HC71) et ad eadem signa; et invenies ad virginem, aequando pro partibus horarum, 39 m'a, et ad libram 41 m'a, de longitudine tantum; de quorum differentia accipias tantam partem, quanta de 30 sunt gradus et minuta quae luna deambulavit de virgine, et est pars illa 1 minutum et 16 2'a. Quae addas supra longitudinem acceptam ad virginem, et erit longitudo examinata ad partem horae et ad partem signi scilicet 40 m'a et 16 2'a; quae iterum sicut prius aeques, per unum minutum proportionale multiplicando et per 12 dividendo, et exibunt 3 m'a et 21 2'a; quae addas longitudini eidem, et erit longitudo examinata ad omnia 3 secundo scilicet 43 m'a et 37 2'a. Cui addas suam 12'am, et erunt 47 m'a et 15 s'a; quibus divisis per motum lunae aequalem in una hora, exibit una hora et 33 m'a. Quae iterum subtrahas a tempore eodem a meridie diei praecedentis, scilicet a 21 horis et 30 minutis, a quibus etiam subtraxisti tempus diversitatis aspectus in longitudine cum sua duodecima primo inventum; et remanet tempus a meridie diei praecedentis, scilicet 19 horae et 57 m'a. -- Quibus de 24 horis diminutis remanent 4 horae et 3 m'a, cum quibus iam tertio intres eandem tabulam quam prius et ad idem signum ante titulum "recessus": intrabis enim primo cum 4 horis ad virginem, primo et secundo pro minutis aequando; deinde intrabis ad libram similiter et accipies de diversitate aspectus et in latitudine et in longitudine divisim. Et habebis ad virginem, aequando pro minutis horae, de longitudine 40 m'a et 9 2'a et de latitudine 21 m'a et 3 2'a; item habebis aequando ad libram in longitudine 42 m'a et 9 2'a et in latitudine 22 m'a et 57 2'a. Deinde pro parte signi aequa utrumque horum ut prius, et habebis in longitudine 41 m'a et 25 2'a et in latitudine 22 m'a et 15 2'a. Deinde aequabis pro loco lunae in epicyclo utrumque ut prius, et erit in longitudine diversitas scilicet 44 m'a et 52 2'a, in latitudine vero 24 m'a et 6 s'a. Deinde minutis longitudinis addas suam duodecimam, et productum in secundis, tot 2916, divide per motum lunae aequalem ut prius in una hora, et exibit una hora cum 35 minutis. Quae diminuas de tempore coniunctionis verae, a quo primo diminuisti, scilicet a 21 horis et 30 minutis, et remanent 19 horae et 55 m'a, quod est tempus mediae eclipsis solis Parisius.
    Deinde minuta longitudinis cum sua 12'a minuas de argumento latitudinis bis aequato, quia minuisti horas de horis, et remanet argumentum latitudinis tertio aequatum, scilicet 0 in signis 5 gradus 33 m'a et 31 secunda.
    (Ap447) Quo facto multiplica diversitatem aspectus in latitudine in undecim cum dimidio, et productum, scilicet 4 gra 37 m'a et 9 s'a, minuas de argumento latitudinis tertio aequato, quia coniunctio est prope caput; et remanet argumentum latitudinis 4'o aequatum, scilicet 56 m'a et 22 secunda sine gradibus et signis.
    (Ap448) Cum hoc igitur argumento latitudinis 4'o aequato intres tabulas eclipsis solis ad longitudinem longiorem (JD11): intrabis, inquam, primo cum 30 minutis et secundo cum uno gradu praecise; et <invenies aequando> puncta eclipsis 9 et 45 minuta, et minuta casus 30 cum 36 secundis. Item habebis ad aliam tabulam aequando sicut modo de punctis eclipsis 10 et 53 m'a, et de minutis casus 33 et 17 2'a. -- Deinde intres tabulam proportionum (JC13) cum argumento, subtracta sibi longitudine cum 12'a, quae erat inter solem et lunam ad tempus coniunctionis mediae, et invenies aequando de minutis proportionalibus 5 et 7 s'a. Per quae multiplices differentiam punctorum primo, et productum divide per 60 minuta proportionalia, et exibunt 9 m'a; quae ad puncta in prima tabula accepta addas, et erunt 9 puncta et 51 m'a. Deinde consimiliter aeques minuta casus; et exibit pars proportionalis scilicet 14 2'a, quae etiam addas ad id quod de minutis casus invenisti in tabula prima; et erunt 30 m'a casus et 50 2'a.
    Deinde minutis casus addas suam duodecimam, et habebis in secundis 2004, quod oportet dividere per motum lunae aequalem in una hora, et exibit una hora et 5 m'a; quam et quae si minueris de tempore eclipsis mediae, remanet tempus initii eclipsis, scilicet 18 horae et 50 m'a. Et si eandem horam et 5 m'a ad tempus mediae eclipsis addideris, erit tempus finis eclipsis, scilicet 21 horae recte praecise. -- Durabit igitur haec eclipsis ad duas horas aequales et ad sextam unius praecise.
    Si autem velis pronuntiare horam initii eclipsis ab ortu solis, scilicet illam horam qua luna incipit tangere solem versus occidentem, scias illius diei medietatem arcus diurni, qui est 94 graduum et 57 minutorum; quem dividas per 15, et exibunt horae aequales sex et 20 m'a. Deinde tempus initii eclipsis subtrahas de 24 horis, et remanent 5 horae et 11 m'a; quas et quae si de horis et minutis medietatis arcus diurni minueris, remanet tempus ab ortu solis ad initium eclipsis, scilicet una hora et 9 m'a.
    Deinde minuta casus cum sua 12'a minue de loco lunae ad medium eclipsis, et remanet locus lunae ad initium eclipsis, scilicet 5 signa 8 gradus 58 m'a et 18 secunda. Deinde eadem minuta casus cum sua 12'a addas loco lunae ad medium eclipsis, et erit locus lunae ad finem eclipsis scilicet 5 signa 10 gradus 5 m'a et 6 secunda: verum est in 8'a sphaera. -- Verus autem locus lunae ad finem eclipsis in nona sphaera est 5 signa 19 gradus 27 m'a et 26 secunda; et ad initium locus eius in 9'a sphaera est 5 signa 18 gradus 20 m'a et 38 2'a.
    Minuas etiam minuta casus cum sua duodecima ab argumento latitudinis ad medium eclipsis, quod erat 4'o aequatum, et remanebit argumentum latitudinis ad initium eclipsis scilicet 22 m'a et 58 s'a. Item eadem minuta casus cum sua 12'a addas argumento latitudinis ad medium eclipsis, et habebis argumentum latitudinis ad finem eclipsis, scilicet unum gradum 29 m'a et 46 2'a. -- Deinde cum argumento latitudinis ad initium eclipsis intra tabulam latitudinis lunae ad initium, medium atque finem eclipsis (JC51), et cum argumento latitudinis ad medium eclipsis similiter, et cum argumento latitudinis ad finem eclipsis consimiliter; et ibidem accipias latitudinem lunae cum quolibet. Et invenies latitudinem lunae ad initium eclipsis 2 m'a praecise; latitudo autem lunae ad medium eclipsis est 4 m'a et 54 s'a; latitudo vero eius ad finem eclipsis est 7 m'a et 49 2'a.
    (Ap449) Quo facto, cum punctis eclipsis intra tabulam parvam, quae intitulatur "tabula quantitatis tenebrarum in utraque eclipsi" (JC31a), et invenies aequando 9 puncta et 28 m'a eclipsanda de superficie corporis solaris.
    (Ap450) Hiis igitur expeditis, ut scias hanc eclipsim et quamlibet modo consimili vulgo in figura ostendere, quaeras primo quantitatem diametri solis, modo quo supra dicebatur. Accipies enim motum solis aequalem in una hora, intrando cum argumento solis ad tabulam motus solis aequalis in una hora (JA11), et aequando invenies duo m'a et 27 s'a; quae redacta ad s'a, tot 147, multiplices per 132 m'a, quae sunt duo gradus et quinta unius gradus, et productum divide per 10; et exibunt in fine 32 m'a et 20 2'a, quae sunt diameter solis ad medium eclipsis.
    Item et quaeras diametrum lunae ad idem tempus per motum lunae aequalem in una hora, qui, sicut saepe in isto capitulo usitatum est, est 30 minutorum et 36 secundorum. Hunc ergo redactum ad secunda, tot scilicet 1836, multiplica per 6 gradus, et exibunt 11016 secunda; de quibus subtrahas octavam partem motus lunae, quae est 231 2'a, et remanent 10787. Vel motum lunae multiplices per 21150, quae sunt secunda in 6 gradibus minus octava parte unius, et exibunt 2'a 38831400, quae valent 10787 fere; et ita multiplicasti utroque modo motum lunae aequalem in una hora per 6 gradus, diminuta inde 8'a parte unius. Quae si diviseris per 6 gradus, exibunt 1798 secunda, quae valent 29 m'a et 58 2'a, quae sunt in diametro lunae hora mediae eclipsis.
    (Ap451) Quo facto ponatur pro exemplo figura subscripta. -- Circulus ABCD est circulus communis et soli et lunae, quia semidiameter eius divisa est in tot divisiones aequales vel partes, quot sunt minuta in semidiametro utriusque, scilicet in 31 cum modico; super cuius centrum descriptus circulus RLST circulum solis repraesentat, cuius semidiameter constat ex 16 dictis partibus cum sexta unius: diameter enim solis est 31 minutorum et tertiae unius. Est autem centrum utriusque circuli E. Et quia latitudo lunae ad initium eclipsis est duo minuta praecise, ideo a centro utriusque circuli extensae sunt duae partes lineae divisae, scilicet diametri circuli communis. Est igitur nota latitudinis ad initium eclipsis in septentrionem ab E in puncto M: D enim significat septentrionem, A occidens, B meridiem et C oriens. H autem est nota latitudinis ad medium eclipsis, distans in septentrionem ab E per 5 partes fere: tanta enim est latitudo ad medium eclipsis. O vero est nota latitudinis ad finem eclipsis, distans ab E per 8 partes fere: est enim fere 8 minutorum latitudo lunae ad finem eclipsis. Accipiuntur autem omnes istae latitudines ad septentrionem, quia argumenta earum omnia sunt nihil in signis.

(Fig.: A,140v)

Ducitur autem parallela diametro CA ad circumferentiam circuli communis, contingens eam versus occidens in puncto Q, et alia ab O versus oriens, contingens circumferentiam communis circuli in puncto G. Descriptus vero lunaris circulus super punctum Q contingit solarem circulum ad initium eclipsis in puncto T; et alius circulus lunaris factus ad finem eclipsis super notam G contingit eundem circulum solarem super notam L; tertius vero circulus, factus super notam H, includit partem solaris circuli quae est ab L in T, per S eundo, et iste circulus ostendit quantum obscurabitur de sole. Deducitur autem linea ab E in Q per T, et alia ab E in G, ad denotandum lunae latitudinem: si enim alterutra illarum coincideret cum diametro CA, nulla esset latitudo. Linea vero ducta a Q in G per H denotat transitum lunae in tota eclipsi; quae linea in puncto Q magis accedit ad diametrum communis circuli, quae diameter denotat eclipticam. Et eclipsabitur pars solis superior, licet aliter proicitur in figura.

(Ap452) Si autem lunae defectionem (200-08b): postquam auctor docuit invenire ea per quae communiter eclipses solis et lunae inveniuntur, et cum hoc complevit tractatum de eclipsi solari, consequenter hic determinat de eclipsi lunari. Et facit duo: primo enim (200-06) docet investigare quantitatem eclipsis lunaris, et secundo (207-08b) docet eam in figura depingere exemplariter, cum dicit Eclipsim autem geometrica. -- Primo adhuc (200-04) facit quod dictum est, et secundo (205-06) subdit quoddam notabile cum additione cuiusdam praetermissi prius, cum dicit in fine capituli Notandum. -- Primo facit duo: primo enim (200-02,204) docet invenire quantitatem eclipsis lunaris, et secundo (203a-b) docet aequare vera loca lunae et argumentum latitudinis ad initium et ad finem eclipsis, cum dicit Et si volueris invenire locum lunae.
    Et quia, sicut in sole, ita et lunae duplex est eclipsis quantitas, scilicet secundum durationem et secundum obscurationem -- item quantitas obscurationis est duplex, scilicet secundum diametrum lunae et secundum eius totam superficiem -- ideo auctor hic intendit de quantitate durationis eclipsis et etiam obscurationis, <et primo> (200-02) secundum diametrum, et secundo (204) secundum superficiem, cum dicit Si autem volueris invenire.
    (Ap453) Sed quia quantitas durationis eclipsis est duplum temporis quod est ab initio eclipsis ad eius medium, ideo auctor, intendens de quantitate durationis eclipsis, docet una cum quantitate obscurationis lunae invenire tempus ab initio eclipsis ad eius medium. Et quia quantitas obscurationis et durationis maior vel minor accipitur ex approximatione lunae ad nodorum alterutrum maiori vel minori, ideo cum argumento latitudinis haec utraque investigantur.
    (Ap454) Item, quia contingit quandoque lunam ita vicinam esse nodo, et per consequens eclipticae, quod oportet eam intrare totaliter in umbram, et quandoque etiam facere ibi moram cum tota fuerit obscurata, et aliquando, cum tota obscurata fuerit, statim exiens apparere; quandoque, secundum maiorem eius elongationem ab ecliptica, secundum aliquid sui contingere umbram; ideo in tota eclipsi distinguuntur aliquando solummodo duae partes, scilicet quae est ab initio eclipsis ad medium et quae est a medio ad finem, scilicet quando luna non totaliter obscuratur, vel si totaliter, non tamen faciens moram in umbra. Et utrumque istorum temporum vocatur "tempus minutorum casus et suae 12'ae": minuta enim casus sunt arcus orbis signorum, in initio eclipsis cadens inter centrum lunae et centrum umbrae, quem cum sua 12'a deambulat luna ab initio eclipsis ad eius medium.
    Aliquando autem distinguuntur in eclipsi 4 tempora, quando scilicet luna obscuratur tota cum mora. Et sunt haec tempora scilicet: tempus ab initio eclipsis ad instans quo luna iam primo totaliter est obscurata, quod instans vocatur "initium morae"; et tempus ab initio morae ad medium eclipsis, quo scilicet centrum lunae et centrum umbrae sunt in eodem minuto orbis signorum; et tempus a medio eclipsis ad finem morae, quo scilicet luna iam primo incipit apparere, quod instans vocatur "initium exitus lunae de tenebris" vel "finis morae"; et ultimum est tempus a fine morae ad finem eclipsis. -- Et haec tempora sic se habent quod primum et ultimum sibi simpliciter vel proprie sunt aequalia, et similiter secundum et tertium.
    Et quia in tota eclipsi distinguuntur haec 4 tempora, ideo necessario instantia +dtermin<->+ sunt 5, scilicet: initium eclipsis, initium morae, medium eclipsis, finis morae, et finis eclipsis.
    Arcus autem interiacens in initio eclipsis inter centrum lunae et locum contactus lunae cum umbra duplicatus vocatur "minuta casus": arcus dico orbis signorum; et iste arcus est diameter lunae visibilis. Arcus autem orbis signorum cadens inter centrum lunae et centrum umbrae in initio morae dicitur "minuta dimidiae morae".
    (Ap455) Hiis praemissis dico quod auctor (200-02) docet primo (200-01b) invenire quantitatem obscurationis lunae, scilicet puncta eclipsis et minuta casus et minuta dimidiae morae, si fuerit mora; et secundo (202) docet invenire tempus initii eclipsis, initii morae, finis morae et finis eclipsis; secundum facit ibi Deinde minutis casus. -- Primo adhuc (200) docet haec invenire, dato quod luna sit directe in altera longitudinum, scilicet vel in auge vel in opposito augis; et secundo (201a-b) docet haec aequare pro loco lunae ubicumque existentis: secundum facit cum dicit Si autem non fuerit in praedictis.
    (Ap456) Dicit ergo primo (200) quod, si volueris praenotare, id est praescire, defectionem lunae, quaere impletionem nocturnam eius, scilicet lunae -- id est, quaere quando luna implebitur in nocte, quia pro eclipsi lunae <aliter> non est laborandum -- dum fuerit prope caput vel caudam Geusahar per 12 gradus. Tunc, supple si hoc velis investigare, ingredere tabulam eclipsis (JD21) ad longitudinem lunae longiorem, si luna fuerit in longitudine longiori, id est in auge sui epicycli: ingredere, inquam, cum argumento latitudinis aequato diligenter bis ad horam impletionis, id est oppositionis, sicut praemonstratum est; et quae in directo eius, scilicet argumenti, inveneris puncta eclipsis et minuta casus et minuta dimidiae morae, si mora fuerit futura illi, scilicet lunae, singula per se seorsum scribe. Si vero luna fuerit in longitudine propiori, intra cum eodem argumento latitudinis tabulam eclipsis eius ad longitudinem propiorem, et nota extra in pulvere ea quae ibi inveneris: nota, inquam, ea ordinatim, primo scilicet ordinando puncta eclipsis, et secundo minuta casus, et tertio minuta dimidiae morae, si ea inveneris; et oportebit te aequare pro minutis argumenti sicut consuevisti. -- Et nota diligenter quod, si argumentum latitudinis fuerit minus 30 minutis, tunc de differentia punctorum et aliorum e directo 30 minutorum acceptorum, et <punctorum et> aliorum e directo cifrae in ultima linea acceptorum, <sumas partem ** quam de> punctis etc. in ultima linea acceptis minuas, et residuum est quod quaeris. Idem etiam est intellegendum de eclipsi solis.
    (Ap457) Si autem non fuerit (201a-b): docet aequare puncta eclipsis et cetera, luna ubicumque in epicyclo existente. Dicit igitur quod, si luna non fuerit in praedictis longitudinibus, ita scilicet quod nec directe in auge nec directe in opposito augis, sed ab una in aliam, id est inter utramque, tunc tu intrans utramque tabulam, quae in utrisque inveneris extra in pulvere sub se pone separatim, id est divisim, scilicet puncta in secunda tabula accepta sub punctis, scilicet acceptis in prima tabula, et minuta accepta in secunda tabula sub minutis acceptis in prima tabula; et cetera, id est, minuta dimidiae morae accepta in secunda tabula sub minutis dimidiae morae acceptis in prima tabula, sicut sunt in ordine, scilicet in tabulis. Deinde differentiam omnium istorum adinvicem suscipe, differentiam scilicet punctorum acceptorum primo ad puncta accepta secundo, et cetera, differentiam scilicet etiam aliorum inter se accipiendo, et unamquamque per se nota in pulvere. Post hoc cum argumento lunae, scilicet primo invento, addita sibi longitudine cum 12'a si longitudo inter solem et lunam fuerit solis, vel eadem ab eodem diminuta si fuerit longitudo lunae, tabulam proportionis (JC13) ingrediens suscipe minuta proportionalia quae ibi inveneris; secundum quorum proportionem ad 60 accipies partem proportionalem cuiusque differentiae superioris, id est supradictae, addens illam suo generi, sumpto ex longitudine longiori, scilicet in prima tabula, partem videlicet proportionalem differentiae punctorum addendo punctis primae tabulae, et cetera ut sunt in ordine. Et sic habebis puncta eclipsis et minuta casus et minuta dimidiae morae, aequata ad longitudinem lunae praesentem ad medium eclipsis.
    (Ap458) Et nota (201b): hic nihil indiget expositione, si praehabita videantur.
    (Ap459) Deinde minutis casus (202): docet invenire tempora omnia eclipsis, scilicet initium eclipsis, initium morae, medium eclipsis, finem morae et finem eclipsis. Et legatur continue, et patet de se.
    (Ap460) Et si volueris invenire locum lunae (203a-b): docet consequenter invenire locum lunae et argumentum latitudinis ad initium et ad finem eclipsis. Et ideo facit duo: primo enim (203a) docet primum, et secundo (203b) secundum, cum dicit Similiter facies cum motu latitudinis. Et patet utraque pars de se.
    (Ap461) Si autem volueris invenire (204): postquam auctor docuit invenire, quantum de diametro lunae eclipsabitur, docet consequenter invenire, quantum de tota superficie corporis lunaris luminosa obscurabitur. Et est modus inveniendi consimilis ut in sole docebatur.
    (Ap462) Notandum etiam videtur (205-6): hic facit auctor duo: primo enim subdit auctor quoddam notabile sequens ex dictis. Et facit duo: primo enim (205) facit hoc, et secundo (206) regreditur super quiddam prius omissum, cum dicit Si autem locum solis.
    (Ap463) Dicit igitur auctor (205) quod tempora eclipsis lunae quandoque sunt quinque, scilicet quando eclipsis fit universalis, quando scilicet tota cum mora obscurabitur: scilicet initium eclipsis, et initium morae, medium quoque eclipsis, et finis morae, atque finis eclipsis.
    Et nota quod auctor hic accipit "tempus" large, scilicet pro puncto initiativo et terminativo temporis: haec enim tempora eclipsis realiter sunt 4, sicut dicebatur supra. Et dicit auctor quando non semper tot sunt: quia in eclipsi particulari, vel etiam in eclipsi universali sine mora, non est assignare initium vel finem morae, quia non est mora; et ita non erunt nisi tria tempora, large accipiendo "tempus", scilicet initium eclipsis, medium et finis, et duo tempora proprie, scilicet ab initio eclipsis ad medium et a medio ad finem.
    (Ap464) Si autem locum solis (206): quia supra, in docendo invenire locum lunae ad initium eclipsis et finem, praetermisit loqui de sole, ideo hic super eo regreditur; et per habita supra de sole patet de se, quid auctor hic intendat.
    (Ap465) Eclipsim autem lunae (207-08b): postquam auctor in capitulo immediate ante docuit invenire quantitatem eclipsis et alia sibi annexa, docet hic consequenter eclipsim lunae et eius quantitatem in figura depingere. Et primo (207-08a) facit hoc, dando modum narrative, sicut fecit in de eclipsi solis depingenda, et secundo (208b) exemplificat, cum dicit Est enim circulus communis.
    Et per dicta supra et dicenda in exemplo patebit capitulum, cum iam statim omnia de eclipsi lunari dicta resumam, ponendo exemplum de eclipsi lunari, sicut factum est in eclipsi solis paulo ante.

(Ap466) Esto igitur quod tu velis scire, in quo mense cuiusvis anni Arabum fiat eclipsis lunae: accipe ergo annos Arabum perfectos cum illo in quo futuram vis scire eclipsim. Puta, si velis scire utrum in anno Arabum 689'o fiat eclipsis lunae, cum tot igitur annis intra tabulam mediae oppositionis solis et lunae in annis Arabum collectis (GA12), et invenies de argumento latitudinis lunae e directo 661 annorum 3 signa 3 gradus 47 m'a 35 secunda, quia de argumento latitudinis lunae primo oportet accipere ad possibilitatem eclipsis habendam. Deinde cum residuis annis, scilicet 28, intra tabulam mediae coniunctionis et oppositionis solis et lunae in annis Arabum expansis (GA13), et invenies similiter de argumento latitudinis lunae 7 signa 15 gradus 18 m'a 24 2'a; quibus ad praecedentia adiunctis, habebis radicem motus latitudinis, scilicet 10 signa 18 gradus 39 m'a et 59 secunda. Cui radici si aggregaveris argumenta singulorum mensium divisim (GA14), videbis quod in octavo mense possibilitas eclipsis lunae emerget, quia resultabunt 5 signa 23 gradus 21 m'a 35 secunda. Constat autem istud esse unum de 4 terminis possibilitatis eclipsis lunaris: examines igitur possibilitatem istam, sicut supra docebatur.
    (Ap467) Intrabis enim cum eisdem annis ad easdem tabulas primo, scilicet tabulam mediae oppositionis solis et lunae in annis Arabum collectis; et accipies de omnibus quae inveneris e directo 661 annorum de tempore oppositionis mediae, et de medio motu solis et lunae, id est solis et nadir lunae, et de argumento lunae. Deinde etiam cum annis 28 residuis intres tabulam mediae coniunctionis et oppositionis solis et lunae in annis Arabum expansis et accipias de eisdem tribus capitulis; deinde cum octavo mense, in quo possibilitatem eclipsis invenisti, accipe de eisdem tribus capitulis; et in unum aggrega. Et invenies de tempore oppositionis mediae colligendo 14 dies et 11 horas cum 12 minutis, quia diem unum de diebus inventis ad annos collectos oportet subtrahere pro die invento ad menses, et unum loco eiusdem diebus residuis addere pro 24 horis. Item et invenies medium motum solis et lunae ad idem tempus esse 4 signa 27 gra 18 m'a et 9 secunda. Item et invenies argumentum lunae verum ad idem tempus, 4 signa 16 gradus 41 m'a et 17 2'a. Prius autem invenisti argumentum latitudinis lunae, quod est distantia centri epicycli lunae a capite draconis ad idem tempus.
    (Ap468) Quo facto, quia oportet verum locum et solis et lunae vel nadir lunae invenire, augem solis de medio motu invento iam minuas, et cum argumento residuo, scilicet 8 signis 9 gradibus 28 minutis et 9 secundis, quaeras aequationem argumenti solis, et invenies aequando unum gradum 50 m'a et 30 secunda; quam aequationem, quia argumentum est minus 6 signis, a medio motu minuas, et remanebit verus locus solis, 4 signa 25 gradus 27 m'a et 59 secunda. Deinde, ut verum etiam locum lunae scias, cum argumento primo invento inquiras aequationem argumenti lunae, et habebis aequando 3 gradus 39 m'a et 58 secunda; quod a medio motu demas, quia argumentum est minus 6 signis, et remanet verus locus lunae, 4 signa 23 gradus 38 m'a et 11 s'a. Eandem aequationem argumenti lunae minuas de argumento latitudinis lunae primo invento, et remanebit argumentum latitudinis primo aequatum, quod est distantia centri corporis lunaris a capite draconis, et erit 5 signa 19 gradus 41 m'a et 37 secunda.
    (Ap469) Quo facto, quia oportet ponere solem et lunam, id est nadir lunae, in eodem puncto caeli, ideo subtrahe verum locum lunae, quia minor est, de vero loco solis, et remanebit longitudo inter solem et lunam, scilicet unus gradus 49 m'a et 48 2'a; et haec vocabitur "longitudo solis", quia sol corporaliter praecedit lunam; quae in secundis est tot secunda scilicet 6588. Cuius 12'a est 549 2'a; idem in fractionibus scilicet 9 m'a et 9 secunda; longitudo cum sua 12'a est unus gradus 58 m'a et 57 secunda; longitudo cum sua duodecima in secundis scilicet 1137.
    Quam longitudinem cum sua duodecima quia oportet per motum lunae aequalem in una hora dividere, ideo motum lunae aequalem in una hora sic quaeras sicut in sole per argumentum lunae, addita sibi medietate longitudinis et suae 12'ae, quia sol praecedit; et erit argumentum tunc post additionem 4 signa 17 gradus 40 m'a et 46 secunda; cum quo aequando invenies in tabula motus lunae aequalis in una hora (JA11) de motu lunae 35 m'a et 3 secunda. Deinde, quia supponitur per istum motum lunam aequaliter moveri ubique in epicyclo, ideo cum longitudine praedicta intra tabulas aequationis motus lunae diversi in una hora (JA21), et intres cum 2 gradibus integris; et invenies unum secundum solummodo, quod addas ad motum lunae iam inventum, quia luna est inferius in epicyclo; et habebis motum lunae aequalem et aequatum in una hora, scilicet 35 m'a et 4 2'a; idem in secundis 2104.
    Per quae dividas longitudinem cum sua duodecima, reductam etiam ad secunda scilicet tot 7137, et exibunt 3 horae et 24 m'a fere. Quas et quae addas ad tempus oppositionis mediae, et hoc quia sol praecedit et eclipsis est futura; et habebis tempus oppositionis verae ad Toletum, scilicet 14 dies 14 horae et 36 m'a. Cui toti addas 46 m'a, et exibit tempus verae oppositionis Parisius, scilicet 14 dies 15 horae 22 m'a, diebus non aequatis.
    (Ap470) Intra igitur cum gradu solis, addito sibi motu octavae sphaerae, scilicet cum 5'o gradu virginis, ad tabulas elevationum signorum in circulo directo (BB11.Eqd); et invenies 4 gradus et unum minutum, quae valent 16 m'a et 4 2'a. Tot igitur secunda et tot minuta addas ad tempus oppositionis verae iam aequatum, et habebis tempus aequatum oppositionis verae, diebus aequatis ad villam Parisius, scilicet 14 dies 15 horas et 38 m'a; de secundis autem nihil cures.
    (Ap471) Quo facto, ad habendum certum locum oppositionis, scilicet in quo sol et nadir lunae erunt in hora iam inventa, cum longitudo est solis et oppositio vera est futura, adde loco lunae longitudinem cum sua 12'a, et loco solis duodecimam longitudinis tantum; et erit verus locus solis 4 signa 25 gra 37 m'a et 8 secunda, et erit verus locus lunae idem; et hoc est verum in octava sphaera. Cui si addideris motum octavae sphaerae, erit verus locus utriusque in 9'a sphaera 5 signa 4 gradus 59 m'a et 28 2'a.
    Deinde addas etiam eandem longitudinem cum sua 12'a super argumentum latitudinis primo aequatum, et habebis argumentum latitudinis secundo et ultimo aequatum, scilicet 5 signa 21 gradus 40 m'a et 30 2'a.
    (Ap472) Invento igitur argumento latitudinis, intres cum eo primo ad tabulam eclipsis lunae ad longitudinem longiorem (JD21.1-2), et invenies aequando de punctis eclipsis 4 et 52 m'a, et de minutis casus 32 et 16 s'a.
    (Ap473) Deinde etiam intres ad tabulam eclipsis lunae ad longitudinem propiorem (JD21.3-4), et invenies cum eodem argumento latitudinis aequando de punctis eclipsis 7 et 59 m'a, et de minutis casus 48 et 8 secunda. -- Quibus inventis, intra cum argumento lunae, addita sibi longitudine cum sua 12'a, intra, dico, ad tabulam proportionis augmentatam per duos gradus (JC13), et invenies aequando de minutis proportionalibus 52 et 4 2'a. Quibus inventis, minuas puncta accepta in prima tabula de punctis acceptis in secunda, et remanebunt 3 puncta et 7 minuta; de quibus accipias tantam partem quanta pars de 60 sunt minuta proportionalia iam inventa; et est pars illa duo puncta et 42 secunda. Quae addas ad puncta accepta in prima tabula, et erunt puncta aequata ad longitudinem lunae praesentem in epicyclo 7 et 37 m'a. Deinde consimiliter aequabis minuta casus, et erunt 45 m'a et 7 secunda.
    (Ap474) Quo facto, minutis casus addas suam duodecimam, et productum, in secundis tot 2933, per motum lunae aequalem in una hora divide. Et exibit una hora et 24 m'a, et hoc est tempus ab initio eclipsis ad medium eius; quo duplicato erit tempus totius eclipsis 2 horae et 48 m'a, id est duae horae et 4 quintae unius. -- Si igitur horas minutorum casus de tempore eclipsis mediae minueris, exibit tempus initii eclipsis, scilicet 14 dies 14 horae et 14 m'a; et si idem eidem addideris, erit tempus finis eclipsis, scilicet 14 dies 17 horae et 2 m'a.
    (Ap475) Quo facto, loco lunae et argumento latitudinis adde minuta casus cum sua 12'a, et habebis eadem ad finem eclipsis; et minuendo eadem ab eisdem habebis eadem ad initium eclipsis. Erit igitur locus lunae ad initium eclipsis 5 signa 4 gradus 10 m'a 35 secunda, et ad finem 5 signa 5 gradus 48 m'a et 21 secunda; et argumentum latitudinis ad initium eclipsis 5 signa 20 gradus 51 m'a et 41 secunda, et ad finem quinque signa 22 gra 29 m'a 27 2'a. -- Deinde per argumentum latitudinis ad initium eclipsis quaeras eius latitudinem, et ad medium et ad finem similiter; et invenies latitudinem lunae ad initium eclipsis 47 m'a et 35 secunda, et ad medium 43 m'a et 22 secunda, et ad finem 39 m'a et 9 secunda.
    (Ap476) Quo facto, cum punctis eclipsandis de diametro lunae prius inventis intra ad tabulam quantitatis obscurationis vel tenebrarum in utraque eclipsi (JC31a), et invenies aequando quantum de tota superficie lunae obscurabitur, scilicet 7 puncta et 25 m'a, ita quod tertia pars cum modico remanebit lucida.
    (Ap477) Quo expedito, oportet invenire diametrum lunae et umbrae in loco transitus lunae. Accipe igitur motum lunae aequalem in una hora ad tempus eclipsis huius, scilicet 2104 secunda, quem multiplices in 6 gradus minus octava parte unius, et productum divide per 6 gradus; et exibunt in fine 34 m'a et 16 secunda, quae sunt in diametro lunae.
    Quo facto, diametrum istam multiplica in duos gradus et 3 quintas unius, et productum erit quantitas umbrae, scilicet 89 m'a et 6 2'a, ea condicione ut sit sol in longitudine sua longiori. -- Cum autem sol modo non sit in longitudine longiori, umbram istam aequabis sic: intra cum argumento solis ad tabulam motus solis et lunae in una hora aequalis (JA11), et invenies motum solis esse duo m'a et 26 secunda sine aequatione omni. Subtrahe igitur motum solis in una hora, ipso existente in auge, scilicet 2 m'a et 23 secunda, ab isto motu, et 3, quae remanent, in decem multiplica, et erunt 30 secunda; quae minuas de diametro umbrae prius inventa, et residuum erit diameter umbrae loco transitus lunae, scilicet 88 m'a et 36 secunda.
    (Ap478) Hiis igitur eo ordine ut visum est expeditis, si placuerit tibi eclipsim istam in figura ostendere, coniungas diametrum lunae et diametrum umbrae insimul, et erunt 120 m'a et 52 secunda; quorum accipias medietatem, scilicet 60 m'a et 26 secunda. Deinde lineam aliquam in tot partes dividas, quot sunt minuta in utriusque diametro, scilicet in 60 partes cum dimidia parte unius addita; et hoc facto fiat circulus supra dictam lineam, ita ut haec linea constituatur semidiameter sua et in altera extremitate fiat centrum circuli. Et circulus iste vocabitur "circulus communis", quia semidiameter eius continet quantitatem semidiametrorum et lunae et umbrae. Quo facto quadrabis circulum per duas lineas diametraliter se intersecantes supra centrum, et intitulabis capita illarum linearum 4 litteris 4 plagas mundi denotantes: A enim erit nota meridiei, et B orientis, C septentrionis, et D occidentis, sicut patet in hac figura; et N tenet locum medium, scilicet centrum circuli. Circulus igitur ABCD est circulus communis, cuius diameter continet diametrum et lunae et umbrae: circulus enim HGXR est circulus vel grossities umbrae, utrimque habens semidiametrum umbrae.
    Latitudinis autem lunae ad initium eclipsis nota est O, a quo ducta est parallela ad circumferentiam communis circuli in puncto Q, super quod descriptus est circulus lunae ad initium eclipsis, contingens umbram in puncto G. Latitudinis vero lunae ad finem eclipsis nota est L, a quo parallela ducta est ad circumferentiam communis circuli in puncto M, super quod factus est circulus lunae ad finem eclipsis, contingens umbram in puncto H. Latitudinis autem lunae ad medium eclipsis nota est E, supra quam descriptus est circulus lunae ad medium eclipsis; unde evidens est tantam partem obscuratam esse de luna, quanta sui infra circulum umbrae cadit. Linea autem QEM denotat transitum lunae in tota eclipsi.

(Fig.: A,145r)

Linea autem ducta a Q per N in R denotat punctum umbrae oppositum puncto contactus lunae cum umbra ad introitum lunae in umbram; et linea ducta ab M in X per N denotat punctum umbrae oppositum puncto contactus lunae cum umbra ad finem eclipsis, vel ad exitum eius totalem ab umbra. -- Et eclipsabitur pars inferior lunae.
    (Ap479) Si autem velis scire, quot horis post occasum solis haec eclipsis incipiet, cum gradu solis quaeras arcum diurnum et nocturnum; et est arcus diurnus 202 gradus et 12 m'a, et nocturnus 157 gradus et 48 m'a. Deinde medietatem arcus diurni, scilicet 101 gra et 6 m'a, redactum ad minuta per 15 dividas, et exibunt 6 horae aequales et 55 m'a. Deinde arcum nocturnum totum ad minuta redactum per 15 etiam dividas, et exibunt 10 horae et 31 m'a. Quo habito, minuas horas medietatis arcus diurni de horis ad initium eclipsis, et remanebunt horae ab occasu solis ad initium eclipsis, scilicet 7 horae et 19 m'a. Si etiam horas arcus nocturni et horas medietatis arcus diurni simul iunxeris et ab aggregato horas ad initium eclipsis minueris, remanebunt horae ab initio eclipsis ad ortum solis, scilicet 3 et 12 m'a; a quo si minueris tempus durationis eclipsis, remanebit tempus a fine eclipsis ad ortum solis, scilicet 24 m'a.
    (Ap480) Si autem scire volueris, quando istae duae eclipses, solis scilicet et lunae, in tempore Christi contingunt, cum eclipsim solis invenisti in octavo mense anni Arabum +688+ imperfecti sicut et lunae, tunc ab annis unum minuas, et a mensibus similiter unum: ab annis, quia in ultimo anno fiet eclipsis, de quo habes aliquot menses; mensibus etiam minues unum, quia ultimi mensis dies habes. Remanebunt igitur +687+ anni et 7 menses et cum hoc dies aliquot, scilicet 28 dies, et 18 horae et 50 m'a, quantum ad eclipsim solis et quantum ad initium eclipsis eius. Tot igitur annis Arabum et tot mensibus et tot diebus perfectis cum tot horis et tot minutis lapsis de tempore Arabum incipiet eclipsis solis Parisius. -- Convertas igitur istud tempus in tempus Christi, sicut in principio libri dicebatur, et invenies cum annis Arabum 688 et 7 mensibus de tempore Christi fluxisse +anni+ 1289 et menses +trigenarii+ 7 et 9 dies. Reduc ergo menses ad dies, multiplicando eos per 30, et producto, scilicet 210, addas 9 dies; et productum, scilicet 219, quaeras in kalendario Linconiensis, et invenies consimilem numerum e directo septimi diei Augusti. Tot igitur menses de anno Christi imperfecto fluxerant quot sunt ante Augustum, scilicet 7, cum 7 diebus, cum toto tempore Arabum praeter dies mensis Arabum imperfecti, scilicet 28 et 18 horas cum aliquot minutis. Adde igitur 28 dies supra dies ab initio anni, et productum, quod est 247, quaeras in eodem kalendario, et invenies ipsum e directo quarti diei Septembris. Cum ergo quaelibet <dies> secundum astronomos incipit in meridie diei praecedentis et terminatur in meridie sui, evidens est, totum tempus istud dierum perfectorum terminari in meridie quarti diei Septembris; et ideo horas et minuta, quae sunt ultra dies, ad horam initii eclipsis solis iam inventae, extendas a meridie huius quarti diei, et invenies eam contingere ante meridiem diei quintae, super E litteram, absque omni dubitatione.
    (Ap481) Tempus etiam eclipsis lunae iam inventae hoc modo consimili aequabis, quia cum 688 annis et 7 mensibus Arabum invenies sicut prius de tempore Christi 1289 annos et 7 menses trigenarios et 9 dies praecise, qui menses et dies valent 219 dies; quibus si addideris dies mensis Arabum imperfecti, scilicet 14, quos ad horam eclipsis invenisti, erunt dies perfecti 233; quos invenies e directo 21'i diei Augusti, supra B. Hii igitur dies terminati sunt in meridie diei quae est profestum Symphoriani. A meridie igitur diei extendas horas et minuta ad initium eclipsis lunae iam inventae; et erit in nocte sancti Symphoriani post matutinas.
    Et nota quod, si in convertendo tempus Arabum in tempus Christi superfuissent ultra dies duae 4'ae vel tres, debuisset utraque eclipsis posterius ad diem unum pronuntiari; cuius ratio tacta est in principio capituli in illo capitulo Si vero annos Christi vel Alexandri (:Ap60).
    Et haec de eclipsium aequatione dicta sufficiant et de circumstantiis earundem, nec oportebit de aliquo hic dictorum dubitare.

------------------

(Ap482) Si autem in quo gradu (209-60): postquam auctor determinavit de hac passione quae est eclipsis, contingens soli et lunae ex eorum adinvicem coniunctione vel oppositione, consequenter auctor hic incipit determinare de quibusdam passionibus quae contingunt aliis planetis et stellis per comparationem eorum adinvicem vel ad solem. Et facit duo, quoniam primo (209-35) intendit dare modum investigandi horas noctis per stellam quamlibet, et secundo (236-60) super quoddam in principio libri omissum regreditur, cum dicit Quia in huius operis initio. -- Et quia ad sciendum horas noctis per stellam oportet locum eius cognoscere, in qua parte caeli sit, ideo auctor duo hic facit, quoniam primo (209-23) docet loca omnium stellarum verificare ad visum, et secundo (224-35) docet intentum, cum dicit Cum autem buth.
    Circa quam partem intellegendum est quod loca stellarum, sive fixarum sive erraticarum, quae extrahuntur de tabulis, sunt in octava sphaera; et ideo, cum octava sphaera etiam movetur quodam motu proprio, nunc accedendo ad caput arietis et nunc recedendo ab eodem in nona sphaera, necessarium est, ad veram altitudinem stellarum habendam et latitudinem vel declinationem, motum octavae sphaerae et motus eius quantitatem cognoscere. Et ideo facit auctor duo, quoniam primo (209-20) docet invenire verum locum visibilem omnium stellarum <aliarum> a sole et luna, et hoc in octava sphaera; et secundo (221-23) docet invenire motum octavae sphaerae, cum dicit Cum motum accessionis. -- Adhuc circa primum duo facit, quoniam primo (209-10) docet invenire loca stellarum fixarum, et secundo (211-20) planetarum, utrum scilicet et quando nobis apparent in caelo, ibi Cum proiectiones radiorum. -- Adhuc facit duo in prima parte, quoniam primo (209) docet faciliter per tabulam quandam invenire, in quo signo est et in quo gradu signi, et in quam partem caeli declinat; et secundo (210) ex incidenti et secundario, non ex intento, docet invenire longitudines et latitudines regionum notabilium et civitatum, quia modo consimili quodammodo haec duo inveniuntur, scilicet loca stellarum et longitudines et latitudines regionum. Et incipit secunda pars ibi Tabula vero secunda.

(Ap483) Circa primum (209) notandum est quod in tabula quae intitulatur "tabula locorum stellarum fixarum etc." (LA12), scribuntur loca stellarum fixarum magis notabilium, scilicet in quo signo et in quo gradu signi sit, et in quam partem sit ab aequinoctiali et ecliptica. Distantia autem stellae a primo puncto signi, in quo est, vocatur hic eius "longitudo"; et distantia eius ab aequinoctiali vocatur eius "declinatio"; et elongatio eius ab ecliptica vocatur eius "latitudo". Et ideo primo ponuntur nomina stellarum; et in secunda linea signa in quibus sunt singulae; et in tertia linea longitudo earum ab initio signi in quo est quaelibet; et in 4'a linea latitudo earum, elongatio scilicet cuiuslibet ab ecliptica; et in 5'a linea pars latitudinis, utrum scilicet quaecumque distet ab ecliptica in meridiem vel septentrionem; et in 6'a linea ponitur declinatio cuiuslibet, quantum scilicet distat ab aequinoctiali; et in 7'a linea pars declinationis, scilicet utrum distet ab aequinoctiali in meridiem vel in septentrionem; et ultimo ponitur una linea, de qua canon non facit mentionem, in qua linea ponitur gradus qui semper cum stella venit ad meridianum: quotus scilicet gradus zodiaci vel eclipticae est ab ariete, qui tunc est in meridiano quando stella illa est in meridiano.
    Verbi gratia, Aldebaran ponitur in capite primae lineae; et e directo eius, signum in quo est, scilicet taurus; et post, gradus in quo est, scilicet 28; et latitudo eius consequenter, scilicet 5 gradus et 10 minuta; et pars latitudinis, in quam scilicet est sua latitudo, scilicet meridiana; et declinatio eius ab aequinoctiali, scilicet 14 gradus et 41 m'a; et pars declinationis, scilicet septentrionalis; et in ultima linea ponitur gradus cum quo mediat caelum, id est cum quo venit ad meridianum, scilicet 57'us ab ariete, qui est scilicet 27'us gradus tauri. Hiis visis patet capitulum planissime.

(Ap484) Tabula vero secunda (210): hoc capitulum faciliter docet invenire longitudines et latitudines regionum et civitatum, in tabula huic capitulo deserviente (MA11) signatarum. Est autem latitudo, ut supra satis ostendebatur, arcus cadens inter zenith regionis vel civitatis +medie+ et aequinoctialem; et hic est aequalis arcui cadenti inter polum septentrionalem et horizontem apud omnes regiones notas nobis. Longitudo autem regionis accipitur hic esse arcus longitudinis cadens inter meridianum alicuius civitatis vel regionis hic positarum et meridianum Gadum Herculis. Unde, si videre velis, de quot horis prius est meridies vel ortus solis in aliquo loco quam in quocumque alio, subtrahe longitudinem unius a longitudine alterius, quae maior est; et residuum quot graduum fuerit, ad totiens 4 minuta horae prius erit meridies et ortus solis apud locum maioris longitudinis quam apud locum longitudinis minoris.
    Sicut patet: cum longitudo Parisius ab occidente medii mundi est 40 graduum, et longitudo Toleti 28 graduum et dimidii, si longitudinem Toleti, quae minor est, de longitudine Parisius diminueris, remanebit longitudo inter meridianum Parisius et Toleti, 11 gra et dimidii, qui valent 46 minuta horae. Ad tantum igitur temporis prius est meridies Parisius quam Toleti; et cum meridies est Toleti, ad 46 minuta horae lapsus est dies a meridie Parisius, et ad 11 gradus cum dimidio declinat sol Parisius, cum est in meridiano Toleti. Hinc est quod supra tempus eclipsis vel alicuius alterius inventum ad Toletum addimus 46 minuta ad habendum eundem locum solis et lunae et aliorum planetarum Parisius. Hoc viso, capitulum est satis planum cuilibet inspicienti.

(Ap485) Cum autem proiectiones radiorum (211-20): auctor hic, intendens determinare artem investigandi locum visibilem cuiuslibet planetae, facit tria, quoniam primo (211-13) determinat de radiorum planetarum proiectione, et secundo (214-16) de ortu et occasu eorundem, et tertio (217-20) de apparitione et occultatione eorum. Secundum facit ibi Cum volueris ortus vel occasus, et tertium ibi Cum ergo volueris scire.
    (Ap486) Circa primum intellegendum est quod capitulum istud supponit capitulum ultimum Theoricae Planetarum, quod est de aspectibus. Est autem aspectus quadruplex ad praesens, scilicet sextilis, quartus, trinus et oppositionis, et, si velis, coniunctionis. Sextilis, quando inter duos planetas fuerit sexta pars circuli vel prope; quartus, ut quando inter eos fuerit quarta pars circuli; trinus, quando tertia; oppositionis, quando unus est in aliquo gradu et alter in eius nadir vel prope; coniunctionis, quando sunt simul, vel corporaliter vel lumine.
    Isti autem aspectus sic inveniuntur. Quaeras ascensiones gradus zodiaci, in quo est planeta, ad tabulas ascensionum in circulo directo (BB11), et consimiliter quaeras ascensiones gradus zodiaci, in quo est aliquis alter planeta, ad easdem tabulas, et ascensiones unius ab ascensionibus alterius subtrahe. Et residuum si fuerit 60 gradus vel prope, aspiciunt se illi duo planetae sextili aspectu; et si illud residuum fuerit 90 gradus vel prope, aspiciunt se quarto aspectu; si etiam residuum illud fuerit circa 120 gradus, aspiciunt se trino aspectu; si vero fuerit 6 signorum, tunc sunt oppositi; et coniuncti corporaliter, si nihil. Et si fuerit illud residuum tantum quantum comprehendit alterius splendor, sunt coniuncti lumine. Haec igitur omnia supponit capitulum istud.
    (Ap487) Ulterius hic advertendum est quod negotium istud vadit (211:) super tres facies cuiuslibet signi. Et credo quod auctor velit vocare "primam faciem" primos decem gradus signi cuiuslibet, et sequentes decem "secundam", et ultimos decem "tertiam".
    (Ap488) Ulterius credo quod "locus proiectionis radiorum talis aspectus" est locus in orbe signorum, ubi, vel primo vel maxime, influit planeta in tali aspectu se habens ad quemcumque alium planetam. -- Sive autem istud sit verum sive non, nescio, nec hoc credo esse negotii astronomi; sed artificis superioris forte interest hoc considerare.
    (Ap489) Sententia tamen capituli (211-13) stat in hoc quod, si velis scire proiectiones radiorum alicuius planetae, sextilis aspectus vel quarti vel trini -- et ponamus quod sextilis, sicut et auctor exemplificat -- considera, quis gradus sit ascendens in hora considerationis, et in quo signo et in qua facie signi est. Quo scito, quaere signum illius gradus ascendentis, et faciem signi, in qua est ascendens, quaeras, et hoc in tabulis proiectionis radiorum planetarum (NA11). Deinde considera quot gradus planeta, de quo quaeris, perambulavit iam de signo in quo est. -- Puta, sit planeta hic qui est Saturnus: esto quod sit in 15'o gradu piscium; accipe ergo ascensiones graduum residuorum signi eiusdem, scilicet 15 ultimorum piscium, ad circulum directum, quae sunt 13 gra et 48 m'a. Deinde has ascensiones minuas de linea sextilis aspectus ad faciem gradus ascendentis; et ponatur 4'us vel 5'us gradus arietis esse ascendens: has igitur ascensiones minues de linea sextilis aspectus primae tabulae, et remanent +96 gra et 18 m'a+. A quibus minuas signorum ascensiones, quae signa succedunt signo in quo est planeta de quo quaeritur, sicut sunt aries, taurus et cetera: minuas, inquam, donec minus remanserit quam ascensiones unius signi sequentis, per ordinem. Demas igitur ab illo residuo ascensiones arietis, quae sunt 27 gradus et 53 m'a, et ascensiones tauri, quae sunt 29 gra et 54 m'a, et ascensiones geminorum, quae sunt 32 gradus et 13 m'a, et remanent 6 gradus et 18 m'a; quos et quae si in gradus aequales converteris ipsius cancri, invenies 5 gradus aequales cancri et 30 m'a. Circa medium igitur sexti gradus cancri est proiectio radiorum sextilis aspectus Saturni.
    In isto stat sententia canonis, sicut mihi videtur; sive autem hic aliquid veri dixi vel non, non assero, quia in hac materia parum vidi et nihil audivi: transcendit enim hoc negotium considerationem simplicis astronomi.
    (Ap490) Cum volueris ortus vel occasus (214-16): circa istud capitulum notandum est, quid est quod dicitur planetam esse in ortu vel occasu matutino vel vespertino. Dicitur autem aliquis trium superiorum esse "in ortu", cum sol ab eo recedit, distans ab eo ad minus quam ad medietatem caeli, computando a planeta ad solem secundum successionem signorum; et est "in occasu", cum sol accedit ad eum, distans ab eo ad minus quam ad medietatem caeli, computando a sole ad planetam secundum successionem signorum. Unde, quia proportionaliter tanta est distantia solis a planeta secundum arcum zodiaci, quanta est planetae ab auge sui epicycli, ideo sequitur quod planeta semper erit inter centrum sui epicycli et solem, vel in auge cum sole, vel in opposito augis oppositus soli. Hinc etiam est quod planeta semper ante solis ortum apparet, cum argumentum eius fuerit +plus+ sex signis, et post eius occasum si fuerit +minus+ 6 signis; et si fuerit 6 signa, cum sole oriente occidit et cum occidente oritur. Ex hiis apparet quod, quamdiu sol recedit a planeta minus 180 gradibus, dicitur planeta oriri, loquendo de istis tribus superioribus. Et quia sic semper videtur planeta ante solis ortum, ideo isti tres dicuntur semper esse in ortu matutino quamdiu sunt in ortu; et per consequens semper dicuntur esse in occasu vespertino quamdiu sunt in occasu; et ita istis tribus neque contingit ortus vespertinus neque occasus matutinus, sicut patet inspicienti theoriam motus ipsorum et intellegenti quid dicitur per nomen "ortus" et "occasus" et per nomen "occasus matutini" vel "vespertini" vel "ortus matutini" vel "vespertini".
    (Ap491) Venus autem et Mercurius habent ortum matutinum et vespertinum et occasum matutinum et vespertinum. Cum enim medius motus solis a medio motu alicuius horum duorum numquam differt, secundum accessum planetae ad solem accipitur occasus planetae, et secundum recessum eius ab eo, ortus. Contingit autem planetam in utraque medietatum sui epicycli et accedere ad solem et ab eo recedere, et ideo in utraque medietatum dicitur oriri et in utraque occidere. Et ita in utralibet et oritur et occidit: oritur enim recedens ab auge ad punctum aequationis maximae, et occidit abhinc ad oppositum augis. Et in hac medietate, quae est secundum motum planetae ab auge ad oppositum augis, est versus orientem: ideo in hac medietate planeta semper est supra horizontem post solis occasum in vespere; et propter hoc, ortus eius in hac medietate dicitur "vespertinus", et occasus similiter. Cum autem planeta movetur ad punctum aequationis maximae ab opposito augis, semper recedit a sole et sic oriri dicitur, et abhinc vadens ad augem accedit ad solem, et sic dicitur occidere: ideo, cum istud sibi contingit in medietate occidentali, occidit ante solem et oritur similiter ante ipsum. Inde est quod planeta in hac medietate habet et ortum et occasum matutinum: quia, nisi occultetur sub radiis solis, semper in mane apparet ante solem.
    (Ap492) Hoc igitur praeintellecto facile est capitulum (214-16). Et facit auctor hic duo: primo enim (214) docet auctor invenire, utrum aliquis trium superiorum in ortu sit vel in occasu, qui se habent ad solem solum duobus modis; et secundo (215-16) docet idem de Venere et Mercurio, qui se habent ad solem quattuor modis, cum dicit Venus autem et Mercurius. -- Prima pars (214) patet per ea quae praemisi.
    (Ap493) Venus autem (215-16): hic facit duo, quoniam primo (215) docet invenire ortum et matutinum et vespertinum Veneris, et secundo (216) docet Mercurii, cum dicit Mercurii vero argumentum.
    (Ap494) Et proponit primo (215) de utroque simul, dicens quod Venus et Mercurius, quia propter velocitatem et tarditatem sui motus volvuntur circa solem semper, habent se ad solem 4 modis. -- Et patet usque ad finem capituli, nisi quod quaedam vocabula indigent expositione.
    In 4 signa et 17 gradus: exclusive supple, quia in 17'o gradu incipit aequatio argumenti minorari, ut manifestum est in tabulis (EA71). Sole velocior: quia est directa et praeter motum medium, quem habet aequalem medio motui solis, movetur versus orientem fugiens a sole. Et a 4 signis et 17 gradibus: inclusive. Tuncque tardat rediens ad solem: quia iam minoratur aequatio argumenti secundum quod plus accedit ad oppositum augis; et ideo, quia motus suus non est maior motu solis nisi secundum augmentum aequationis supra suum medium motum, ergo rationabile est eius motum tardari, cum minoratur eius aequatio. Et propter hoc subdit auctor: consequitur eam sol atque praeterit, scilicet eam. In 7 signa et 13 gradus: inclusive supple. Eritque tardior sole: quia, cum Venus in hoc toto arcu deambulat, est medius motus eius maior vero, et pro maiori parte est retrograda. Et a 7 signis et 13 gradibus: exclusive.
    (Ap495) Consimiliter suo modo intellegas in Mercurio (216), quia primus casus intellegi debet inclusive et secundus exclusive, et cetera.
    (Ap496) Cum vero volueris scire ortum (217-20): determinat hic de apparitione et occultatione planetarum. Et primo (217) facit hoc in grosso, et secundo (218-20) magis exquisite, cum dicit Cum ergo hoc tibi placuerit.
    (Ap497) Dicit primo (217) quod, cum volueris scire ortum cuiusvis trium superiorum, quando praetermissus a sole inceperit in mane apparere, considera argumentum eius aequatum: quod si fuerit prope 20 gradus, erit planeta incipiens apparere, exiens de sub radiis solis; occultari autem incipit atque tegi sub radiis, cum fuerit idem argumentum prope 340 gradus. Veneris autem et Mercurii apparitio orientalis erit, cum fuerit argumentum eorum prope 20 gradus.
    Contra diceres tu quod Venus et Mercurius, sicut et alii planetae, distantes ab augibus epicyclorum suorum ad minus quam ad 180 gradus, per dicta semper apparent post solis occasum; quomodo igitur Venus et Mercurius apparebunt in oriente, cum ipsorum argumentum fuerit circa 20 gradus, sicut auctor hic dicit? Constat enim quod non videbuntur, antequam sol circa aliquot gradus fuerit sub horizonte; cum igitur videantur, hoc erit prope horizontem in occidente et non in oriente. -- Dico quod ad istud, exponendo hoc quod dicitur "in oriente" vel "orientalis" pro oriente +planetae+ et non oriente simpliciter totius caeli. Planeta enim inter augem et terminum aequationis maximae per praehabita dicitur "oriri": hic enim "oriri" est a sole elongari. Et iste est ortus qui vocatur "ortus heliacus", et tu arguebas de ortu cosmico; et ideo non valuit instantia.
    (Ap498) Cum ergo hoc tibi placuerit (218-20): docet hic exquisite et determinate invenire, quando planeta apparet et quando est occultus, et si apparet, utrum est oriens vel occidens. Et facit duo: primo enim (218) dat documentum generale de tribus superioribus, et secundo (219-20) de Venere et Mercurio, ubi dicit Veneri autem et Mercurio.
    (Ap499) Dicit igitur primo (218) quod, cum placuerit tibi investigare hoc, <utrum> scilicet occultatur sub radiis vel apparet planeta, locum cuiusvis planetae de numero trium superiorum aequatum considera, et locum solis similiter, et considera similiter differentiam horum, subtrahendo unum locum ab alio. Et considera, cuius haec differentia sit, an solis vel planetae horum trium: cuius enim locus plures gradus habuerit, illius erit differentia.
    Quae differentia si fuerit planetae, tunc erit idem planeta vel apparens in occidente vel sub radiis solis protectus. -- Hoc igitur modo scies utrum istorum trium aliquis fuerit in occasu vespertino vel in ortu matutino, quia, cum verus locus solis minor fuerit quam verus locus planetae, sive apparet sive non, semper est in occasu. -- Intra ergo cum signo, in quo fuerit planeta, in tabula occasus planetae vespertini (OA11.*2), et accipias gradus qui ibi fuerint et minuta. Qui, scilicet gradus, si fuerint pauciores quam gradus differentiae praeacceptae inter solem et planetam, tunc apparet planeta in occidente, scilicet post solis occasum; si autem plures fuerint gradus inventi in tabula occasus quam gradus praedictae differentiae, tunc planeta est protectus sub radiis solis.
    Si autem supradicta differentia fuerit solis, ita quod locus verus solis fuerit maior quam locus planetae, tunc planeta vel est apparens in oriente ante solis ortum vel occultatus sub radiis. Ingredere ergo cum signo, in quo fuerit planeta, in tabulam ortus matutini planetae (OA11.*1); et gradus quos ibi inveneris si fuerint plures quam gradus differentiae inter solem et planetam, tunc est planeta sub radiis solis occultatus; si vero pauciores fuerint, erit apparens versus orientem ante solis ortum. Iste est modus operandi in tribus superioribus.
    Et nota causam, quare planeta semper est sub radiis non apparens, quando gradus in tabula inventi fuerint plures quam differentia inter solem et planetam, et quare est apparens cum fuerit e converso: illud enim, quod ponitur in tabula, est distantia a sole, citra quam nullus horum trium est visibilis propter lumen solis offuscans planetam. Et idem intellegas de Venere et Mercurio.
    (Ap500) Veneri autem et Mercurio (219-20): prosequitur de Venere et Mercurio. Et ostendit primo (219) de Venere, et secundo (220) de Mercurio, cum dicit Mercurii autem argumentum.
    (Ap501) Et proponit de utrisque, dicens (219) quod Veneri et Mercurio est ortus et occasus vespere et mane. Et dicit tunc: Considera ergo differentiam solis et alterius horum de quo intendis, et considera, cuius illa differentia sit, sive solis sive alterius horum, sicut fecisti in tribus superioribus, et nota illam differentiam. Deinde considera de Venere, si de ea operari velis: si argumentum suum fuerit minus 137 gradibus, erit Venus in ortu vespertino, apparens vel occulta. -- Quod hic vocat auctor "137 gradus", prius vocavit "4 signa et 17 gradus". Quare autem Venus infra hunc terminum dicitur esse in ortu, et quare in ortu vespertino, prius dicebatur. -- Intra igitur, dicit auctor, in tabulam ortus vespertini Veneris (OA12) cum signo in quo fuerit; et si gradus, quos ibi inveneris, fuerint plures quam gradus differentiae quae est inter solem et Venerem, erit occulta; et si fuerint pauciores, tunc erit in ortu vespertino, apparens et directa, sicut patet per habita ante eclipses.
    Si autem fuerit eius argumentum inclusive a 137 gradibus in 180, erit in occasu vespertino, vel apparens vel occulta, et retrograda, scilicet pro maiori parte. Ad hoc igitur ut scias utrum appareat vel non, ingredere <tabulam> occasus vespertini eius, et scies per gradus ibi inventos cum signo, in quo est, utrum appareat vel non, sicut prius dictum est. -- Et si fuerit illius argumentum a 180 gradibus in 223 gradus inclusive, erit aut apparens in ortu matutino aut tecta radiis solis: intra igitur, et cetera ut prius. -- Si autem idem argumentum fuerit a 223 gradibus exclusive in 360, erit in occasu matutino, apparens vel occulta: intrabis igitur, et cetera.
    (Ap502) Mercurii autem argumentum (220): exsequitur de Mercurio, et patet cuilibet de se quid dicit littera.
    (Ap503) Et ponatur exemplum de Saturno quantum ad primam partem capituli (:218); et ponatur Saturnus esse in 15'o piscium, sole existente in primo gradu piscium. Deinde minuas locum solis de loco Saturni, et remanet differentia Saturni, quia in loco Saturni sunt plures gradus; est autem haec differentia 15 graduum vel prope. Intra igitur cum signo piscium ad tabulas occasus vespertini Saturni (OA11), quia differentia inter solem et Saturnum est Saturni, et invenies ibi e directo piscium 14 gradus. Cum igitur gradus sunt pauciores differentiae praedictae de uno gradu fere, ideo Saturnus est apparens, quia non est infra terminum infra quem videri non possit: terminus autem ille, Saturno existente in piscibus, est 14 graduum, qui ponuntur in tabula. Sed statim post unum diem non videbitur propter accessum solis ad eum.
    Item, quantum ad secundam partem capituli (:219), ponatur Venus esse in 10'o gradu virginis, sole existente in octavo virginis: Veneris igitur est differentia, fere duorum graduum. Ponatur igitur argumentum Veneris aequatum esse 176 graduum: unde manifestum est Venerem esse in occasu vespertino. Si igitur velis scire utrum est apparens vel occulta sub radiis solis, intra tabulam occasus Veneris vespertini (OA12) ad signum virginis, et invenies ibi 7 gra et 43 m'a; unde constat Venerem esse sub radiis solis. -- Unde vides 4 esse introitus ad Venerem et Mercurium, et duos ad quemlibet trium superiorum.

(Ap504) Cum motum accessionis et recessionis (221-23): postquam auctor iam docuit aequare vel invenire vera loca stellarum visibilia, et hoc in octava sphaera, hic consequenter docet aequare motum capitis arietis, ducentis secum totam octavam sphaeram, ut motu eius invento vera loca stellarum inveniantur in sphaera nona. Et primo (221-22) facit hoc, et secundo (223) quoddam prius omissum resumit, cum dicit Cum autem centrum planetae.
    (Ap505) Sententia capituli (221-22) stat in hoc: Cum volueris examinare motum accessionis et recessionis circuli octavi, id est sphaerae octavae, ut per eum certissime invenire valeas altitudinem meridianam planetarum et stellarum fixarum, nec non et quantitatem portionis circuli eorum, portionis dico diurnae atque nocturnae, ingredere tabulam accessionis et recessionis (PA11) ad annos Arabum collectos, quemadmodum fit in extractione medii cursus planetarum: ingredere, inquam, cum annis Arabum perfectis nec non et cum imperfecto eis addito, et cetera.
    Quantum ad sententiam capituli sufficit ponere exemplum: anni igitur Arabum perfecti sunt 688, et nonus incepit. Ad tabulam igitur accessus, et cetera (PA11), in annis Arabum collectis cum hiis annis ingredere, et invenies e directo 660 annorum 1 signum 28 gra 23 m'a 20 secunda. Deinde cum residuis tabulam annorum expansorum ingredere, scilicet cum 29 annis, et invenies e directo eorum 2 gradus 29 m'a 48 secunda, quibus ad praecedentia aggregatis fiunt 60 gradus et 53 m'a et 18 secunda. Quaere igitur tot gradus in tabula aequationis diversitatis longitudinis capitis arietis ab aequatore diei (PB11.Lca), et invenies e directo 60 graduum 9 gradus 17 m'a 44 2'a. Deinde intra eandem tabulam cum 65 gradibus, quia tabula per 5 gradus crescit, et ibi invenies 9 gradus 43 m'a et 53 2'a; deinde de secunda aequatione primam minuas, et remanent 26 gra et 9 s'a. De quibus accipias partem proportionalem secundum proportionem minutorum et secundorum ultra primum introitum de 5: multiplica ergo differentiam duarum aequationum in minuta et secunda ultra primum introitum, et exibunt in quartis 5001972, quibus divisis per 5 gradus exibunt iterum in quartis 1000394, quae valent 4 m'a et 38 s'a. Quibus additis in aequationem primam, erunt in motu octavae sphaerae 9 gradus 22 m'a et 22 2'a; quod totum debet addi ad loca stellarum inventa, cum gradus, cum quibus ad ultimam tabulam intrasti, fuerunt pauciores 180; et invenies loca stellarum aequata in nona sphaera.
    (Ap506) Et dat auctor alium modum istud faciendi (222), et patet sententia. Verbi gratia, cum 60 gradibus 53 m'is et 8 s'is intra tabulam aequationis dimidii diametri circuli parvi (PB11.Ddc), ad duos introitus ut prius, et invenies differentiam utriusque aequationis ibi sumptae esse 7 m'a et 33 secunda. Quae multiplices in minuta et secunda quae fuerunt ultra primum introitum cum gradibus, et exibunt in 4'is 1444164, quibus divisis per 5 gradus exibunt in quartis 288833, quae valent unum minutum et 20 s'a; quae addas primae aequationi cum 60 gradibus acceptae, et erit in toto 3 gradus 46 m'a et 6 secunda. -- Cum quibus intres tabulam declinationis (BA21?), et aequabis pro tot gradibus et minutis sicut in inventione portionis per sinum, et invenies primo, cum 3 gradibus intrando et 35 minutis et 5 secundis, 9 gradus versus sinistram. Deinde gradus, cum quibus iam intrasti, et minuta et secunda, ab omnibus cum quibus intrare voluisti subtrahas, et remanent 11 m'a et 1 secundum. Deinde gradus, minuta et secunda, cum quibus iam intrasti, minuas etiam de gradibus, minutis et secundis proximo sequentibus, et remanent 23 m'a et 41 s'a. Facto igitur isto, multiplica primam differentiam, scilicet 11 m'a et 1 secundum, per 60 m'a unius gradus, et productum divide per differentiam secundam, quae est 23 m'a et 41 s'a, et exibunt in fine 28 m'a fere.
    Vides igitur quod haec operatio non ex toto convenit cum priori; cum prima autem est semper operandum. -- Theoria autem motus octavae sphaerae plenissime tradita est apud Thebith, et ideo te ad ipsum revoco.

(Ap507) Cum autem centrum planetae (223a): hic auctor regreditur super quiddam omissum supra in aequationibus planetarum, et patet de se cuilibet.

(Ap508) Cum autem buth solis (224-35): hic intendit artem investigandi horas noctis per stellas.
    Et quia hora per stellam aliquando quaeritur ad tempus di<--> +praesenti+ nunc, et hoc per stellam fixam vel erraticam, et quia stellae fixae quidem habent loca certa, erraticae autem non: et ideo, cum stellae erraticae secundum diversa loca caeli aequalem etiam latitudinem in diversis temporibus attestantur, horis pluribus noctis transactis, aliquando paucioribus: ad sciendum horam noctis per stellam erraticam necessarium est praecognoscere quando stella erratica quodlibet minutum caeli ingreditur.
    Et ideo auctor duo hic facit, quoniam primo (224-29) docet investigare, quando planeta quodcumque minutum caeli ingredietur; et secundo (230-35) docet intentum, cum dicit Cum cuiusvis planetae. -- Adhuc primo sciendum quod ingressus planetae in aliquod minutum caeli non scitur nisi scito buth planetae, scilicet quantum planeta in die movetur. Ideo auctor primo (224) docet invenire buth planetae, et secundo (225-29) docet quando planeta minutum aliquod ingredietur, cum dicit Cum in qua hora.
    (Ap509) Capitulum primum (224) planissimum est. Hoc autem capitulum minime est praecisum, cum secundum motum eius verum inaequaliter moveatur planeta; sed error erit modicus in paucis diebus. Sed cum intellegere oportet buth planetae esse motum planetae medium in uno die, iam capitulum praecise est verum, sicut ego ponam exemplum in capitulo proximo.
    (Ap510) Cum qua hora sol (225-29): per buth planetae inventum docet investigare horam qua planeta ingrediatur vel egrediatur quodcumque minutum vel a quocumque minuto caeli. Et facit duo, quoniam primo (225) dat artem generalem ad id quod iam dictum est; et secundo (226-29) per hanc artem docet specialiter invenire horam revolutionis anni natalis, quae habetur per ingressum solis in idem minutum caeli in quo erat in hora nativitatis alicuius, et horam similiter revolutionis anni mundani, quae habetur per ingressum solis in primum minutum arietis. Secunda pars incipit ibi Si autem qua hora.
    (Ap511) Sententiam capituli (225) accipias cum exemplo operationis. Cum invenire volueris, qua hora sol vel luna vel quicumque aliorum planetarum quodcumque minutum ingressurus fuerit, puta sol quando ingressurus fuerit arietis minutum primum, aequa planetam, puta solem, ad medium diem, id est ad meridiem, propiorem eidem horae considerationis tuae. -- Et ponatur tempus considerationis tuae de sole esse 5'o die Septembris, lapsis 5 horis et 34 minutis post meridiem, anno domini 1290'o. Aequa ergo planetam ad meridiem eiusdem diei quintae Septembris, et similiter ad diem praecedentem, et subtrahas unum ab alio, et invenies buth solis eundem cum medio motu suo in uno die; nec oportet aequare aliter, sed statim accipere medium motum planetae in die: est ergo buth solis 59 m'a et 8 secunda.
    Dicit autem auctor: Et considera buth planetae in eadem die; scito quoque horas illius diei ab ortu solis ad eius occasum, et horas noctis, <atque mediae diei>, scilicet a meridie ad occasum vel ab ortu ad meridiem. Hoc scire totum quandoque est necessarium, scilicet ad inveniendum horam revolutionis anni natalis per capitulum sequens. Postea longitudinem, id est arcum qui est inter planetam, puta solem, et minutum quaesitum, puta primum minutum arietis, divide per buth planetae, puta solis, inventum, scilicet per capitulum praecedens.
    Verbi gratia, in hora considerationis praedicta fuit (:Ap438) sol per medium motum distans ab ariete per 5 signa 11 gradus 51 m'a et 20 s'a; quod si de toto circulo minueris, remanet arcus inter solem et primum minutum arietis, scilicet 6 signa 18 gradus 8 m'a et 40 secunda. Quae redigas ad secunda, et erunt 713320; quae dividas per buth planetae, puta solis, et exibunt dies, scilicet 201; quodque remanserit, scilicet 172 2'a, multiplica in 24, et quod inde provenerit, scilicet 4128 2'a, divide per eundem buth planetae, et invenies horam, immo unam solam; et quod remanserit, scilicet 580, reduc in minuta, horae supple, et hoc fiet dividendo ea per 60 minuta unius horae, et exibunt hic fere decem minuta horae. Et sic habebis dies et horas atque minuta longitudinis, scilicet temporis inter tempus considerationis tuae et initium ingressus planetae, scilicet solis, in primum minutum arietis. Quae debes addere tempori ad quod aequasti planetam, scilicet ad 5 horas et 24 m'a post meridiem quintae diei Septembris, et habebis ab initio Septembris ad ingressum solis in arietem 206 dies 6 horas et 44 m'a; quod si reduxeris ad menses Christi, invenies solem ingredi arietem in die annuntiationis beatae virginis, post occasum modicum.
    Si autem probare velis utrum hoc sit verum, convertatur tempus Christi, scilicet 1290 anni 2 menses et 24 dies praeter 6 horas et 44 m'a, in annos, menses et dies Arabum, et invenies 689 annos 2 menses 23 <dies> et 6 horas et 44 m'a; ad quod tempus aeques solem, et invenies medium motum solis esse 43 2'a praecise et nihil ultra. -- Hoc igitur modo scies ingressum planetae cuiuslibet in locum caeli quemcumque secundum medium motum.
    (Ap512) Si tunc velis scire, quando corporaliter minutum istud ingredietur, aequa locum eius per medium motum iam inventum, ut scias verum locum eius ad horam iam inventam; et per buth eius +secure+, scilicet per motum suum medium in uno die, divide arcum qui est inter verum eius locum et medium eius motum, et invenies quando corporaliter minutum quaesitum ingredietur vel ingressus est. -- Verbi gratia, medio motu suo existente 43 2'a, est verus locus unus gradus 56 m'a et 16 s'a; quae redigas ad secunda 6976 et dividas per buth solis sicut prius, et exibit unus dies; et residua sunt 3428 s'a, quae multiplicabis per 24, et productum divide per eundem buth solis, et exibunt 23 horae; et residua scilicet 668 secunda dividas per 60, et exibunt minuta horae scilicet 11. Cum ergo sol iam per verum motum suum transivit primum minutum arietis, minuas istud tempus de tempore ingressus solis in arietem per medium motum, et invenies eum corporaliter ingredi arietem decimo Kal. Aprilis, circa unam horam cum dimidia post occasum; et istud est ad Toletum et ad octavam sphaeram. -- Si autem velis hoc idem habere in 9'a sphaera, per buth planetae divide sicut modo motum octavae sphaerae, et tempus exiens a tempore iam invento minuas, si motum octavae sphaerae a locis planetarum oporteat minuere, et cetera.
    (Ap513) Sed vere haec ars non est adhuc omniquaque praecisa, sed sic opereris, ne fallaris: longitudini, quae est inter planetam in hora considerationis secundum medium motum et punctum quaesitum, addas motum octavae sphaerae, et productum divide per medium motum planetae in uno die, eo modo quo iam fecisti, et invenies tempus ingressus planetae secundum motum eius medium in minutum quaesitum in 9'a sphaera. Quo facto, aequa planetam +supra+ medium motum iam acceptum, secundum punctum quaesitum scilicet, et differentiam quae est inter verum locum planetae et medium, vel punctum quaesitum, divide per buth planetae: buth autem istud invenies per artem auctoris in capitulo praecedente. -- Et caveas quod, si planeta iam corporaliter transivit punctum quaesitum: tunc buth planetae erit quod est inter verum locum planetae die ingressus sui in minutum quaesitum secundum medium motum, et verum locum eius die praecedenti proximo; si vero nondum ipsum attigit, tunc buth accipietur ad diem sequentem; et fiet ita praecise, sicut possibile est umquam praecisius fieri. -- Cum autem inveneris tempus, quo planeta corporaliter minutum quaesitum ingreditur, aequa planetam ad idem tempus, et invenies eum in eodem loco; et si discordaverit etiam in minimo +quasi+, tibi, non mihi, imputabis.

(Ap514) Si autem qua hora annus natalis (226-29): ex arte iam data docet auctor specialiter invenire horam revolutionis anni natalis et mundani. -- Et facit duo: primo enim (226-27) inventionem utriusque quasi via consimili docet, et secundo (228-29) ad inveniendum horam revolutionis anni natalis dat modos speciales, cum dicit Vel aspice quot transierunt. -- Primo adhuc (226) dat artem suam de revolutione anni natalis, et secundo (227) quasi consimilem de revolutione anni mundani, cum dicit Si vero revolutionem anni mundani.
    (Ap515) Circa primam partem (226) notandum est quod hora revolutionis anni natalis alicuius est hora qua sol ingreditur minutum illud, in quo fuit in hora nativitatis eius. Et ideo dicit auctor: Si placuerit tibi indagare, id est inquirere, qua hora annus natalis revolvatur, id est incipiat vel finiatur, ad hoc habendum considera per praecedens capitulum, qua hora sol ingrediatur minutum in quo fuerit in initio nativitatis; ad quam, scilicet horam, constitues ascendens, quod est initium domus primae, revolutionis anni natalis, et aequabis planetas. -- Quasi dicat auctor: Cum horam revolutionis anni natalis inveneris, videas quis gradus est eadem hora ascendens; et quia ascendens est initium domus primae, ideo et videas dispositiones aliarum domorum; et aeques planetas ad eandem horam, ut scias quis in qua domo fuerit; ut, habita perfecta figura caeli, aliquid circa natum in illo anno contingentium forsitan, ut credit iudex astrologus, possit deprehendi.
    (Ap516) Si vero revolutionem anni mundani (227): haec est via quasi consimilis, quia, sicut se habet revolutio anni natalis <**> ad horam qua sol ingreditur minutum in quo erat in initio anni mundani, scilicet primum minutum arietis. Et quia per capitulum praecedens dixi tibi, qualiter invenies horam qua sol ingreditur quodlibet minutum, et per consequens primum minutum arietis, ideo de exemplificando hic non immorabor.
    (Ap517) Vel aspice (228-29): hic dat auctor artem specialem de revolutionis anni natalis hora invenienda. Et facit duo, secundum quod dupliciter hoc docet; secundo (229) ibi Vel si aliter idem.
    (Ap518) Prima pars stat in multiplicatione et divisione simplici, et secunda in ascendentis ad horam revolutionis anni natalis inventione, et ambae operationes cum prima concordant; ideo partes istas volenti iudicare committo, cum ipse magis noverit ad quid valent.

(Ap519) Cum cuiuslibet planetae etc. (230-35): postquam auctor dedit artem inveniendi horam, qua planeta ingreditur quodvis minutum caeli, consequenter docet per stellam apparentem de nocte invenire horas noctis praeteritas. Introducitur autem haec pars sicut dicebatur in principio illius capituli Cum autem buth solis. -- Et dividitur haec pars in duas partes, quoniam primo (230-31) docet invenire moram cuiuslibet stellae, immo generaliter cuiuslibet gradus caeli, supra terram, et secundo (232-35) ex hoc ostendit intentum, cum dicit Cum vero quot horae. -- Adhuc primo (230) praemittit auctor quaedam, per quae investigat moram alicuius puncti supra terram, et secundo (231) prosequitur de intento, cum dicit Multiplica itaque sinum latitudinis.
    (Ap520) Sententia quia facilis est circa partem primam (230), ideo exemplificando simul sententiam ponam. Unde scias quod idem est modus operandi hic de stella fixa et de alia erraticarum a sole, quia de sole nihil ad propositum; et similiter etiam idem est iudicium de quocumque gradu zodiaci vel cuiuscumque puncti caeli.
    Dicit tunc auctor: Cum placuerit tibi investigare longitudinem diei, id est moram supra terram cuiusvis planetae vel stellae fixae, vel etiam cuiuslibet gradus circuli, <considera latitudinem planetae> et declinationem gradus in quo fuerit planeta: id est, considerabis etiam quantum pars eclipticae correspondens gradui zodiaci, in quo est planeta, declinat ab aequinoctiali; et hoc faciliter habetur per tabulam declinationis solis (BA21?). Et, considera supple, partem utriusque, scilicet tam latitudinis planetae quam declinationis gradus in quo est, utrum scilicet ambae sint septentrionales vel ambae meridianae. -- Quasi dicat quod tu videbis utrum et gradus, in quo est planeta, sit inter polum septentrionalem et aequinoctialem, et cum hoc planeta sit inter polum eundem et eclipticam; vel si et gradus, in quo est planeta, sit inter polum meridionalem et aequinoctialem, et cum <hoc> planeta sit inter eundem polum et eclipticam; et in utroque istorum modorum imaginor eclipticam esse inter planetam et aequinoctialem. Vel videbis si latitudo sit in unam partem et declinatio in aliam: et hoc semper est cum planeta fuerit inter aequinoctialem et eclipticam necessario.
    Quae, scilicet et declinatio et latitudo, si fuerint in eadem parte, scilicet vel ambae in meridiem vel ambae in septentrionem, iunge utrasque; si vero fuerint diversae, ita scilicet quod latitudo meridiana et declinatio septentrionalis vel e converso, tunc minorem de maiori subtrahe, id est latitudinem planetae de declinatione gradus, et quod remanserit erit elongatio planetae a linea aequinoctiali, in ea parte in qua fuerit, scilicet septentrionaliter si in septentrionem ab aequinoctiali est sua declinatio, vel et cetera. -- Idem etiam considera in stella fixa, sicut iam dictum est de planeta.
    Si autem feceris de gradibus solis, id est eclipticae, quae est via solis, cum non habet latitudinem sed est ipse terminus latitudinis, scito declinationem eius a linea aequinoctiali, sicut praemonstratum est, per tabulam declinationis secundum Almeonem (BA21). -- Et quia latitudo planetae habetur per tabulas aequationis suae, addit: latitudines stellarum fixarum usitatarum, scilicet quae consuetae sunt poni in tabulis et quae notabiles sunt in caelo, determinatae sunt in tabula earum (LA12?): quae docebatur per capitulum illud Si autem in quo gradu signi. -- Et ita, de quocumque velis operari, semper per praehabita nota est tibi et declinatio et latitudo.
    (Ap521) Esto itaque quod tu velis operari cum stella fixa ad inveniendum moram eius supra terram; et sit stella Aldebaran. Per iam dicta igitur videas latitudinem eius ab ecliptica, et est posita in tabula stellarum fixarum (LA12?) esse 5 graduum et 10 minutorum. Videas etiam in quam partem est, et constat per eandem tabulam quod sit meridionalis. Deinde videas in eadem tabula, in quo gradu est, et invenitur esse in 28'o gradu tauri secundum tempus verificationis stellarum illius tabulae. Videas igitur declinationem 28'i gradus tauri, et est per tabulam declinationis 19 gradus 48 m'a 48 2'a, et constat declinationem illam esse septentrionalem; ex dictis igitur patet stellam istam esse inter aequinoctialem et eclipticam. Minuas igitur latitudinem stellae huius, scilicet 5 gradus et 10 m'a, de declinatione gradus stellae, scilicet de 19 gradibus 48 minutis et 48 secundis; et remanet declinatio stellae septentrionalis ab aequinoctiali, scilicet 14 graduum 38 minutorum et 48 secundorum; sed propter faciliorem modum operandi sint 39 m'a, quia non causabitur ex hoc error.
    (Ap522) Subdit igitur auctor: Quaere itaque sinum longitudinis planetae vel stellae fixae vel etc.: quaere igitur sinum declinationis Aldebaran, scilicet 14 graduum et 39 minutorum, et est 37 m'a 56 2'a et 3 <3'a, id est> 136563 tertia. Deinde declinationem istam stellae de 90 minuas, et residui, scilicet 75 graduum et 21 minutorum, quaeras sinum, et erit 145 m'a 7 s'a et 6 tertia, qui erit sinus residui longitudinis, id est declinationis, stellae; serva etiam eum. Considera quoque sinum latitudinis regionis, quae latitudo est apud 7'm clima 48 graduum et 40 m'a, scilicet circa medium eius; huius autem sinus est 112 m'a 37 2'a et 45 3'a; et eum sub primis duobus sinibus signa. Postea diminue latitudinem regionis de 90, et residui, scilicet 41 graduum et 20 minutorum, sinum, qui est 99 m'a 3 2'a et 45 3'a, sub aliis tribus nota, qui erit, vocatus supple, sinus residui latitudinis regionis.
    (Ap523) Multiplica itaque (231): praemissis necessariis ad propositum investigandum, docet per ea propositum, scilicet moram stellae propositae supra terram investigare. Et facit duo, quoniam primo docet invenire arcum aequinoctialis, quem ducit stella secum ab ortu suo ad eius occasum, et secundo ex eo elicit horas morae suae supra terram, cum dicit Divide igitur.
    (Ap524) Dicit primo (231): Multiplica itaque sinum latitudinis regionis in sinum longitudinis, id est declinationis, stellae propositae ab aequinoctiali linea, et summam quae tibi provenerit, scilicet 55371516795, quae sunt 6'a, divide per sinum residui longitudinis stellae, qui est secundus sinus. Itemque, quod ex hac divisione provenerit, scilicet 105989 3'a -- nec curabis aliquid de sextis residuis, scilicet 107481, cum sint minus medietate divisoris -- duc in 150, quae sunt sinus totus, et numerum inde surgentem, scilicet 15898350, quae sunt 4'a, partire per sinum residui latitudinis regionis, qui fuit ultimus. Et sinus provenientis ex hac divisione, scilicet 44 minutorum 34 secundorum et 48 tertiorum, invenias circuli portionem, et erit 17 gra et 25 m'a fere. Quam portionem addas supra 180 gradus, cum longitudo stellae acceptae sit ab aequinoctiali septentrionalis; et quod fuerit post augmentum, id est additionem factam, est portio circuli stellae, scilicet Aldebaran: portio, inquam, diurna, id est arcus qui de aequinoctiali elevatur ab ortu stellae ad eius occasum; et erit 197 graduum et 25 minutorum. Divide igitur eam per 15, et habebis per quot horas aequales moretur super terrram; et exponit se, dicens: id est, quot horae aequales transeant ab ortu eius usque in ipsius occasum; et hoc ab initio huius capituli intendebatur. Et morabitur supra terram haec stella, quae est Aldebaran, ad medium 7'i climatis per 13 horas et 10 m'a, supposito quod ipsa sit in fine vicesimi octavi tauri, sicut scribitur in tabula.
    (Ap525) Sed hoc non est verum hodie, quia a tempore verificationis stellarum positarum in tabula fluxerant circiter 112 anni, qui large valent tempus motus stellae per unum gradum. Et ita dicatur secure Aldebaran esse circa finem 29'i gradus tauri; et ita etiam trahere potes motum stellae cuiuslibet in dicta tabula positae ad unum gradum ultra locum in quo invenitur in tabula.
    (Ap526) Et si advertere velis, comparando operationem istam ad id quod per instrumentum invenitur, invenies te errasse hoc modo operandi in 17 gradibus et plus; et ideo, cum dicit auctor portionem sinus inventam addendam esse vel minuendam 180 gradibus, glosabis sic: portionem, duplicatam scilicet. -- Cuius ratio est quia illa portio est arcus, secundum quem stella tardius oritur quam gradus zodiaci, in aequinoctiali; et ad tantundem arcum stella etiam tardius occidit quam gradus zodiaci, in aequinoctiali; et ideo oportet portionem inventam duplicari: istud diligenter nota. Sic enim operando invenies arcum diurnum Aldebaran esse 214 graduum et 50 minutorum, qui valent 14 horas et 19 m'a.
    (Ap527) Et stat istud capitulum super quadam demonstratione duorum processuum, quorum primus est: sicut se habet sinus residui declinationis stellae de 90 ad sinum declinationis stellae, sic se habet sinus latitudinis regionis ad quendam sinum 4'm: et ideo sinus residui declinationis stellae est primus, et sinus declinationis stellae secundus, licet e converso ordinantur in littera, et sinus latitudinis regionis est tertius. Et ideo multiplicamus sinum declinationis stellae per sinum latitudinis regionis, tamquam secundum per tertium, et productum dividimus per sinum residui declinationis stellae de 90, tamquam per primum, et exit quidam sinus 4'us; qui non est quaesitus, sed per ipsum, et sinum residui latitudinis regionis de 90, et per sinum totum, <invenitur sinus quaesitus>.
    Est enim secundus processus iste: sicut se habet sinus residui latitudinis regionis de 90 ad sinum, qui in primo processu invenitur, sic se habet sinus totus, scilicet 150 m'a, ad quendam quartum. Et ideo sinum in primo processu inventum multiplicamus per 150 m'a tamquam secundum per tertium, et productum dividimus per sinum residui latitudinis regionis de 90, tamquam per primum, et exit sinus quidam, cuius quaerimus portionem; et hanc portionem intellego esse arcum medium qui est inter stellam cum est in horizonte, oriens vel occidens, et aequinoctialem. -- Ita credo hic esse arguendum et intellegendum, nec aliud mihi apparet.

(Ap528) Cum vero quot horae (232-35): inventa mora stellae supra terram, vel cuiuscumque puncti caeli, intendit artem inveniendi horas noctis transactas, et cetera. Et facit duo: primo enim (232-34) docet invenire arcum elevatum de aequinoctiali ab ortu stellae ad horam considerationis; et secundo (235) docet invenire arcum aequinoctialis elevatum ab occasu solis, vel a principio noctis, ad horam considerationis, per quem arcum habetur intentum; et facit secundum ibi Postea aspice si gradus. -- Adhuc primo facit duo, quoniam primo (232-33) docet invenire quaedam quae sunt sibi necessaria ad propositum, et secundo (234) per ipsa et arcum morae suae super terram, per praecedens capitulum inventum, intentum investigat cum dicit Post haec quaere. -- Et quia duo sunt sibi necessaria ad propositum praeter id quod prius est inventum -- est enim sibi necessarium scire gradum, cum quo planeta vel stella aliqua oritur, et etiam altitudo stellae meridiana -- ideo primo (232) docet investigare primum, et secundo (233) secundum, cum dicit Deinde aspice si.
    (Ap529) Et in exemplificando ponam tibi sententiam capituli, sicut in praecedenti feci. Dicit igitur auctor (232): Cum volueris invenire per stellam quamlibet vel planetam, puta Aldebaran, quot horae transierint in nocte, considera longitudinem eius a linea aequinoctiali, sicut supra docuimus, scilicet iam immediate ante, et similiter in qua parte circuli sit. Et per dicta (:Ap521) patet quod longitudo ipsius Aldebaran ab aequinoctiali est septentrionalis, 14 graduum 38 minutorum et 48 secundorum, et accipiebatur esse 14 graduum et 39 minutorum. Quaere etiam portionem diei, id est arcum diurnum, illius <et portionem diei> gradus in quo fuerit stella, puta vicesimi octavi gradus tauri, et erit 227 gradus et 45 m'a. Accipe etiam arcum diurnum stellae Aldebaran per praecedens capitulum, qui est 214 gradus et 50 m'a, et differentiam utriusque portionis tolle, scilicet 12 gradus et 55 m'a; cuius differentiae medietas, scilicet 6 gradus et 28 m'a, erit quod est inter utrumque diem, scilicet stellae assumptae et gradus sui.
    Quod sic oportet intellegere quia, cum arcus aequinoctialis elevatus cum 28'vo gradu tauri excedat arcum aequinoctialis elevatum cum Aldebaran, ab ortu eius ad sui occasum, in duodecim gradibus et 55 minutis, necessarium est gradum illum tauri et prius oriri et posterius occidere quam oritur vel occidit Aldebaran, et de tanto posterius occidere de quanto prius oriri: in medietate igitur differentiae portionum diurnarum. Et ideo dicit auctor quod medietas huius differentiae est illud quod est inter utrosque dies, id est inter initia horum dierum quantum ad initium ortus utriusque, vel inter fines horum dierum quantum ad occasum utriusque.
    Tunc quaere etiam ascensiones regionis, id est ascensiones intrando ad tabulas regionis tuae vel climatis tui (BD*): ascensiones, dico, quae sunt ab initio arietis in gradum stellae, scilicet in 28'm tauri; et sunt 31 gradus et 47 m'a. Quibus addes illud quod est inter utrosque dies, quia portio diei gradus est maior portione <diei> stellae; et gradus ascensionum qui remanserint, scilicet 38 gradus et 15 m'a, post additionem eorum reduc in gradus aequales, et sunt 67 gradus fere. Quos extendis ab initio arietis, et in quo gradu terminaverint, ille erit cum quo oritur Aldebaran, scilicet 7'us geminorum.
    (Ap530) Deinde aspice (233): cum iam docuit invenire gradum cum quo oritur stella, docet consequenter invenire altitudinem eius meridianam, scilicet quantum elevatur cum fuerit in meridiano. -- Dicit igitur: Deinde aspice si longitudo, id est declinatio, stellae fuerit septentrionalis a linea aequinoctiali, sicut et est in proposito; eandem longitudinem adde altitudini arietis in eadem regione, id est in qua operaris, puta 41 gradibus et 20 minutis ad 7'm clima. Et quod post augmentum provenerit, illud erit altitudo stellae meridiana in eadem regione: scilicet, ad 7'm clima erit altitudo meridiana Aldebaran 55 graduum et 59 minutorum, et dicatur esse 56 graduum propter facilitatem operis.
    (Ap531) Post haec quaere (234): iam docuit auctor inventionem eorum, per quae investigantur quantum de aequinoctiali elevatum est ab ortu stellae ad horam considerationis; hic per ea et per portionem vel moram stellae supra terram hoc inquirit.
    Post haec quaere sinum versum dimidiae portionis diei stellae: portio diei stellae erat 214 graduum et 50 minutorum, cuius medietas est 107 graduum et 25 minutorum, cuius sinus versus est 195 m'a 7 s'a et 38 tertia; et accipe sinum aequalem, id est rectum, altitudinis planetae in hora probationis illius. -- Esto igitur quod Aldebaran in hora considerationis vel probationis tuae sit in altitudine 35 graduum. Quaere igitur sinum rectum 35 graduum, et est 86 minutorum 2 s'orum et 52 tertiorum; et eum ad 3'a redactum, tot 309772, multiplica in sinum versum dimidiae portionis diei planetae vel stellae, scilicet Aldebaran, et provenientem inde summam, scilicet 217601819576 in sextis, divide per sinum altitudinis stellae in media die. Cum igitur altitudo Aldebaran in 7'o climate est 56 graduum cum fuerit in meridiano, sinus eius erit 124 minutorum 21 s'orum et 20 tertiorum; idem in tertiis 447680. Per hunc igitur numerum tertiorum divide sexta praedicta, et quod exierit, scilicet 486066 tertia, minue de sinu verso medii arcus diei, et residui, scilicet 60 minutorum 6 secundorum et 32 tertiorum, quaere portionem, scilicet versam, quae est 53 gradus et 11 m'a sine dubio. Quam portionem subtrahe a dimidio portionis diei stellae, scilicet de 107 gradibus et 25 minutis; et quod fuerit post subtractionem, scilicet 54 gradus cum 14 minutis, est quod elevatum est de circulo, scilicet de aequinoctiali, ab ortu stellae in ipsam horam, scilicet probationis tuae, dato scilicet stellae altitudinem esse acceptam a meridiano versus orientem. Si vero fuerit stella ista in eadem altitudine versus occidentem, tunc addendo portionem iam inventam supra medietatem arcus sui diurni habebis etiam portionem aequinoctialis ab ortu suo elevatam, scilicet 160 gradus et 36 m'a.
    (Ap532) Postea aspice (235): postquam iam docuit auctor invenire arcum aequinoctialis elevatum ab ortu planetae vel stellae alterius ad horam considerationis, docet hic consequenter invenire arcum aequinoctialis elevatum a principio noctis, sive ab occasu solis, quod idem est, ad horam considerationis.
    (Ap533) Circa quam partem notandum est quod, cum sol et nadir solis simul sunt et non sunt in horizonte, sole declinante ad occasum, nadir accedit ad ortum; et quantum sol sub horizontem deprimitur, tantum eius nadir supra horizontem elevatur: ex quo sequitur ratio quare in astrolabio numeramus horas diei per nadir solis et noctis per gradum solis. -- Item notandum quod a sole ad nadir solis semper computabitur secundum successionem signorum, et a nadir ad solem similiter. Ex quo sequitur quod illa stella est inter solem et nadir solis, quae minus distat ab ariete quam nadir solis; et stella, quae plus ab ariete distat quam nadir, est inter nadir et solem. -- Ex hiis duobus sequitur quod stella, quae est inter solem et nadir, semper in die oritur, quia, cum est inter solem et nadir, minus ab ariete distat quam nadir; si vero minus ab ariete distat, secundum successionem signorum loquendo semper, prius oritur. Si autem stella prius oritur quam nadir, cum usque ad ortum nadir semper est dies, per habita consequens est et necessarium stellam illam de die oriri, quae est inter solem et nadir. Eadem ratione etiam patet omnem illam stellam oriri de nocte, quae est inter nadir et solem, quia nadir prius oritur quam stella, per dicta, quia minus distat ab ariete quam stella.
    (Ap534) Hiis praemissis dicit auctor (235): Postea aspice si gradus, cum quo oritur stella, fuerit inter gradum solis et eius nadir, quia tunc orta est stella in die etc. -- Vide igitur, cum quo gradu oritur Aldebaran, et constat per praehabita quod cum septimo geminorum. Si igitur sol in nocte considerationis tuae fuerit in 20'o gradu virginis, tunc constat gradum, cum quo oritur Aldebaran, esse inter nadir solis et solem; et ideo oritur iam in nocte, sicut dicit auctor et ego tibi demonstravi. Et ideo, cum orta est in nocte, adde ascensiones quae sunt a nadir gradus solis, id est a 20'o gradu piscium, in gradum cum quo oritur Aldebaran, id est in 7'm geminorum, quae sunt 43 gradus et 20 m'a, super hoc quod elevatum est de circulo stellae in ipsam horam considerationis tuae; et quod collectum fuerit, ipsum est quod transivit de circulo ab occasu solis in horam acceptae altitudinis stellae. Et invenies quod ab ortu nadir solis, vel occasu solis, ad horam acceptae altitudinis versus orientem 97 gradus et 34 m'a sunt elevati, et versus occidentem in eadem altitudine 203 gradus et 56 m'a. Divide ergo illud per partes horarum noctis illius, quae sunt, sole existente in 20'o gradu virginis, 14 gra et 15 m'a, et invenies quot horae inaequales transierint de nocte, scilicet 6 et 51 m'a, cum inventa fuerit Aldebaran versus orientem; et versus occidentem in eadem altitudine, transiverant circa duas horas de die sequente. Vel si diviseris per 15 eundem arcum elevatum ab occasu solis, habebis horas aequales praeteritas de illa nocte, scilicet 6 et 30 m'a. Per quas horas invenies signum oriens et eius gradum, et est 27'us cancri, cum Aldebaran fuerit versus orientem ad 35 gradus elevata.
    Hoc autem capitulum et eius operatio aequata sunt praecise per tabulas et per instrumentum verax, et ideo non sine labore.

(Fig.: A,154va)

(Ap535) Pars illa Post haec quaere (:Ap531) fundatur super hac demonstratione: sicut se habet sinus rectus altitudinis meridianae stellae, scilicet qui est linea AB, ad sinum versum mediae portionis diei stellae, qui est linea BC, sic se habet sinus altitudinis stellae praesentis, qui est linea DE, ad quandam partem sinus versi totius portionis mediae arcus stellae diurni, quae pars est linea EC. Et ideo dicit auctor: Multiplica sinum rectum altitudinis planetae in hora probationis tuae in sinum versum dimidiae portionis diei stellae, tamquam secundum per tertium -- et hoc est multiplicare BC per DE vel e converso -- et summam inde provenientem divide per sinum altitudinis stellae in media die, tamquam per primum, quod est AB; et quod exierit, scilicet quartum, quod est EC, minue de sinu verso medii arcus diei, scilicet de linea BC, et residui, quod est BE, quaere portionem, et est AD. Quam subtrahe a dimidio portionis diei stellae, quod est ADC; et quod fuerit post subtractionem, scilicet DC, est illud quod elevatum est, et cetera. -- Super isto fundatur vis capituli.

------------------

(Ap536) Quia in huius operis initio (236-60): quia auctor superius (:52), determinando de sinibus et declinationibus, demonstrationem sinuum et declinationum omisit, cum eorum demonstratio maxime sit necessaria ad omnium motuum cognitionem perfectam et propter quid, ideo auctor hic in fine operis regreditur ad demonstrandum cuiusque portionis quantitatem sinus et declinationis.
    Et facit auctor hic duo, quoniam primo (236-59) docet demonstrative cuiusvis portionis sinum invenire, et secundo (260) per sinus demonstratos demonstrat, vel modum demonstrandi innnuit, declinationes quarumlibet portionum, cum dicit Et si kardagas declinationis, in fine capituli. -- Et quia sinus accipiuntur semper vel ex diametro circuli vel per comparationem ad partes diametri, ideo ad hanc artem utile est scire cuiusque circuli diametrum, quia, illa inventa, facilius invenietur intentum in hoc capitulo. Et ideo docet auctor primo (236-40) invenire cuiuslibet circuli diametrum, et secundo (241-59) procedit ad intentum, cum dicit Inventae ergo diametri circuli. -- Adhuc primo (236), innuens se demonstrationem sinuum superius omisisse, notificat quid sit sinus tam rectus quam versus, et secundo (237-40) de inventione diametri circuli determinat, cum dicit Inventa itaque.
    (Ap537) Sententia partis primae (236) patet, sed tamen quaedam ibi vocabula exponantur. Sit valde necessaria: quia ascensiones signorum in utroque circulo, et domus, immo pleraque in tabulis contentorum, per sinus probantur. Dimidium chordae: verbi gratia, sinus portionis 30 graduum est medietas lineae quae est chorda 60 graduum. Sagitta: quia est linea protensa ab arcu medio ad chordae medium ut sagitta, duos angulos rectos utrimque constituens cum chorda. Erit igitur dimidium chordae: id est, medietas lineae quae est chorda 180 graduum, quod est medietas circuli, est sinus portionis 90 graduum, per definitionem sinus recti.
    (Ap538) Inventa itaque (237-40): docet diametrum cuiuslibet circuli invenire. Et primo (237) proponit intentum, et secundo (238-40) prosequitur, cum dicit Quantitas diametri. -- Prima pars (237) de se est evidens.
    In secunda autem parte (238-40) dat tres modos inveniendi quantitatem diametri circuli: secundum modum (239) ponit ibi Vel si volueris, tertium vero (240) ibi Vel aliter.
    (Ap539) Primus modus (238) sic fiat: propter fractiones habendas resolvas circulum totum ad tertia, et sunt 77760000; quorum accipe 21'am partem dividendo ea per 21, et exit pars 21'a, scilicet in 3'is 3702857. Quo facto subtrahas hanc 21'am partem circuli de toto circulo in 3'is, et remanebunt in 3'is 74057143; quorum accipe 3'am partem dividendo per 3, et numerus exiens erit 3'a pars, scilicet in 3'is similiter 24685714. Et haec est circuli diameter in tertiis, quae valent 114 gradus 17 m'a 8 2'a et 34 3'a: tanta igitur est diameter cum circulus fuerit 360 graduum, quodam minimo minus.
    (Ap540) Vel si volueris (239): dat alium modum, et est iste modus dicens propter quid. Et fundatur super hoc principio quod est quod, sicut se habet circulus ad diametrum suam, sic quadratum circuli ad 10'am partem sui. Et ideo dicit: Multiplica circulum in semetipsum, et quod exit, scilicet quadratum circuli, divide per 10, et numeri provenientis ex divisione quaere radicem, quadratam scilicet, quae erit circuli diameter. -- Verbi gratia, duc 360 gradus in se, et exibunt 129600, quod est quadratum circuli; cuius accipias 10'am partem, et est 12960 graduum; cuius quaeras radicem, et invenies 113 gradus 17 m'a et 7 2'a et 48 3'a. -- Quod si has fractiones nesciveris invenire, recurras ad capitulum ubi modum istum dedi de extrahendo radicem, in illo capitulo Si autem umbram per solis altitudinem (:Ap228-30).
    (Ap541) Et tunc (240) dat modum tertium inveniendi istud, cum dicitur Vel aliter, et est iste modus omnibus praecisior et verior, et huic oportet inniti: sic enim se habet circulus ad diametrum sicut 22 ad 7 integra et ad trecentesimam quinquagesimam et septimam unius praecise. Et ideo auctor utitur duobus numeris, quorum unus sicut se habet ad alium, sic circulus ad diametrum: et primus se sic habet ad secundum, sicut 7 integra et 357'a unius se habent ad 22 integra. Et invenies secundum hunc modum operando 114 gradus 35 m'a 28 2'a et 39 3'a fere; et hanc dicas esse diametrum circuli 360 graduum. -- In hoc igitur modo operandi primum est 62832 integra -- cuiuscumque generis, non est cura -- et secundum est 20000 integra, et tertium est quantitas ambitus circularis. Et ideo multiplicatur circulus per 20000 tamquam secundum per tertium, et productum dividitur per 62832 tamquam per primum, et exibit diameter.
    E converso autem esset operandum, si per diametrum notam velles eius circumferentiam: sicut enim 20000 se habent ad 62832, sic diameter ad circumferentiam vel circulum. 20000 igitur integra sunt primum, et 62832 secundum, et diameter tertium: duc ergo secundum in tertium et productum divide per primum, et exibit quartum, quod est circulus. -- Et ideo, si diametrum iam inventam multiplicaveris in 62832 <et productum diviseris per 20000>, exibunt 360 gradus, praeter quiddam minutum quod superest, quia in tertiis acceptum est de diametro nimis. Et etiam, si laborem velis apponere, accipiendo diametrum usque ad 6'a vel 8'a praecise invenies circulum 360 graduum.

(Ap542) Inventae ergo (241-59): hic accedit auctor ad ostendendum intentum. Et facit duo, quoniam primo (241-42) infert quiddam ex dictis in principio huius capituli, et secundo (243-59) exsequitur, cum dicit Manifestum est etiam. -- Et primo adhuc (241) facit quod dictum est, et secundo (242) respondet cuidam quaestioni tacitae quae posset sibi fieri, cum dicit Licet etiam tibi ponere.
    (Ap543) Quia igitur, sicut dictum fuit supra (:Ap537) quod sinus rectus est medietas chordae portionis duplicatae, et non invenitur chorda maior in circulo quam diameter, quae est chorda portionis 180 graduum, quae dupla est ad portionem 90 graduum, ergo ex hoc infert auctor (241): Medietas diametri inventae circuli erit sinus 90 graduum, quae, scilicet diameter, est chorda portionis 180 graduum, quae portio est duplex ad 90 graduum portionem. Similiter etiam invenies sinus ceterarum portionum, quia semper medietas lineae, quae est chorda portionis duplae ad portionem propositam, est sinus portionis propositae.
    (Ap544) Licet etiam tibi (242): quia aliquis forte diceret quod difficile esset invenire sinus, cum diameter circuli 360 graduum necessario accipitur in fractionibus, vel in diversis vel, si in eisdem, tunc nimis multis: quid igitur remedii est ad difficultatem et confusionem hanc tollendam? ideo auctor ad istud respondet, dicens quod licet -- id est, licitum est -- tibi ponere partes diametri secundum quamlibet quantitatem numeri et ex ea facere denominationem sinus: puta, licet nobis ponere diametrum circuli esse aliquot minutorum vel aliquot graduum et cetera. Ut si posuerimus diametrum esse 20 graduum, tunc sinus omnes accipient denominationem a gradibus vel a graduum fractionibus: sinus enim 90 graduum circuli erit 10 graduum, et sinus 45 graduum erit 5 graduum, et cetera.
    Et causam huius subdit: nam, pro "quia", etsi, pro "quamvis", nulla est proportio sinus et portionis sinus, tamen <**> portio dicitur sinus, id est relative ad sinum. Quasi auctor velit dicere quod, licet non sit aliqua mensura communis sinui et portioni, sicut nec chordae et arcui, sinus tamen relative dicitur ad portionem sicut et chorda ad arcum, ita quod, sicut se habet diameter quantacumque posita ad circulum 360 graduum vel ad portionem 180 graduum, sic se habet medietas illius diametri ad portionem mediam de 180; et sicut se habet chorda 90 graduum ad 90, sic se habet medietas illius chordae ad medietatem de 90; et sic de aliis. Et ideo auctor, volens ex aliquo certo procedere, dicit: Verbi gratia, ponamus quantitatem diametri circuli, scilicet 360 graduum, esse 300 minutorum: erit ergo sinus totus, scilicet rectus, 150 minutorum, quia maior non poterit esse quam medietas diametri, ut patet per praedicta.

(Ap545) Manifestum est (243-59): hic prosequitur, ostendens demonstrative quantus sit sinus cuiuslibet portionis. Et facit duo, quoniam <primo> (243-48) probat demonstrative quiddam ex quo vigorem accipit quicquid hic dicetur in sequentibus; et secundo (249-59) ex illo demonstrat intentum, cum dicit Cum autem positum sit diametrum. -- Adhuc primo (243) conclusionem demonstrandam proponit, et secundo eam (244-48) in figura geometrica demonstrat, cum dicit Propositae autem figurae.
    (Ap546) Conclusio autem hic demonstranda est haec quod chorda sextae partis circuli est aequalis medietati diametri. Hanc ergo proponit (243), dicens quod manifestum est, ex dicendis, quod chorda cuiusque sextae partis circuli sit aequalis medietati diametri eius, scilicet circuli. Cuius rei demonstrationis causa ponitur figura, cuius talis est descriptio, sicut iam statim hic dicetur.
    (Ap547) Propositae figurae etc. (244-48): auctor conclusionem propositam hic demonstrat, et patet sententia de se; sed quia auctor accipit quaedam non demonstrata, ideo prosequar sententiam, nihil supponendo nisi per se notum.
    Sit circulus ABCD, qui circulus quadratur duabus lineis se intersecantibus supra centrum eiusdem circuli, quod centrum est E, linea videlicet AC et linea BD. Sit etiam alius circulus VZH supra centrum B, cuius, scilicet circuli, circumferentia contingit lineam AC supra centrum E. Describitur iterum circulus TKI super centrum D, cuius circumferentia etiam contingit lineam AC supra centrum E. Et tunc dicit: Apparet itaque quod circulus ABCD intersecat circulum VZH super punctum L et super punctum M; et, "apparet" supple "quod", portio LBM circuli ABCD est aequalis portioni MEL circuli VZH.

(Fig.: A,158r)

Et quia istud non videtur esse per se notum omnibus, ideo hoc demonstratur sic quia, quarumcumque portionum et chordae et sagittae sunt aequales, illae sunt aequales; sed ita est in proposito; ergo portiones istae sunt aequales. -- Quod autem chordae earum sunt aequales, patet, quia eadem est chorda utrique portionum communis, scilicet ML.
    Quod autem sagittae earum sint aequales, statim post probatur de facili. Sed ne ex aliquo ignoto procedam, dico quod linea EL est aequalis lineae EB, quia exeunt ambae ab eodem centro ad circumferentiam; item linea BL est aequalis lineae BE, quia etiam ab eodem centro exeunt ad circumferentiam. Cum ergo EL et BL sint aequales cuidam eidem numero, scilicet BE, illae duae, scilicet EL et BL, aequales erunt inter se. -- Ex quo demonstratur intentum, quia in triangulo ELB sunt duo partiales trianguli, scilicet ELN et BLN, quorum duo latera unius sunt aequalia duobus lateribus alterius: scilicet quia EL est aequale BL, et NL est utrique commune latus; ergo necessario tertium latus unius erit aequale tertio lateri alterius, quod demonstratum est in primo Euclidis. Erit igitur BN sagitta portionis MBL aequalis sagittae EN portionis MEL. Portio igitur MEL aequalis est portioni MBL.
    Vel, supponendo cum auctore istos circulos esse aequales, posses dicere breviter quod portiones circulorum aequalium sunt aequales, quarum chordae sunt aequales.
    (Ap548) Et tunc (245) sequitur in littera: Demonstratur etiam, scilicet statim post, quod portio <LB sit aequalis portioni quae est LE, et portio> quae est MB aequalis est portioni ME. Et tunc auctor volens istud probare dicit: Constat igitur lineam EB, quae est dimidium diametri circuli, esse aequalem ei quae est EL: hoc constat, quia ambae exeunt ab eodem centro, quod est E, ad circumferentiam circuli ABCD. Et constat similiter lineam LB aequalem esse BM, quia etiam exeunt a centro B ad circumferentiam circuli VZH. Et tunc auctor, supponendo omnes istas 4 lineas esse aequales, scilicet EL et LB, BM et ME, concludit portiones esse aequales, quarum portionum istae lineae sunt chordae. Auctor autem tamquam manifestum supponit omnes has lineas esse aequales, quia omnes sunt aequales uni et eidem secundum subiectum, scilicet lineae EB vel BE: iam igitur manifestum est quod portio BM aequalis est portioni ME et portioni EL et portioni BL. -- Dicit igitur auctor quod etiam manifestum est quod lineae quae sunt ME et EL et BL et BM sunt 4 chordae portionum aequalium circuli. Et subdit medium: quia istae, scilicet chordae, sunt sibi, id est inter se, aequales, per hoc scilicet quod ipsae sunt aequales cuidam uni et eidem secundum subiectum, licet ratione differenti.
    (Ap549) Et tunc (246) vadit auctor ulterius, dicens: Et manifestum est, vel demonstratur, quod linea LM abscindit, id est dividit, lineam BE in duo media super punctum N: istud est manifestum per demonstrationem quam adduxi ad probandum sagittas portionum esse aequales. Linea igitur NB est quarta diametri circuli ABCD, et linea NE similiter, supple, est quarta diametri circuli ABCD. -- Et istud manifestum est quia, qua ratione BN et NE sunt aequales, eadem ratione et EG et GD sunt aequales: cum ergo EB est aequalis ED, et cum utraque est divisa per aequalia, necessarium est BN non solum esse aequalem NE sed etiam alterutrae partium lineae ED. -- Et ideo subdit: Dividit quoque TI lineam DE in aequales partes supra punctum G, quarum unaquaeque linea, scilicet GD et GE, est aequalis lineae EN.
    Ex hoc subdit permutando istas lineas, dicens: Linea igitur NG est aequalis mediae diametro, id est medietati diametri, circuli. -- Vult igitur auctor ex dictis concludere quod linea NG est aequalis lineae EB vel ED; quod sic inferri potest, quia linea NE per praehabita est aequalis et NB et EG. Quandocumque igitur aliquid est aequale alteri, assumpto utrobique eodem, adhuc sunt aequalia inter se; sed BN et EG sunt aequales; ergo cum utraque si assumatur NE, adhuc aggregata erunt aequalia: NG igitur et BE sunt aequales.
    (Ap550) Et addit auctor (247) quod NG est lineae MB et lineae LT aequalis; quod patet. -- Et primo quod NG sit aequalis lineae MB: linea enim MB est aequalis lineae BE, et per iam dicta NG est aequalis lineae eidem, scilicet BE; ergo NG et MB inter se sunt aequales, quia, quae sunt aequalia eidem, inter se sunt aequalia.
    Secundo etiam patet quod NG est aequalis lineae LT: quia ambae sunt aequedistantes inter aequedistantes. Quod supponit figura nec probari potest via alia, ut mihi videtur, nisi supra L fiat circulus transiens per E et B et T. Tunc enim demonstrabitur quod NG et LT sunt aequales, sic: BE est aequalis BL, quia exeunt ab eodem centro ad circumferentiam circuli VZH. Item LT est aequalis LB, quia ambae exeunt ab eodem centro ad circumferentiam circuli BET. Sed constat lineam LB eandem esse numero et subiecto cum linea BL; cum ergo BE et LT sunt aequales eidem alicui uni, inter se erunt aequales. Sed tunc arguo: Linea LT est aequalis lineae BE per iam habita; item linea NG est aequalis eidem BE; ergo linea LT et linea NG sunt aequales, quod erat probandum.
    Ad evidentem igitur ostensionem propositi ex nunc addatur ille circulus novus; et consimilis etiam describatur super M, qui transeat per B,E, ad ostendendum lineam MI esse aequalem lineae LT vel NG.
    Ex hiis infert auctor, dicens: Portio igitur MB et portio LT erit aequalis portioni MI; et rationem subdit: quia earum chordae inter se sunt aequales, per iam dicta. -- Cum igitur prius ostensum est quod portio quae est BM est aequalis BL, manifestum est quod omnes 4 portiones istae, scilicet BM, BL, MI et LT, sunt aequales.
    (Ap551) Et quia eadem est ratio aequalitatis inter portiones et chordas, quae sunt ID et DT, quae ratio erat superius de aequalitate portionum et chordarum MB et BL, ideo subdit auctor quod portio ID est aequalis portioni DT.
    Sed quia ex isto non poterimus evidenter concludere intentum principale, ideo primo concluditur portiones ID et DT aequales esse cuicumque aliarum 4 portionum, sic: linea DT et linea DI sunt aequales, quia exeunt ab eodem centro; ergo et portiones adinvicem sunt aequales. Item per praehabita, linea DE est aequalis lineae NG, et eidem NG est linea LT aequalis; ergo linea LT est aequalis lineae DE. Sed lineae DI et DT sunt aequales lineae DE, quia exeunt omnes ab eodem centro; cum ergo LT est aequalis lineae DE, ergo linea LT erit aequalis lineae DI et lineae DT, ergo et portio portioni utrique. Sed ostensum est prius portiones LT, LB, BM et MI esse aequales: necessario sequitur ostensum esse omnes sex portiones circuli aequales esse. Et probatae sunt esse aequales ex aequalitate suarum chordarum inter se; aequalitas autem chordarum inter se accepta est ex aequalitate cuiuslibet cum semidiametro.
    (Ap552) Et ideo concludere possumus cum auctore, quando dicit (248): Manifestum igitur est circulum in sex aequales portiones divisum esse, et quod manifestum est chordam uniuscuiusque, scilicet portionis, aequalem esse medietati diametri circuli. Et haec est certa descriptio figurae.

(Ap553) Cum autem positum sit diametrum esse (249-59): cum iam probatum est chordam sextae partis circuli aequalem esse semidiametro, consequenter ex hoc demonstrat intentum, scilicet quantus sit sinus portionis cuiuslibet. -- Et facit 3: primo enim (249-53) dat artem generalem inveniendi sinus cuiuslibet portionis tam maioris quam minoris, et e converso; et secundo (254-58) specialiter docet invenire quantitatem sinuum omnium kardagarum singillatim; et tertio (259), specialiter etiam, dat modum inveniendi sinus omnium portionum minorum quam est kardaga. Et incipit secunda pars (254-58) ibi Si autem multiplicaveris, et tertia (259) ibi Si autem volueris invenire. -- Adhuc circa primum facit duo: primo enim (249) quarundam portionum sinus accipit ex iam dictis determinans, et secundo (250-53) pro sinibus aliarum portionum inveniendis dat artem suam, cum dicit Linea vero ZH etc.
    (Ap554) Sententia partis primae (249) est facilis. Dicit igitur: Cum autem positum sit, supra, diametrum circuli esse 300 minutorum, et ostensum est quod chorda sextae partis circuli sit aequalis medietati diametri, erit igitur chorda portionis 60 graduum, qui sunt sexta pars circuli, 150 minutorum. -- Istud evidens est ex praeostensis: cum enim 60 gradus sunt 6'a pars circuli, et chorda 6'ae partis circuli est aequalis medietati diametri, constat quod, si diameter tota posita fuerit esse 300 minutorum, quod semidiameter erit 150 minutorum, quae sunt medietas de 300. Et per consequens chorda portionis 60 graduum erit 150 minutorum, quia est aequalis semidiametro, <*> quod est chorda portionis quae est 6'a pars circuli.
    Et sinus 30 graduum est 75 minutorum, quod est dimidium lineae MI, quae, scilicet portio 30 graduum, est MC. -- Istud patet ex definitione sinus supra data: cum enim sinus est medietas chordae et cetera, <et cum> portio 60 graduum est dupla ad portionem 30, medietas igitur chordae portionis 60 graduum est sinus 30 graduum. Sed ostensum <est> chordam portionis 60 graduum esse 150 minutorum; ergo medietas de 150 erit sinus 30 graduum, et hoc <est> 75 m'a, quae sunt linea MC, quae est medietas lineae MI.
    Et sinus 60 graduum est linea MN, quae est medietas lineae LM, quae, scilicet linea LM, est chorda portionis 120 graduum. -- Cum enim portio 120 graduum, quae est portio MBL, sit dupla ad portionem 60 graduum, quae est portio MI, ergo, per definitionem sinus, medietas chordae portionis illius duplae, scilicet chordae LM, erit sinus portionis illius mediae, scilicet 60 graduum; et haec medietas est linea MN. Quot autem minutorum sit, auctor nondum dicit, sed hoc videbitur infra (:Ap556).
    (Ap555) Linea vero ZH (250-53): hic dat auctor artem suam de cuiusque portionis sinus inventione. Et videtur mihi artem suam stare in hoc quod ipse, incipiens ab aliquo noto, per iam dicta docet chordae cuiuslibet portionis quantitatem invenire, ex qua chorda statim habetur sinus portionis intentae. Chordam autem ipsam cuiuslibet portionis invenit, ut mihi videtur, per conclusionem paenultimam primi Euclidis. Chorda enim ista semper erit diameter quadrati, seu basis trianguli rectianguli, quod pro eodem habeo ad propositum; latera autem huius trianguli semper se sic habent quod unum erit sinus rectus et aliud sinus versus totius portionis, cuius chorda inquirenda est. Et ideo, ad inveniendum chordam 90 graduum, quae est linea ZH, multiplicamus sinum rectum 90 graduum in se ipsum, et sinum versum similiter, et ex aggregato extrahimus radicem, et radix erit chorda portionis 90 graduum.
    Et ideo dicit auctor quod linea ZH est chorda 90 gra<duum, qui sunt> 4'a pars circuli, et illa chorda est <radix 4>5000, m'orum supple, quae sunt quadratum sinus recti et versi 90 graduum. -- Quod patet, quia sinus rectus 90 graduum est medietas diametri, scilicet 150 m'orum, quae ducta in se faciunt 22500 m'a; versus etiam sinus 90 graduum est consimiliter per dicta 150, quae ducta in se faciunt etiam quadratum de 22500 minutis; quae iuncta cum prioribus faciunt 45000 m'a. Ex quo si extrahatur radix, erit 212 m'a, quae sunt chorda ZH, quae chorda est basis trianguli rectianguli ZBH, cuius unum latus est sinus rectus 90 graduum et aliud versus.
    Regula igitur est generalis ad inveniendum cuiuslibet portionis chordae quantitatem, ut sinus rectus et versus in se divisim ducantur, et productorum quadratorum radix extrahatur; et haec radix erit chorda portionis eiusdem, et semper huius medietas chordae erit sinus rectus medietatis eiusdem portionis.
    Isto bene intellecto, si nihil ultra diceretur, non esset difficile quantitates omnium sinuum demonstrare. Est igitur linea ZH chorda portionis 90 graduum, cuius chordae medietas est sinus 45 graduum per definitionem sinus; quae medietas est radix 11250 minutorum. -- Quod demonstrabitur infra: ostendetur enim quod linea KR est radix cuiusdam quadrati quod est residuum post subtractionem quadrati lineae PR de quadrato PK; istud enim tibi demonstrabo (cf. Ap565).
    (Ap556) Apparet igitur (251) quod portio AL sit dimidium 6'ae partis circuli: hoc de se patet. Cuius portionis chorda sic invenitur: et hic primo incipit demonstrare intentum, supponendo semper aliquid ut notum, sed nihil supponam. -- Multiplica, dicit auctor, sinum triginta graduum in semetipsum, qui sinus est linea LO, et multiplica lineam quae est AO in semetipsam, et utrumque insimul iunge; et collectae summae radix erit chorda 30 graduum. -- Causam huius videas, quia LA<O> est triangulus rectiangulus: quadratum igitur lineae LA valet quadratum lineae LO et lineae OA, et e converso quadratum lineae LO et quadratum lineae OA valent quadratum lineae LA; et ideo de hoc auctor hic loquitur.
    Sed diceres tu: auctor hic petit, quia adhuc non docuit invenire quantitatem lineae AO. Dico quod ipse hoc statim docet invenire, cum dicit Si minueris sinum 60 graduum, qui est LN, de medietate diametri, remanebit linea AO. Hoc autem sic fit, quia LN et EO sunt aequales, quia aequedistant inter aequedistantes: subtrahe ergo EO de EA, quae est medietas diametri, et residuum erit OA vel AO. -- Et cum diceres: adhuc auctor non docuit invenire sinum 60 graduum; dico quod haberi potest ex dictis sic, quia MBN est triangulus rectiangulus: ergo quadratum lineae MB, oppositum angulo recto, valet quadratum lineae MN et lineae BN. Cum ergo lineae BN quantitas mihi est nota, quia est medietas semidiametri per habita supra, lineae etiam MB quantitas mihi est nota, quia est medietas diametri, si ergo duxero lineam MB in seipsam, habebo quadratum eius, a quo si minuero quadratum lineae BN, remanebit quadratum lineae MN necessario. Radix igitur numeri residui erit quantitas sinus 60 graduum; sed istud non deducam in numeris.
    Adhuc possibile est igitur invenire chordam 30 graduum, quae est LA, quia et LO est mihi nota, quia est 75 minutorum per prius dicta, et AO, quia est residuum sinus 60 graduum de medietate diametri.
    (Ap557) Et tunc (252) addit auctor, dicens: Medietas vero chordae 30 graduum <est sinus 15 graduum; est autem linea FS chorda 30 graduum,> cuius medietas, scilicet QF, est sinus 15 graduum, qui, scilicet 15 gradus, sunt portio circuli, quae est scilicet ab F in Z.
    Erit ergo portio circuli ab F in V 75 graduum, quia est residuum 15 graduum de 4'a circuli; cuius portionis sinus est linea QB. Et eius quantitas sic invenitur, constituendo scilicet unum triangulum rectiangulum ex medietate diametri, quae est linea BF, et ex QF, quarum utraque est mihi nota, et ex QB. BF igitur est opposita angulo recto: quadratum igitur eius valet quadrata utrorumque illorum laterum. Si igitur a quadrato lineae BF minueris quadratum QF, remanet quadratum cuius radix est quantitas lineae BQ. -- Et ideo dicit auctor: Multiplica lineam BF, quae est 150 minutorum, cum sit aequalis medietati diametri, in semetipsam, et lineam FQ in seipsam, quae est sinus 15 graduum. Postea minue multiplicationem FQ de multiplicatione BF, et remanentis numeri tolle radicem, quae radix erit sinus 75 graduum. Et hic, scilicet sinus, est linea QB, et est aequalis lineae XF, quia aequedistant inter aequedistantes. -- Et omnium hic dictorum ratio patet per ea quae hic statim ante dixi.
    Et addit auctor: Et similiter facies in inventione sinus cuiusque portionis circuli, tam exiguae quam maximae. -- Quod ita intellegendum est quia, cuius portionis velis sinum, si sciveris illius portionis duplatae chordam, medietas eius erit sinus illius portionis. Si vero chordam illam non sciveris quanta scilicet fuerit, tunc per sinum rectum et versum portionis duplae, modo qui dictus est, investiges. -- Sed de isto ponam exemplum, et docebo te etiam componere tabulas sinus (:?), domino concedente.
    (Ap558) Et tunc (253) recapitulat auctor hic demonstrata, dicens: Itaque demonstratum est quod, cum positum sit diametrum circuli esse 300 minutorum, erit chorda 6'ae partis circuli 150 minutorum, cum sit aequalis dimidio, id est medietati, diametri circuli; et est sinus totus, supple rectus, cuius medietas est sinus 30 graduum; et est sinus 30 graduum 75 minuta, qui est sinus duarum kardagarum. -- Datus est igitur modus in communi et in grosso demonstrandi quantitatem sinus cuiuslibet portionis, ut visum est.

(Ap559) Si autem multiplicaveris (254-58): hic tradit artem specialem ad inveniendum sinus omnium kardagarum, quae tamen extendi potest universaliter ad omnium portionum sinus. Et facit 2, quoniam primo (254-57) docet invenire sinus omnium kardagarum coniunctim, et secundo (258) divisim, cum dicit Subtrahe igitur.
    (Ap560) Unde primo (254-57), supponens ex determinatis sinum 30 graduum, id est duarum kardagarum, esse notum, docet investigare sinum quattuor, et per illum primae. Dicit primo quod, si multiplicaveris sinum 30 graduum in semetipsum, et si summam inde provenientem minueris <de sinu toto> multiplicato in se, tunc radix, scilicet <quadrata>, numeri remanentis erit sinus 60 graduum, qui est sinus 4 kardagarum; et est dimidium, id est medietas, chordae 120 graduum. -- Minue itaque eum, scilicet sinum 60 graduum, de sinu toto, scilicet de 150 minutis, et illud quod remanserit multiplica in semetipsum, et iunge summam inde provenientem sinui 30 graduum, sinui dico multiplicato in se; et radix summae provenientis inde erit chorda 30 graduum, cuius, scilicet chordae, medietas erit sinus 15 graduum, id est primae kardagae.
    Hoc igitur modo docet auctor invenire primae kardagae sinum: cum sinus per praehabita est medietas chordae portionis duplicatae, cum chorda 60 graduum sit aequalis semidiametro, quae est sinus totus rectus, scilicet 150 minutorum, erit sinus 30 graduum medietas huius, scilicet 75 minuta. Quae multiplices in semet, et exibunt in minutis 5625; deinde sinum totum, scilicet 150 m'a, etiam in seipsa multiplices, et exibunt 22500; de quibus summam primam, scilicet 5625, minuas, et remanebunt 16875 m'a. Cuius numeri quaeras radicem quadratam, et invenies 129 m'a 54 secunda et 13 tertia, qui est sinus 60 graduum, id est 4 kardagarum; nec de hoc oportet dubitare, licet in tabulis (BA11) inveneris unum ultra.
    (Ap561) Ad hoc autem inveniendum hanc artem adinveni labore multo, et ea utaris ad extrahendum radicem cum fractionibus, eo ordine quo me hic videris operari. Proposito numero, cuius velis radicem quadratam, primo radicem maximi quadrati sub eo contenti extrahe et serva residuum. Deinde ducendo hanc radicem in seipsam quaeras quadratum maximum quod iam extraxisti; iterum, radici eidem unum addendo, aggregatum in se ducas, ut habeas quadratum proximum supra quadratum prius extractum. Et horum duorum quadratorum sumas <differentiam>, quam in operando constituas primum, et residuum numerum propositi post radicem extractam secundum, et unum tertium: unum, dico, illius generis cuius generis est prima fractio totius numeri cuius quaesivisti radicem. Et tunc, sicut et in aliis aequationibus, praedicto residuo ad idem reducto si diversi generis fuerit, multiplica secundum per tertium et productum divide per primum, et quod exierit addas radici primo inventae; et si quid adhuc remanet, ipsum per tertium multiplices et productum dividas per primum, et quod exierit prioribus addas.
    Ad propositum igitur accipias 16875, cuius numeri velis radicem quadratam. Invenies maximi numeri quadrati sub dicto numero contenti radicem, 129 m'a, et remanebunt 234; quibus residuis reservatis, quaeras per radicem iam inventam numerum quadratum maximum sub dicto numero contentum, scilicet 16641 m'a. Iterum quaeras quadratum proximum supra quadratum istud, et hoc multiplicando radicem praedictam in se, uno addito, et invenies 16900. Deinde minus quadratum de maiori minuas, et differentia utriusque erit 259; quae erit primum, et residuum primum, scilicet 234, erunt secundum, et unum minutum vel 60 secunda tertium. Ergo ducas secundum in tertium, et provenient in tertiis 14040, quae dividendo per primum habebis 54 secunda, remanentibus 54 tertiis; quae reducas ad 4'a et divide sicut prius per primum, et exibunt in tertiis 13 fere. <**>. Iste igitur est sinus 4 kardagarum praecise. -- Hanc autem operationem supponam in aliis, quia per hunc modum radicem ita debes invenire.
    (Ap562) Invento autem sinu isto 4 kardagarum, per eum sic invenies sinum primae kardagae: minuas (254) istum sinum de sinu toto, qui est 150 m'a, et remanebunt 20 m'a 5 secunda et 47 tertia; quae omnia in se multiplices.
    Et hic iterum nota diligenter artem inveniendi quadratum in generibus diversarum fractionum. Invenies enim primo quadratum maximi generis, ducendo ipsum in se; deinde, generi <maximi> unum addens, aggregati quadratum quaeras per eundem modum. Post haec, altero quadratorum de altero subtracto, residuum serva, quod est differentia utriusque; quod in operando constitues tertium, et unum primum: unum, dico, fractionis quae est maioris generis inter eas quarum quaeris quadratum; et omnia genera fractionum aliarum a fractione generis maximi facias secundum. Quo diligenter notato, duc secundum in tertium et productum divide per primum, et quod exierit addas ad quadratum maximi generis primo acceptum, et habebitur quaesitum.
    Ad propositum igitur, quia post subtractionem sinus 4 kardagarum de toto sinu remanserunt 20 minuta 5 secunda et 47 tertia, quae, ut dixi, in se debent multiplicari ut inveniatur eorum quadratum: quaeras igitur quadratum maximi generis, scilicet de 20, et erit 400 m'a. Deinde, eisdem 20 uno addito, aggregati quadratum quaeras, et erit 441 m'a. Quo facto, utriusque quadratorum accipias differentiam, quae est 41 m'a, quae constituas tertium; et unum minutum vel 60 secunda facias primum; et 5 secunda et 47 tertia ponas secundum. Duc ergo secundum ad idem genus redactum in tertium, et productum divide per primum, et exibunt 3 m'a et 57 secunda; quibus additis ad quadratum 20 minutorum habebis quadratum quaesitum, scilicet 403 m'a 57 secunda. -- Hunc etiam modum in sequentibus non repetam.
    Sed cum utaris forma ista, et quia quadratum iam aequatum addi debet ad sinum 30 graduum in se multiplicatum, ideo 75 minuta, quae sunt sinus 30 graduum, ducas in se, et invenies eorum quadratum, 5625, et erit aggregatum ex hiis duobus quadratis 6028 minuta 57 secunda. De quibus extrahas radicem eo modo quem docui (:Ap561), et invenies si bene feceris 77 m'a 38 secunda et 41 tertia; et haec est chorda 30 graduum. Cuius medietas erit sinus 15 graduum, scilicet primae kardagae: erit igitur 38 m'a 49 secunda et 21 tertia fere. Et hic etiam tabulae (BA11) plus habent de uno tertio, sed salvo iudicio melioris istud est necessarium.
    (Ap563) Deinde cum dicit Multiplica itaque (255), docet investigare sinum 75 graduum, id est 5 kardagarum coniunctim, dicens: multiplica eundem sinum, scilicet primae kardagae, in se, ad inveniendum, supple, eius quadratum; et <est secundum prae>dicta 1507 m'a 19 secunda et fere unum tertium. Quem minues de sinu toto multiplicato in se, id est de quadrato sinus totius, scilicet 150 minutorum, et remanentis quaere radicem: remanent autem 20992 minuta 40 secunda et 59 tertia. Quorum radix erit, si recte feceris, 144 m'a 53 secunda et 17 tertia; quae radix erit sinus 75 graduum, id est 5 kardagarum -- sed iterum hic in tabulis (BA11) inveniuntur 3 tertia ultra istud -- et istud est dimidium chordae 150 graduum.
    (Ap564) Deinde sinum 15 (256): quia auctor in principio huius partis ex determinatis prius supposuit quantitatem duarum kardagarum, nunc etiam investigata est quantitas kardagae primae per se, ideo ex hiis quasi correlarie docet invenire quantitatem secundae kardagae etiam per se. -- Dicit igitur: Deinde sinum 15 graduum, qui est primae kardagae, scilicet 38 m'a 49 secunda 21 tertia, minue de sinu 30 graduum, scilicet de 75 minutis; erit residuum <kardagae secundae>, scilicet 36 minuta 10 secunda et 39 tertia.
    (Ap565) Postea multiplica (257): docet invenire sinum 3 kardagarum, dicens: Multiplica sinum totum in semetipsum, ut, supple, habeatur eius quadratum, et erit ut prius 22500; et numeri provenientis, scilicet praescripti, duplicati tolle radicem. Quasi dicat: duplicetur quadratum sinus totius, et eius duplicati quaeratur radix. Duplicentur igitur 22500, et fient 45000, cuius radix est per praehabita 212 m'a 7 secunda et 54 tertia. -- Quae radix erit chorda 90 graduum, cuius medietas erit sinus 45 graduum, id est trium kardagarum. Erit igitur sinus 3 kardagarum, si hanc chordam mediaveris, 106 m'a 3 secunda et 57 tertia; et hoc idem invenies in tabulis.
    Unde auctor, quia pro voluntate sua posuit totam diametrum circuli, quae est chorda 180 graduum, esse 300 minutorum, et "sinum" vocavit medietatem chordae portionis duplicatae, ideo oportebat concedere sinum 90 graduum esse 150 minutorum, quem appellat "totum sinum rectum"; et ideo, cum sinus iste totus ex praehabitis erat notus, non determinavit hic de ipso.
    Item, quia demonstratum erat prius chordam 60 graduum esse aequalem semidiametro, id est sinui toti recto, ideo manifestum erat chordam 60 graduum esse aequalem 150 minutorum, et per consequens oportet dare sinum 30 graduum, id est duarum kardagarum, esse 75 minutorum; et ob hoc +ph(ilosophus)+ nec docuit istum sinum invenire.
    Docuit igitur invenire 4 sinus, scilicet: unius, id est primae, kardagae tantum; primae, secundae et tertiae coniunctim; primae, secundae et tertiae et quartae coniunctim; et primae, secundae, tertiae, quartae et quintae coniunctim; licet non hoc ordine. -- Quare autem ad inveniendum <sinum> 3 kardagarum duplatum est quadratum sinus totius, causa dicta est. -- Et nota quod demonstratio tota horum sinuum radicaliter pendet ad paenultimam conclusionem quarti Euclidis.
    (Ap566) Subtrahe igitur ab eo (258): hic docet sinum cuiuslibet kardagae invenire divisim et per se. Et quia ex iam determinatis habemus quantitatem sinus primae kardagae ex intentione, et similiter secundae divisim correlarie, ideo solum docet invenire sinus 4 kardagarum ultimarum cuiuslibet divisim; et iuxta hoc, haec in 4.
    Ideo dicit: Subtrahe igitur ab eo, scilicet a sinu 3 kardagarum iam invento ultimo, sinum duarum kardagarum, et remanebit sinus tertiae kardagae per se, scilicet 31 m'a 3 secunda et 57 tertia. -- Deinde minue sinum trium kardagarum de sinu 60 graduum, id est de sinu 4 kardagarum, et remanebit sinus 4'ae kardagae, scilicet 23 m'a 50 secunda et 16 tertia. -- Minue etiam sinum 4 kardagarum de sinu 5 kardagarum, et residuum erit sinus quintae kardagae, scilicet 14 m'a 59 secunda et 4 tertia. -- Demes quoque sinum 5 kardagarum de sinu toto, id est de 150 minutis, et remanens numerus erit sinus sextae kardagae, scilicet 5 m'a 6 secunda et 43 tertia.
    Et tunc concludit in fine, dicens quod hae <sunt> 6 kardagae, gratia quarum haec siquidem introducta est demonstratio.

(Ap567) Et tunc sequitur capitulum paenultimum libri huius, Si autem volueris (259), in quo, ut dicebatur, auctor tradit artem inveniendi sinus portionum minoris quantitatis quam sit kardaga; et maneat capitulum indivisum propter connexionem partium adinvicem.
    Dicit igitur quod, si volueris invenire sinum secundum portiones circuli minores, scilicet quam sit kardaga, tunc sinum huius sextae kardagae, qui scilicet est per praehabita 5 m'a 6 secunda et 43 tertia, redactum ad idem genus fractionum, in sinum 30 graduum multiplica, et summae inde collectae, scilicet 1380225 tertiorum, quaere radicem. -- Sed hoc diligenter sic facias: reduces enim haec ad minuta, secunda et tertia, et invenies 383 m'a 23 secunda et 45 tertia. Deinde de minutis quaeres radicem, et invenies 19 m'a, et remanent 22 m'a 23 secunda et 45 tertia; de quibus quaeres radicem per dicta superius (:Ap561), et invenies 34 secunda et 27 tertia. Et sic radix totalis erit 19 m'a 34 secunda et 27 tertia, quae est sinus 7 graduum et dimidii.
    Eandem summam, scilicet hunc sinum in se multiplicatum, minue de toto sinu in se multiplicato, scilicet de 22500 minutis, et radix numeri remanentis, qui est 22116 m'a et 36 secunda 27 3'a, erit sinus 82 graduum et dimidii: radix autem huius est per praedicta 148 m'a 42 secunda 57 tertia.
    Post haec minue sinum 82 graduum et dimidii, scilicet hunc eundem, de sinu toto, et residuum, quod est unum minutum 17 secunda et 3 tertia, multiplica in sinum 30 graduum; et radix numeri surgentis inde, qui est 346725 tertiorum, erit sinus trium graduum et 45 minutorum: radix autem haec erit, operando ut saepe dictum est, 9 minutorum 48 secundorum 21 tertiorum.

Unde isto modo opereris per totum capitulum, et securus sis de eo quod sic operando inveneris.

(Ap568) Et si kardagas declinationis (260): in hoc capitulo ultimo docet auctor invenire <**>

(text stops at f.160vb 1/4; rest of column blank.)